Set of finitely supported functions from a group to a ring
代数学 において 、 群環は 自由加群 である と同時に、任意の環と任意の 群 から自然に構成される 環で もある。自由加群の場合、そのスカラー環は与えられた環であり、その基底は与えられた群の元の集合である。環の場合、その加法則は自由加群の加法則であり、その乗法則は基底上の与えられた群則を「線型性によって」拡張する。より簡潔に言えば、群環は与えられた群の各要素に与えられた環の「重み係数」を付与することで、与えられた群を一般化したものである。
環が可換である場合、群環は 群代数 とも呼ばれます。なぜなら、群環は与えられた環上の 代数 だからです。体上の群代数は ホップ代数というさらなる構造を持ちます。この場合、 群ホップ代数 と呼ばれます 。
群環の装置は群表現 の理論において特に有用である 。
意味 を乗法的に書かれた群とし、 を環とする。 上 の群環（ 、または単に と 表記する）は、 有限台 （ は有限個の元 に対してのみ非ゼロ） の 写像の集合である。 ここで、 のスカラー と写像の モジュールスカラー積は 写像 として定義され 、2つの写像 と のモジュール群和 は 写像 として定義される 。加法群を 環にするために、 と の積を 写像 と 定義する。 G {\displaystyle G} R {\displaystyle R} G {\displaystyle G} R {\displaystyle R} R [ G ] {\displaystyle R[G]} R G {\displaystyle RG} f : G → R {\displaystyle f\colon G\to R} f ( g ) {\displaystyle f(g)} g {\displaystyle g} α f {\displaystyle \alpha f} α {\displaystyle \alpha } R {\displaystyle R} f {\displaystyle f} x ↦ α ⋅ f ( x ) {\displaystyle x\mapsto \alpha \cdot f(x)} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} x ↦ f ( x ) + g ( x ) {\displaystyle x\mapsto f(x)+g(x)} R [ G ] {\displaystyle R[G]} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g}
x ↦ ∑ u v = x f ( u ) g ( v ) = ∑ u ∈ G f ( u ) g ( u − 1 x ) . {\displaystyle x\mapsto \sum _{uv=x}f(u)g(v)=\sum _{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).} およびは有限サポートである ため 、この和は正当であり、環公理は簡単に検証されます。 f {\displaystyle f} g {\displaystyle g}
表記法や用語にはいくつかのバリエーションが用いられている。特に、 のような写像は、 しばしば [1] 、 いわゆる「 の 元との係数の形式的線型結合 」と表記される。 f : G → R {\displaystyle f:G\to R} G {\displaystyle G} R {\displaystyle R}
∑ g ∈ G f ( g ) g , {\displaystyle \sum _{g\in G}f(g)g,} あるいは単に
∑ g ∈ G f g g . {\displaystyle \sum _{g\in G}f_{g}g.} [2] 環 が実際に体である場合、群環のモジュール構造は 実際には 上のベクトル空間であることに注意してください 。 R {\displaystyle R} R G {\displaystyle RG} R {\displaystyle R}
例 1. G = C 3 を 位数3の 巡回群 とし、生成元 と 単位元を 1 G と する。C [ G ]の 元 r は 次のように書ける。 a {\displaystyle a}
r = z 0 1 G + z 1 a + z 2 a 2 {\displaystyle r=z_{0}1_{G}+z_{1}a+z_{2}a^{2}\,} ここで 、z 0 、 z 1 、 z 2は C の複素数 です。これは 、 C [ G ]が C [ ]/ と同型である ような 変数の 多項式環 と同じものです 。 a {\displaystyle a} a 3 = a 0 = 1 {\displaystyle a^{3}=a^{0}=1} a {\displaystyle a} ( a 3 − 1 ) {\displaystyle (a^{3}-1)}
異なる要素 s をと書き 、それらの和は s = w 0 1 G + w 1 a + w 2 a 2 {\displaystyle s=w_{0}1_{G}+w_{1}a+w_{2}a^{2}}
r + s = ( z 0 + w 0 ) 1 G + ( z 1 + w 1 ) a + ( z 2 + w 2 ) a 2 {\displaystyle r+s=(z_{0}+w_{0})1_{G}+(z_{1}+w_{1})a+(z_{2}+w_{2})a^{2}\,} そして彼らの製品は
