下限と上限

Greatest lower bound and least upper bound

実数の集合(白抜きの円と塗りつぶされた円)、のサブセット(塗りつぶされた円)、 の最小値。完全に順序付けられた有限集合の場合、最小値と最小値は等しくなることに注意してください。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S.}$

実数の集合(青い円)、(赤いダイヤモンドと円) の上限の集合、およびそのような上限の最小値、つまり(赤いダイヤモンド) の上限。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

数学において、半順序集合の部分集合の最小値（略称inf、複数形infima ）は、 の各要素以下となる における最大の元（もしそのような元が存在するならば）である。 ^[1]の最小値が存在すれば一意であり、またb がの下限であれば、b はの最小の下限以下となる。結果として、最大下限値（略称GLB ）という用語も一般的に使用される。^[1]半順序集合の部分集合の最大値（略称sup、複数形suprema ）は、の各要素以上となる における最小の元（もしそのような元が存在するならば）である。 ^[1]の最大値が存在するならば一意であり、またbが の上限であれば、 の最大値はb以下となる。したがって、上限値は最小上限値（LUB ）とも呼ばれます。^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

極小値は、厳密に言えば、上限値の概念と双対である。実数の極小値と上限値は、解析学、特にルベーグ積分において重要な、よくある特殊なケースである。しかし、任意の半順序集合を考える、 より抽象的な順序論においても、一般的な定義は有効である。

最小値と最大値の概念は、最小値と最大値に近いですが、最小値や最大値を持たない可能性のある特殊な集合をより適切に特徴付けるため、解析においてはより有用です。たとえば、正の実数 集合（ は含まない）には最小値がありません。 の任意の要素は、単純に半分に分割して、 の範囲内にあるより小さい数にすることができるためです。ただし、実数 に対する正の実数の最小値は 1 つだけ存在します。これは、すべての正の実数よりも小さく、下限として使用できる他のどの実数よりも大きくなります。集合の最小値は常に、その集合のスーパーセットを基準としてのみ定義されます。たとえば、正の実数（自身のスーパーセットとして）の内部に正の実数の最小値は存在せず、正の実数部を持つ複素数の内部に正の実数の最小値も存在しません。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}.}$ ${\displaystyle 0,}$

正式な定義

supremum = 最小の上限

半順序集合の部分集合の下限は、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle y\leq x}$すべての人のために ${\displaystyle x\in S.}$

の下限は、 の下限（または最大下限、またはを満たす）と呼ばれます。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

• のすべての下限について（は他のどの下限よりも大きい）。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle y\leq a}$ ${\displaystyle a}$

同様に、半順序集合の部分集合の上限は、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle z\geq x}$すべての人のために ${\displaystyle x\in S.}$

の上限は、 の上限（または最小上限、または結合）と呼ばれます。 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

• のすべての上限について（は他のどの上限よりも小さい）。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle z\geq b}$ ${\displaystyle b}$

集合に限定せずに、上限と下限を定義することもできます。例えば、すべての基数を含む集合は存在しません（また、最大の基数も存在しません）。しかし、選択公理によれば、すべての基数集合には、基数間の最小の上限があります。選択公理は、すべての空でない基数集合には最小の元（その集合の最小値でもある）が存在するという命題と同等です。基数の空集合には多くの下限がありますが、基数間の最大の下限はありません。

存在と唯一性

最小値と最大値は必ずしも存在するわけではありません。の部分集合の最小値は、 に下限が全く存在しない場合、または の下限集合に最大元が含まれていない場合に、存在し得ません。( の部分集合がその一例です。 には1.5などの上限は存在しますが、 には最大値は存在しません。) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

したがって、特定の最小値が存在することが知られている半順序集合は特に興味深いものとなります。例えば、格子とは、すべての空でない有限部分集合が最大値と最小値の両方を持つ半順序集合であり、完全格子とは、すべての部分集合が最大値と最小値の両方を持つ半順序集合です。このような考察から生じる様々な半順序集合のクラスに関する詳細は、完全性に関する記事に記載されています。

部分集合の上限が存在する場合、それは一意です。が最大要素を含む場合、その要素が上限です。そうでない場合、上限は に属していません（または存在しません）。同様に、下限が存在する場合、それは一意です。 が最小要素を含む場合、その要素が下限です。そうでない場合、下限は に属していません（または存在しません）。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

最大要素と最小要素との関係

部分集合の最小値が存在すると仮定しても、必ずしも に属するとは限らない。存在する場合、それはの最小または最小の要素である。同様に、 の最大値が に属する場合、それはの最大値または最大要素である。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S.}$

