キャラクター理論

数学、より具体的には群論において、群表現の指標とは、群上の関数であり、各群元に対応する行列の跡を関連付けるものである。指標は、表現に関する重要な情報をより凝縮した形で伝える。ゲオルク・フロベニウスは当初、表現そのものの明示的な行列実現をすることなく、完全に指標に基づいて有限群の表現論を展開した。これは、有限群の複素表現が（同型性を除いて）その指標によって決定されるため可能である。正の標数の体上の表現、いわゆる「モジュラー表現」の状況はより繊細であるが、リヒャルト・ブラウアーはこの場合においても強力な指標の理論を展開した。有限群の構造に関する多くの深い定理は、モジュラー表現の指標を用いている。

アプリケーション

既約表現の指標は群の多くの重要な特性を符号化するため、群の構造を調べるのに用いることができる。指標理論は有限単純群の分類において不可欠なツールである。フェイト・トムソンの定理の証明のほぼ半分は、指標値を用いた複雑な計算を伴う。指標理論を用いるより容易だが依然として不可欠な結果には、バーンサイドの定理（バーンサイドの定理の純粋に群論的な証明はその後見つかっているが、その証明はバーンサイドの最初の証明から半世紀以上経ってからなされた）や、有限単純群は一般化四元数群をそのシロー $2$ 部分群として持つことはできないというリチャード・ブラウアーと鈴木道雄の定理がある。

定義

$V を$ 体F上の有限次元ベクトル空間とし、 $ρ$ $:$ $G$ $\to GL($ $V$ $)$ $を$ $V$ 上の群 G の $表現$ とする。ρの指標は関数 $χ$ $ρ$ $:$ $G$ $\to$ $F$ が次式で与えるものである $。$

\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))

ここで、 $Tr$ はトレースです。

指標 $χ ρ$ $は、 ρが$ 既約表現であるとき、既約または単純であると呼ばれる。指標 $χの$ 次数は $ρ$ の次元であり、標数 0 ではこれは値 $χ$ $(1)$ に等しい。次数 1 の指標は線型である。G $が$ 有限で $F が$ 標数 0 であるとき、指標 $χ$ $ρ$ の核は正規部分群である。

\ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace ,

これはまさに表現 $ρ$ の核である。しかし、この指標は一般に群準同型ではない。

プロパティ

指標は類関数である。つまり、それぞれは与えられた共役類において定数値をとる。より正確には、与えられた群 $G$ から体 $F$ への既約指標の集合は、すべての類関数 $G$ $\to$ $F$ $のF$ ベクトル空間の基底を形成する。
同型表現は同じ指標を持つ。標数 $0$ の体上では、2つの表現が同じ指標を持つ場合のみ同型となる。 ^[1]
表現が部分表現の直和である場合、対応する文字はそれらの部分表現の文字の合計です。
$有限群G$ の文字が部分群 $H$ に制限される場合、結果も $H$ の文字になります。
すべての指標値 $χ (g)は$ $n の$ $m$ 乗根の和である。ここで $nは指標$ $χ$ による表現の次数（つまり、関連するベクトル空間の次元）であり、 $mは$ $g$ の位数である。特に、 $F$ $=$ $C$ のとき、そのようなすべての指標値は代数的整数となる。
$F = C$ かつ $χ$ が既約である場合、は $G$ のすべての $x$ に対して代数的整数になります。 $[G:C_{G}(x)]{\frac {\chi (x)}{\chi (1)}}$
$F$ が代数的に閉じており、 $char (F)が$ $G$ の位数を割り切れない場合、 $G$ の既約指標の数は $G$ の共役類の数に等しい。さらに、この場合、既約指標の次数は $G$ の位数の約数となる（ $F$ $=$ $C$ の場合には $[$ $G$ $:$ $Z$ $($ $G$ $)]$ を割り切れる）。

算術的性質

$ρ と σ をG$ の表現とする。このとき、以下の恒等式が成立する。

$\chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }$
$\chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }$
$\chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}$
$\chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Alt}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]$
$\chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Sym}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]$

ここで、 $ρ \oplus σ$ は直和、 $ρ \otimes σ$ はテンソル積、 $ρ *$ は $ρ$ の共役転置、 $Alt$ $2$ は交代積 $Alt$ $2$ $ρ$ $=$ $ρ$ $\land$ $ρ$ であり、 $Sym$ $2$ は対称平方で、次のように決定される。 $\rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho .$