r s = ( z 0 w 0 + z 1 w 2 + z 2 w 1 ) 1 G + ( z 0 w 1 + z 1 w 0 + z 2 w 2 ) a + ( z 0 w 2 + z 2 w 0 + z 1 w 1 ) a 2 . {\displaystyle rs=(z_{0}w_{0}+z_{1}w_{2}+z_{2}w_{1})1_{G}+(z_{0}w_{1}+z_{1}w_{0}+z_{2}w_{2})a+(z_{0}w_{2}+z_{2}w_{0}+z_{1}w_{1})a^{2}.} G の 単位元 1 G は、係数環（この場合はC ）の C [ G ] への標準埋め込みを誘導することに注意してください。ただし、厳密に言えば、 C [ G ]の乗法単位元 は 1⋅1 G であり、最初の 1 は C から 、2番目の 1 は G から来ます。加法単位元はゼロです。
G が非可換群である 場合、項を乗算するときに、群の要素の順序を保存する（誤って交換しないようにする）ように注意する必要があります。
2.環 R上の ローラン多項式 環は、 R 上の 無限巡回群 Z の群環である 。
3. Q を 元 を持つ 四元数群 とする 。群環 R Q を考える。ここで R は実数全体の集合である。この群環の任意の元は、 { e , e ¯ , i , i ¯ , j , j ¯ , k , k ¯ } {\displaystyle \{e,{\bar {e}},i,{\bar {i}},j,{\bar {j}},k,{\bar {k}}\}}
x 1 ⋅ e + x 2 ⋅ e ¯ + x 3 ⋅ i + x 4 ⋅ i ¯ + x 5 ⋅ j + x 6 ⋅ j ¯ + x 7 ⋅ k + x 8 ⋅ k ¯ {\displaystyle x_{1}\cdot e+x_{2}\cdot {\bar {e}}+x_{3}\cdot i+x_{4}\cdot {\bar {i}}+x_{5}\cdot j+x_{6}\cdot {\bar {j}}+x_{7}\cdot k+x_{8}\cdot {\bar {k}}} ここで 、は実数です。 x i {\displaystyle x_{i}}
他の群環と同様に、乗法は群の演算に基づいて定義されます。例えば、
( 3 ⋅ e + 2 ⋅ i ) ( 1 2 ⋅ j ¯ ) = ( 3 ⋅ e ) ( 1 2 ⋅ j ¯ ) + ( 2 ⋅ i ) ( 1 2 ⋅ j ¯ ) = 3 2 ⋅ ( ( e ) ( j ¯ ) ) + 2 2 ⋅ ( ( i ) ( j ¯ ) ) = 3 2 ⋅ j ¯ + 2 2 ⋅ k ¯ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\big (}3\cdot e+{\sqrt {2}}\cdot i{\big )}\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)&=(3\cdot e)\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)+({\sqrt {2}}\cdot i)\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\big (}(e)({\bar {j}}){\big )}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\big (}(i)({\bar {j}}){\big )}\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\bar {j}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\bar {k}}\end{aligned}}.} R Q は R 上の 四元数 の歪体と同じではない ことに注意してください 。これは、四元数の歪体が環において などの追加の関係を満たすのに対し、 群環 R Q では が と等しくないためです 。より具体的には、群環 R Q は 実 ベクトル空間 として8次元を持ちますが、四元数の歪体は 実ベクトル空間 として4次元を持ちます。 − 1 ⋅ i = − i {\displaystyle -1\cdot i=-i} − 1 ⋅ i {\displaystyle -1\cdot i} 1 ⋅ i ¯ {\displaystyle 1\cdot {\bar {i}}}
4. 非アーベル群環のもう一つの例は、 3文字上の 対称群 で あるです 。これは整域ではありません。なぜなら、 となるからです。 ここで、元は1と2を入れ替えた 転置 です。 したがって、基となる環が整域であっても、群環は必ずしも整域である必要はありません。 Z [ S 3 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\mathbb {S} _{3}]} S 3 {\displaystyle \mathbb {S} _{3}} [ 1 − ( 12 ) ] ∗ [ 1 + ( 12 ) ] = 1 − ( 12 ) + ( 12 ) − ( 12 ) ( 12 ) = 1 − 1 = 0 {\displaystyle [1-(12)]*[1+(12)]=1-(12)+(12)-(12)(12)=1-1=0} ( 12 ) ∈ S 3 {\displaystyle (12)\in \mathbb {S} _{3}}
いくつかの基本的な特性 環R の乗法単位元を 1 で表し 、群単位元を 1 G で表すと、環 R [ G ] は R に同型な部分環を含み 、その可逆元群は G に同型な部分群を含む。 {1 G } の指示関数 、すなわち次式で定義される ベクトル f を考える。