例えば、負の実数（ゼロを除く）の集合を考えてみましょう。この集合には最大元は存在しません。なぜなら、集合のどの要素にも、それより大きい別の要素が存在するからです。例えば、任意の負の実数には、それより大きい別の負の実数が存在します。一方、ゼロ以上のすべての実数は、この集合の上限となります。したがって、は負の実数の最小の上限であり、上限は 0 です。この集合には上限は存在しますが、最大元は存在しません。 ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}},}$ ${\displaystyle 0}$

しかし、極大元と極小元の定義はより一般的です。特に、集合には複数の極大元と極小元が存在する可能性がありますが、最小元と最小元は唯一つです。

最大値と最小値は検討中のサブセットのメンバーである必要がありますが、サブセットの最小値と最大値自体はそのサブセットのメンバーである必要はありません。

最小上限

最後に、半順序集合は、最小の上限を持たずに、複数の極小上限を持つ場合があります。極小上限とは、それより小さい要素が上限でもあるような上限のことです。これは、各極小上限が他のすべての上限よりも小さいという意味ではなく、単に大きくないという意味です。「極小」と「最小」の区別は、与えられた順序が全順序でない場合にのみ可能です。実数と同様に、全順序集合においても、これらの概念は同じです。

例として、自然数のすべての有限部分集合の集合を とし、 のすべての集合を、上記のように部分集合の包含によって順序付けられた整数の集合と正の実数の集合と一緒にして得られる半順序集合を考えます。すると、明らかにと はどちらも自然数のすべての有限集合よりも大きくなります。しかし、どちらも より小さくはなく、逆も成り立ちません。どちらの集合も最小の上限ですが、どちらも上限ではありません。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

最小上限特性

最小上界性は、実数集合に典型的に見られる前述の完全性の一例であり、デデキント完全性と呼ばれることもあります。

順序付き集合が、上限を持つの空でない部分集合はすべて最小の上限も持つという性質を持つ場合、その集合は最小上限特性を持つと言われます。前述のように、すべての実数の集合は最小上限特性を持ちます。同様に、整数の集合は最小上限特性を持ちます。が の空でない部分集合であり、のすべての要素が以下である数が存在する場合、 の上限である整数の最小上限が存在し、 の他のすべての上限以下になります。順序付き集合も最小上限特性を持ち、空の部分集合も最小上限、つまり全体の集合の最小値を持ちます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

最小上限特性を持たない集合の例として、有理数の集合が挙げられます。 を となるすべての有理数の集合とすると、には上限（たとえば、 または）がありますが、 には最小上限はありません。を最小上限と仮定すると、と（とを含む）の任意の2つの実数の間には、 の場合にそれ自体が最小上限となるか、の場合により大きい の要素となる有理数が存在するため、直ちに矛盾が導き出されます。別の例として、超実数が挙げられます。正の無限小の集合には最小上限は存在しません。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q^{2}<2.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1000,}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle p\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle p>{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p<{\sqrt {2}}}$

対応する最大下限特性があります。順序付きセットが最大下限特性を持つのは、それが最小上限特性も持つ場合のみです。つまり、セットの下限セットの最小上限は最大下限であり、セットの上限セットの最大下限はセットの最小上限です。

半順序集合において、すべての有界部分集合に上限がある場合、すべての に対して かつ に限り となる、 から までのすべての関数を含む関数空間内の任意の集合にも、このことが当てはまります。たとえば、これは実関数にも当てはまります。また、これらは関数の特殊なケースと見なすことができるため、実数組および実数列にも当てはまります。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle n}$

最小上限特性は、最高値の指標です。

実数の最小値と最大値

解析学において、実数の部分集合の最小値と最大値は特に重要である。例えば、負の実数は最大元を持たず、その最大値は（これは負の実数ではない）である。^[1]実数の完全性は、実数の任意の有界な空でない部分集合が最小値と最大値を持つことを意味し（そして同値である）、が下方に有界でない場合、しばしば と書き、 が空である場合、 と書く。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \inf _{}S=-\infty .}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \inf _{}S=+\infty .}$

プロパティ

が実数の任意の集合である場合、かつ、そうでなければ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \sup A\geq \inf A,}$ ${\displaystyle -\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .}$

セットの包含

が実数の集合である場合、 （これを と読むと）そして ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \inf A\geq \inf B}$ ${\displaystyle A=\varnothing }$ ${\displaystyle \inf B\leq \infty }$ ${\displaystyle \sup A\leq \sup B.}$