文字テーブル

有限群の既約複素指標は、群 $G$ に関する多くの有用な情報をコンパクトな形式でエンコードする指標表を形成します。各行は既約表現でラベル付けされ、行のエントリは、 $G$ のそれぞれの共役類上の表現の指標です。列は、 $G$ の共役類（の代表）でラベル付けされます。最初の行は、すべてのに対してによる 1 次元ベクトル空間への $G$ の自明な作用である自明表現の指標でラベル付けするのが通例です。したがって、最初の行の各エントリは 1 です。同様に、最初の列は恒等関数でラベル付けするのが通例です。したがって、最初の列には各既約指標の次数が含まれます。 $\rho (g)=1$ $g\in G$

こちらは

C_{3}=\langle u\mid u^{3}=1\rangle ,

3つの元と生成元uを持つ巡回群:

	$（1）$	$（あなた）$	$（ u 2 ）$
$1$	$1$	$1$	$1$
$χ 1$	$1$	$ω$	$ω 2$
$χ 2$	$1$	$ω 2$	$ω$

ここで、 $ωは$ 原始的な3 乗根です。

既約表現の数は共役類の数に等しいので、指標表は常に正方である。^[2]

直交関係

有限群 $G$ の複素数値クラス関数の空間には自然な内積がある。

\langle \alpha ,\beta \rangle :={\frac {1}{{\mathopen {\vert }}G{\mathclose {\vert }}}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}

ここで、 $β (g)は$ $β$ $($ $g$ $)$ の複素共役である。この内積に関して、既約指標は類関数の空間の直交基底を形成し、指標表の行の直交関係が得られる。

\langle \chi _{i},\chi _{j}\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}

$G$ の $g 、 h$ の場合、同じ内積を文字テーブルの列に適用すると、次のようになります。

\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}{\mathopen {\vert }}C_{G}(g){\mathclose {\vert }},&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate }}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}

$ここで、和はG$ の既約指標 $χ i$ 全体にわたっており、記号 $|$ $C$ $G$ $($ $g$ $)|は$ $g$ の中心化子の位数を表す。gと $h$ $は$ 指標表の同じ列にある場合にのみ共役となるので、指標表の列は直交することを意味する。

直交関係は、次のような多くの計算に役立ちます。

未知の文字を、既約文字の線形結合として分解します。
既約文字の一部のみがわかっている場合に完全な文字テーブルを構築する。
グループの共役類の代表の中心化者の順序を見つける。
グループの順序を見つけます。

文字テーブルのプロパティ

グループ $G$ の特定の特性はその特性表から推測できます。

$G$ の位数は、第 1 列の要素（既約指標の次数）の平方和によって与えられます。より一般的には、任意の列の要素の絶対値の平方和は、対応する共役類の元の中心化子の位数を与えます。
$G$ のすべての正規部分群（ひいては $G$ が単純かどうか）は、その指標表から判断できる。指標 $χの$ 核とは、 $G$ の元 $g$ のうち $χ$ $($ $g$ $) =$ $χ$ $(1)$ となる集合である。これは $G$ の正規部分群である。G の各正規部分群は $、$ $G$ の既約指標の核の共通部分である。
$G$ の交換子部分群は、 $G$ の線型指標の核の交差です。
$G$ が有限である場合、指標テーブルは正方で、共役類と同じ数の行を持つため、 $Gがアーベルである場合と、共役類がシングルトン$ である場合と、 $G$ の指標テーブルがアーベルである場合と、各既約指標が線形である場合のどちらも同じになります。 $|G|\!\times \!|G|$
モジュラー表現理論からのリチャード・ブラウアーのいくつかの結果を使用すると、有限群の各共役類の元の順序の素因数は、その特性表から演繹できることがわかります（グラハム・ヒグマンの観察）。

指標表は一般に同型性を除いて群を決定しない。例えば、四元数群 $Q$ と $8$ 個の元からなる二面体群 $D$ $4$ は同じ指標表を持つ。ブラウアーは、指標表とその共役類の元の冪の分布に関する知識を組み合わせることで、同型性を除いて有限群を決定できるかどうかを問うた。1964年、 ECデイドはこれに否定的な回答をした。

$G$ の線型表現は、それ自体がテンソル積の基底群である。これは、1次元ベクトル空間のテンソル積もまた1次元だからである。つまり、とが線型表現であるならば、は新たな線型表現を定義する。これにより、演算の基底群と呼ばれる線型指標群が生じる。この群は、ディリクレ指標やフーリエ解析と関連している。 $\rho _{1}:G\to V_{1}$ $\rho _{2}:G\to V_{2}$ $\rho _{1}\otimes \rho _{2}(g)=(\rho _{1}(g)\otimes \rho _{2}(g))$ $[\chi _{1}*\chi _{2}](g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)$