f ( g ) = 1 ⋅ 1 G + ∑ g ≠ 1 G 0 ⋅ g = 1 { 1 G } ( g ) = { 1 g = 1 G 0 g ≠ 1 G , {\displaystyle f(g)=1\cdot 1_{G}+\sum _{g\not =1_{G}}0\cdot g=\mathbf {1} _{\{1_{G}\}}(g)={\begin{cases}1&g=1_{G}\\0&g\neq 1_{G}\end{cases}},} f のスカラー倍全体の集合は R [ G ] の部分環で Rと同型である。そして G の各元 s を{ s }の指示関数、つまり f が次のように定義される ベクトルに 写すと、
f ( g ) = 1 ⋅ s + ∑ g ≠ s 0 ⋅ g = 1 { s } ( g ) = { 1 g = s 0 g ≠ s {\displaystyle f(g)=1\cdot s+\sum _{g\not =s}0\cdot g=\mathbf {1} _{\{s\}}(g)={\begin{cases}1&g=s\\0&g\neq s\end{cases}}} 結果として得られる写像は、 （R [ G ]における加算ではなく乗算に関して ）入射的な群準同型である。
R と G が 両方とも可換である場合 （つまり、 R が可換であり、 Gが アーベル群で ある場合 ）、 R [ G ] は可換です。
H が G の 部分群 ならば 、 R [ H ] は R [ G ]の 部分環 となる。同様に、 Sが R の部分環ならば 、 S [ G ] は R [ G ]の部分環となる 。
G が位数 1 より大きい有限群である 場合、 R [ G ] は常に 零因子 を持つ。例えば、 位数 | g | = m > 1の G の元 g を考える。このとき、 1 − g は零因子である。 ( 1 − g ) ( 1 + g + ⋯ + g m − 1 ) = 1 − g m = 1 − 1 = 0. {\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{m-1})=1-g^{m}=1-1=0.}
例えば、群環 Z [ S 3 ] と位数 3 の元 g = (123) を考えてみましょう。この場合、 関連する結果：群環 が 素数 ならば、 Gには非単位有限 正規部分群 は存在しない （特に、 G は 無限でなければならない）。 ( 1 − ( 123 ) ) ( 1 + ( 123 ) + ( 132 ) ) = 1 − ( 123 ) 3 = 1 − 1 = 0. {\displaystyle (1-(123))(1+(123)+(132))=1-(123)^{3}=1-1=0.} K [ G ] {\displaystyle K[G]}
証明： の 対偶を 考え、 が の非単位有限正規部分群であるとする 。 をとる 。 任意の に対して が分かる ので 、したがって となる 。 をとる ととなる 。 の正規性により 、 は の基底と可換であり 、したがって H {\displaystyle H} G {\displaystyle G} a = ∑ h ∈ H h {\displaystyle a=\sum _{h\in H}h} h H = H {\displaystyle hH=H} h ∈ H {\displaystyle h\in H} h a = a {\displaystyle ha=a} a 2 = ∑ h ∈ H h a = | H | a {\displaystyle a^{2}=\sum _{h\in H}ha=|H|a} b = | H | 1 − a {\displaystyle b=|H|\,1-a} a b = 0 {\displaystyle ab=0} H {\displaystyle H} a {\displaystyle a} K [ G ] {\displaystyle K[G]}
a K [ G ] b = K [ G ] a b = 0 {\displaystyle aK[G]b=K[G]ab=0} 。 そして、は ゼロではないことが分かります。つまり、は 素数ではないということです。これは元の文を表しています。 a , b {\displaystyle a,b} K [ G ] {\displaystyle K[G]}
有限群上の群代数 群代数は有限群 の 群表現 の理論において自然に現れる。 体 K 上の群代数 K [ G ]は本質的に群環であり、体 Kが 環の代わりを務める。集合空間およびベクトル空間として、それは 体 K 上の G上の 自由ベクトル空間 である。すなわち、 K [ G ]上の x に対して、
x = ∑ g ∈ G a g g . {\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}g.} ベクトル空間上の代数構造は 、 群の乗算を使用して定義されます。
g ⋅ h = g h , {\displaystyle g\cdot h=gh,} ここで、左側の g と h は 群代数の要素を示し、右側の乗算は群演算（並置で表される）です。
上記の乗算は混乱を招く可能性があるため、 K [ G ] の 基底ベクトルを g ではなく e g と表記することもできます。この場合、乗算は次のように表記されます。
e g ⋅ e h = e g h . {\displaystyle e_{g}\cdot e_{h}=e_{gh}.}
関数としての解釈 自由ベクトル空間を G上の K 値関数 として 考えると 、代数乗算は 関数の 畳み込みになります。