関数による像 が非減少関数であり、が の空でない有界部分集合である場合、 および となる。ここで像は次のように定義される。 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(\inf(S))\leq \inf(f[S])}$ ${\displaystyle f(\sup(S))\geq \sup(f[S])}$ ${\displaystyle f[S]\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$

内膜と上膜の識別

の最小値が存在する場合（つまり、が実数である場合）、 が任意の実数である場合、が下限であり、任意の に対して が存在する場合がこれに限ります。 同様に、が実数であり、 が任意の実数である場合、が上限であり、任意の に対してが存在する場合がこれに限ります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \inf A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=\inf A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$ ${\displaystyle a_{\epsilon }<p+\epsilon .}$ ${\displaystyle \sup A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=\sup A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$ ${\displaystyle a_{\epsilon }>p-\epsilon .}$

数列の極限との関係

が実数の空でない集合であるとき、常に となる非減少列が存在する。同様に、となる（おそらく異なる）非増加列が存在する。特に、集合の最小値と最大値がその閉包に属するのは、となるときであり、 となるとき である。 ${\displaystyle S\neq \varnothing }$ ${\displaystyle s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S.}$ ${\displaystyle s_{1}\geq s_{2}\geq \cdots }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\inf S.}$ ${\displaystyle \inf S\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \inf S\in {\bar {S}}}$ ${\displaystyle \sup S\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sup S\in {\bar {S}}}$

このような数列の極限として最小値と最大値を表現すると、数学のさまざまな分野の定理を適用できます。たとえば、が連続関数で、がその定義域内の点の列であり、点に収束する場合、必然的に に収束するという、位相幾何学でよく知られている事実を考えてみましょう。これは、が実数（すべてが に含まれる）で、が定義域に と を含む連続関数 である場合、（たとえば ）[^{注 1]}が集合の付着点であることを保証することを意味します。仮定されていることに加えて、連続関数 が増加または非減少関数でもある場合、次のように結論付けることもできます。 これは、たとえば、が定義域のsup ノルムが有限である実数（または複素数）値の関数であるときはいつでも、によって定義される写像は定義域に常に と を含む連続非減少関数であるため、すべての非負の実数 に対して であると結論付けるのに使用できます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots }$ ${\displaystyle f(p).}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sup S,}$ $${\displaystyle f(\sup S)=f\left(\lim _{n\to \infty }s_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(s_{n}\right),}$$ ${\displaystyle f(\sup S)}$ ${\displaystyle f(S)\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sup f(S)=f(\sup S).}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Omega \neq \varnothing }$ ${\displaystyle \|g\|_{\infty }\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\sup _{x\in \Omega }|g(x)|}$ ${\displaystyle q,}$ $${\displaystyle \|g\|_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\sup _{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}=\sup _{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)}$$ ${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{q}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle S:=\{|g(x)|:x\in \Omega \}}$ ${\displaystyle \sup S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\|g\|_{\infty }.}$

この議論は に焦点を当てていますが、適切な変更（が非減少ではなく非増加であることを要求するなど）を加えることで、 についても同様の結論に達することができます。またはで定義される他のノルムには、 の弱空間ノルム、ルベーグ空間のノルム、およびの作用素ノルムなどがあります。（または）に収束するの単調な数列は、以下に示す式の多くを証明する際にも役立ちます。これは、実数の加算と乗算が連続演算であるためです。 ${\displaystyle \sup ,}$ ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu ),}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sup S}$ ${\displaystyle \inf S}$

集合上の算術演算

以下の式は、集合上の算術演算を簡便に一般化する記法に基づいています。全体を通して、は実数の集合です。 ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }$

セットの合計

2つの集合と実数のミンコフスキー和は、各集合から1つずつの数の組の可能な算術和をすべて含む集合である 。ミンコフスキー和の最小値と最大値は 、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle A+B~:=~\{a+b:a\in A,b\in B\}}$$ ${\displaystyle A\neq \varnothing \neq B}$ $${\displaystyle \inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)}$$ $${\displaystyle \sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).}$$

集合の積

2つの集合と実数の乗算は、ミンコフスキー和と同様に定義されます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle A\cdot B~:=~\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.}$$

とが正の実数の空でない集合である場合、同様に上限についても^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)}$ ${\displaystyle \sup(A\cdot B)=(\sup A)\cdot (\sup B).}$

集合のスカラー積

実数と実数の集合の積は、 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle rB~:=~\{r\cdot b:b\in B\}.}$$