誘導特性とフロベニウスの相互性

この節で議論する指標は複素数値であると仮定する。H $を$ 有限群 $G$ の部分群とする。Gの指標 $χ$ が与えられ、 $χ$ $H を$ $H$ への制限とする。θ $を$ $H$ の指標とする。フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスは $、$ 現在フロベニウスの相互性 $として知られる方法を用いて、 θ$ から $G$ の指標を構成する方法を示した。G の既約指標は $G$ の複素数値類関数の空間の直交基底を形成するので、 $G$ の類関数 $θ$ $G$ $は唯一つ存在し、$ 次の性質を持つ。

\langle \theta ^{G},\chi \rangle _{G}=\langle \theta ,\chi _{H}\rangle _{H}

$G$ の各既約指標 $χ$ に対して（左端の内積は $G$ の類関数に対するもので、右端の内積は $Hの類関数に対するものである）。$ $G$ の指標を部分群 $Hに制限すると$ $H$ の指標となるため、この定義から $θ$ $G$ $はG$ の既約指標の非負整数の組み合わせであることが明確になり、したがって $Gの指標となる。これは$ $θ$ から誘導される $G$ の指標として知られる。フロベニウスの相互性の定義式は、一般の複素数値類関数に拡張することができる。

$フロベニウスは後に、 H$ の行列表現 $ρが与えられたとき、$ $G$ の行列表現を明示的に構築する方法を示した。これは $ρ$ から誘導される表現として知られ、 $ρ$ $G$ と類似して書かれる。これは誘導特性 $θ$ $G$ の別の記述につながった。この誘導特性は、 $H$ のどの元とも共役でない $Gの元すべてにおいて消える。誘導特性は$ $G$ の類関数であるため、 $H$ の元におけるその値を記述する必要があるだけである。 $G を$ $H$ の右剰余類の互いに素な和集合として書くと、

G=Ht_{1}\cup \ldots \cup Ht_{n},

$H$ の要素 $h$ が与えられると、次の式が得られます。

\theta ^{G}(h)=\sum _{i\ :\ t_{i}ht_{i}^{-1}\in H}\theta \left(t_{i}ht_{i}^{-1}\right).

$θは$ $H$ のクラス関数であるため、この値は剰余類代表の特定の選択に依存しません。

$この誘導指標の代替的な記述は、 Hの$ $G$ への埋め込みに関する比較的少ない情報から明示的に計算することを可能にする場合があり、特定の指標表の計算にしばしば有用である。θ が H の自明指標であるとき $、$ 得 $られる$ 誘導指標は $G$ の（ $H$ の剰余類上の）置換指標として知られる。

特性誘導の一般的な手法とその後の改良は、エミール・アルティン、リヒャルト・ブラウアー、ウォルター・ファイト、鈴木道雄などの数学者やフロベニウス自身によって、有限群論や数学の他の分野で数多く応用されました。

マッキー分解

マッキー分解は、ジョージ・マッキーによってリー群の文脈で定義・研究されたが、有限群の指標論および表現論において強力なツールとなっている。その基本形は、有限群 $Gの部分群$ $Hから誘導された指標（または加群）が、$ $G$ の（おそらく異なる）部分群 $K$ への制限下でどのように振舞うかに関するものであり、 $Gの$ $($ $H$ $,$ $K$ $)$ -二重剰余類への分解を利用している。

が互いに素な和集合であり、 $θが$ $H$ の複素クラス関数である場合、Mackeyの公式は次のように述べる。 ${\textstyle G=\bigcup _{t\in T}HtK}$

\left(\theta ^{G}\right)_{K}=\sum _{t\in T}\left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},

ここで、 $θ t$ $はt -1 Ht$ の類関数であり、 $H$ の任意の $hに対して$ $θ t (t -1 ht) = θ (h)$ で定義されます。誘導加群を部分群に制限するための同様の式があり、これは任意の環上の表現に対して成り立ち、さまざまな代数的および位相的な文脈で応用されています。

マッキー分解は、フロベニウスの相互性と組み合わせて、 $H$ と $K$ のそれぞれの部分群から誘導される2つの類関数 $θ$ と $ψの内積を求める、よく知られた有用な公式を与える。この公式の有用性は、$ $H$ と $K$ の共役が互いにどのように交差するかのみに依存するという点にある。この公式（およびその導出）は以下の通りである。

{\begin{aligned}\left\langle \theta ^{G},\psi ^{G}\right\rangle &=\left\langle \left(\theta ^{G}\right)_{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\theta ^{t}\right)_{t^{-1}Ht\cap K},\psi _{t^{-1}Ht\cap K}\right\rangle ,\end{aligned}}

（ここで、 $Tは前述のように$ $（ H 、 K ）$ 二重剰余類代表の完全な集合である）。この式は、 $θ$ と $ψが$ 線形指標であるときによく使用され、その場合、右側の和に現れるすべての内積は、線形指標 $θt$ $と$ $ψが$ $t-1Ht\capKに対して同じ制約を持つかどうかによって、1または0のいずれかになる。θとψ$ $が$ $両方$ $とも$ 自明な $指標$ で $ある$ $場合$ $、$ 内積 $は$ | T |と簡略 $化$ $さ$ $れる$ 。

「ねじれた」次元

表現の指標は、ベクトル空間の「ねじれた」次元として解釈できる。^[3]指標を群 $χ (g)$ の元の関数として扱うと、その恒等関数における値は空間の次元となる。なぜなら、 $χ (1) = Tr(ρ (1)) = Tr(I V) = dim(V)$ であるからである。したがって、指標の他の値は「ねじれた」次元と見ることができる。^{[説明が必要]}

次元に関する記述は、指標や表現に関する記述と類似あるいは一般化される。その洗練された例は、モンスター群の理論に見られる。j $不変$ 量は、モンスター群の無限次元次数表現の次数次元であり、この次元を指標に置き換えると、モンスター群の各元に対するマッケイ・トンプソン級数が得られる。 ^[3]

リー群とリー代数の指標

がリー群での有限次元表現である場合、の指標は任意の群に対してと正確に定義される。 $G$ $\rho$ $G$ $\chi _{\rho }$ $\rho$

\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))

。

一方、がリー代数での有限次元表現である場合、の指標を次のように定義できる。 ${\mathfrak {g}}$ $\rho$ ${\mathfrak {g}}$ $\chi _{\rho }$

\chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})

。

指標は、関連するリー群のすべてのとすべてのに対して満たされます。リー群表現と関連するリー代数表現がある場合、リー代数表現の指標は、群表現の指標と次の式で結びついています。 $\chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)$ $g$ $G$ $X\in {\mathfrak {g}}$ $\chi _{\rho }$ $\mathrm {X} _{\rho }$

\chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X})

。

がカルタン部分代数を持つ複素半単純リー代数であると仮定する。の既約表現の指標の値は、におけるその値によって決定される。指標のへの制限は、重み空間を用いて以下のように簡単に計算できる。 ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h}}$ $\chi _{\rho }$ $\rho$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}$

\chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}

、

ここで、和はのすべての重みについてであり、はの重複度である。^[4] $\lambda$ $\rho$ $m_{\lambda }$ $\lambda$

（の）キャラクタリゼーションの制限は、ワイルキャラクタリゼーション公式によってより明示的に計算できます。 ${\mathfrak {h}}$

参照

既約表現 § 理論物理学と化学への応用
アソシエーションスキーム、グループキャラクタ理論の組み合わせ論的一般化。
1937 年にAH Cliffordによって導入されたClifford 理論は、有限群 $G$ の複素既約特性が正規部分群 $N$ に制限されることに関する情報をもたらします。
フロベニウスの公式
実元、群元gで、χ ( g ) がすべての文字χに対して実数となるもの

参考文献

^ ニコラ・ブルバキ、アルジェブル、シュプリンガー・フェルラーク、2012 年、第 1 章。 8、p392
^ セール、§2.5
^ ab (ギャノン 2006)
^ ホール 2015 提案 10.12

ウィリアム・フルトン、ジョー・ハリス（1991）の講義2。表現論入門。Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Vol. 129. ニューヨーク：Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103. オンライン
ギャノン、テリー（2006年）『怪物を超えた密造酒：代数学、モジュラー形式、物理学をつなぐ架け橋』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-83531-2。
ホール、ブライアン・C.（2015）、リー群、リー代数、表現：初等入門、Graduate Texts in Mathematics、第222巻（第2版）、Springer、ISBN 978-3319134666
アイザックス, IM (1994).有限群のキャラクタ理論(1976年初版の訂正再版, Academic Press 編). ドーバー. ISBN 978-0-486-68014-9。
ジェームズ、ゴードン、リーベック、マーティン(2001). 『群の表現と特徴』（第2版） . ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-00392-6。
セール、ジャン＝ピエール(1977).有限群の線型表現. 大学院数学テキスト. 第42巻. フランス語版第2版からの翻訳 (レオナルド・L・スコット著). ニューヨーク-ハイデルベルク: シュプリンガー出版社. doi :10.1007/978-1-4684-9458-7. ISBN 978-0-387-90190-9. MR 0450380。

外部リンク

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[1] ニコラ・ブルバキ、アルジェブル、シュプリンガー・フェルラーク、2012 年、第 1 章。 8、p392

[2] セール、§2.5

[Gannon-3] (ギャノン 2006)

[4] ホール 2015 提案 10.12

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