の 場合、の場合、の 場合、と表記法を 使用すると、次のようになります。 ${\displaystyle r>0}$ $${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\sup A),}$$ ${\displaystyle r<0}$ $${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).}$$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ $${\displaystyle \inf(0\cdot A)=0\quad {\text{ and }}\quad \sup(0\cdot A)=0}$$ ${\displaystyle r=-1}$ ${\textstyle -A:=(-1)A=\{-a:a\in A\},}$ $${\displaystyle \inf(-A)=-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)=-\inf A.}$$

集合の逆数

を含まない任意の集合に対して ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0,}$ $${\displaystyle {\frac {1}{S}}~:=\;\left\{{\tfrac {1}{s}}:s\in S\right\}.}$$

が空でない 場合、 この等式は定義が使用される場合にも成立する。^{[注 2]} この等式は、次のようにも書ける。 さらに 、が^{[注 2]}の場合に限り、が成立する場合、 ${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\sup _{}S}}~=~\inf _{}{\frac {1}{S}}}$$ ${\displaystyle \sup _{}S=\infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\tfrac {1}{s}}.}$ ${\displaystyle \inf _{}S=0}$ ${\displaystyle \sup _{}{\tfrac {1}{S}}=\infty ,}$ ${\displaystyle \inf _{}S>0,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}.}$

二重性

逆の順序関係を持つ半順序集合によって表す場合、つまり、すべて に対してを宣言する場合、 における部分集合の最小値はにおける最大値に等しく、その逆も同様です。 ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$ $${\displaystyle x\leq y{\text{ in }}P^{\operatorname {op} }\quad {\text{ if and only if }}\quad x\geq y{\text{ in }}P,}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$

実数の部分集合に対しては、別の種類の双対性が成り立つ。 ${\displaystyle \inf S=-\sup(-S),}$ ${\displaystyle -S:=\{-s~:~s\in S\}.}$

例

内底

• 数値の集合の最小値は、その数値は下限ではあるが、最大の下限ではないため、最小値ではありません。 ${\displaystyle \{2,3,4\}}$ ${\displaystyle 2.}$ ${\displaystyle 1}$
• より一般的には、集合に最小の要素がある場合、その最小の要素はその集合の最小値となります。この場合、その最小値は集合の最小値とも呼ばれます。
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3,\ldots \}=1.}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.}$
• が極限減少列である場合、 ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \inf x_{n}=x.}$

シュプレマ

• 数の集合の上限はです。この数は上限ですが、最小の上限ではないため、上限ではありません。 ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle 3.}$ ${\displaystyle 4}$
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.}$

最後の例では、有理数集合の上限は無理数であり、これは有理数が不完全であることを意味します。

上限の基本的な性質の一つは、 任意の関数に対してであり、 $${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$

のサブセットの上限は、の要素の最小公倍数です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid \,)}$ ${\displaystyle \,\mid \,}$ ${\displaystyle S.}$

ある集合のサブセットを含む集合の上限は、半順序集合 （はのべき集合、はサブセット ）を考慮したときのサブセットの和集合です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (P(X),\subseteq )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$

参照

• 必須上層部と必須下層部 – ほとんどどこでも下層部と上層部Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 最大元と最小元 – 数学における概念
• 最大と最小の要素 – 予約注文の極端な要素
• 上限と下限 – 数列の境界Pages displaying short descriptions of redirect targets（下限極限）
• 上限と下限 – 数学における主項と副項

注記

1. はこれに収束する列なので、は閉包に属することを保証する。 ${\displaystyle f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots }$ ${\displaystyle f(S)}$ ${\displaystyle f(\sup S),}$ ${\displaystyle f(\sup S)}$ ${\displaystyle f(S).}$
2. この定義は拡張実数でよく使われる。実際、この定義では、空でない部分集合に対しても等式が成り立つ。しかし、この表記法は通常は未定義のままにされるため、等式は ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}:=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sup _{}S}}=\inf _{}{\tfrac {1}{S}}}$ ${\displaystyle S\subseteq (0,\infty ].}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{0}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}}$ ${\displaystyle \inf _{}S>0.}$

参考文献

1. Rudin, Walter (1976). 「第1章 実数系と複素数系」. 『数学解析の原理』 （印刷版）（第3版）. McGraw-Hill. p. 4. ISBN 0-07-054235-X。
2. Rockafellar & Wets 2009、1～2ページ。
3. Zakon, Elias (2004). 数学解析 I. Trillia Group. pp.  39– 42.

• R・ティレル・ロッカフェラー;ウェッツ、ロジャー J.-B. (2009 年 6 月 26 日)。変分分析。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 317. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 9783642024313. OCLC  883392544。

外部リンク

• 「上限と下限」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• Breitenbach, Jerome R. & Weisstein, Eric W. 「最小値と最大値」。MathWorld。

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