有限 群の群代数は 群上の関数空間と同一視できるが、 無限群 の場合は異なる。 有限 和からなる群代数は、群上の関数のうち、 有限 個以上の点に対して零となるものに対応する。位相的には（ 離散位相を用いて）、これらは コンパクト台 を持つ関数に対応する 。
しかし、群代数 K [ G ]と関数空間 K G := Hom( G , K ) は双対である。群代数の元が与えられると、
x = ∑ g ∈ G a g g {\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}g} 群 f : G → K 上の関数は、これらのペアを介して K の元を与える。
( x , f ) = ∑ g ∈ G a g f ( g ) , {\displaystyle (x,f)=\sum _{g\in G}a_{g}f(g),} これは有限なので明確に定義された合計です。
群代数の表現 K [ G ] を抽象代数とすると、 次元 dの K- ベクトル空間 V に作用する代数の 表現 が求められる 。そのような表現は
ρ ~ : K [ G ] → End ( V ) {\displaystyle {\tilde {\rho }}:K[G]\rightarrow {\mbox{End}}(V)} は群代数から V の準 同型代数への 代数準同型 であり、これは d × d 行列の環と同型である : 。これは アーベル群 V上の 左 K [ G ]-加群であること と同値である。 E n d ( V ) ≅ M d ( K ) {\displaystyle \mathrm {End} (V)\cong M_{d}(K)}
同様に、グループ表現
ρ : G → Aut ( V ) , {\displaystyle \rho :G\rightarrow {\mbox{Aut}}(V),} はGから V の線型自己同型群への 群準同型であり 、これは 可逆行列の 一般線型群 と同型である: 。このような表現は代数表現 A u t ( V ) ≅ G L d ( K ) {\displaystyle \mathrm {Aut} (V)\cong \mathrm {GL} _{d}(K)}
ρ ~ : K [ G ] → End ( V ) , {\displaystyle {\tilde {\rho }}:K[G]\rightarrow {\mbox{End}}(V),} を線形拡張するだけでよい 。したがって、群の表現は代数の表現と正確に対応し、2つの理論は本質的に同等である。 ρ ~ ( e g ) = ρ ( g ) {\displaystyle {\tilde {\rho }}(e_{g})=\rho (g)}
通常の表現 群代数はそれ自身の代数であり、 R および R [ G ]加群上の表現の対応のもとで、 群の 正規表現 となる。
表現として書くと、これは表現 g ↦ ρ g であり、 作用は で与えられる。 ρ ( g ) ⋅ e h = e g h {\displaystyle \rho (g)\cdot e_{h}=e_{gh}}
ρ ( g ) ⋅ r = ∑ h ∈ G k h ρ ( g ) ⋅ e h = ∑ h ∈ G k h e g h . {\displaystyle \rho (g)\cdot r=\sum _{h\in G}k_{h}\rho (g)\cdot e_{h}=\sum _{h\in G}k_{h}e_{gh}.}
半単純分解 ベクトル空間 K [ G ] の次元は、群の元の数に等しい。体 K は一般に複素数 C または実数 R とみなされるため、群代数 C [ G ] または R [ G ] について議論する。
複素数上の有限群の 群代数 C [ G ] は 半単純環 である。この結果、 すなわちマシュケの定理により、 C [ G ] を C を要素とする 行列環 の 有限 積 として理解することができる。実際、 k = 1, . . . , m に対して G の複素 既約表現を V k として 列挙すると、これらは 群準同型 、ひいては代数準同型 に対応する 。これらの写像を組み立てると、代数同型が得られる。 ρ k : G → A u t ( V k ) {\displaystyle \rho _{k}:G\to \mathrm {Aut} (V_{k})} ρ ~ k : C [ G ] → E n d ( V k ) {\displaystyle {\tilde {\rho }}_{k}:\mathbb {C} [G]\to \mathrm {End} (V_{k})}
ρ ~ : C [ G ] → ⨁ k = 1 m E n d ( V k ) ≅ ⨁ k = 1 m M d k ( C ) , {\displaystyle {\tilde {\rho }}:\mathbb {C} [G]\to \bigoplus _{k=1}^{m}\mathrm {End} (V_{k})\cong \bigoplus _{k=1}^{m}M_{d_{k}}(\mathbb {C} ),} ここで、 d k はV k の次元である。End ( V k )に対応する C [ G ]の部分代数は、 冪等元 によって生成される 両側イデアルである。
ϵ k = d k | G | ∑ g ∈ G χ k ( g − 1 ) g , {\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {d_{k}}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{k}(g^{-1})\,g,} ここでは V k の 指標 である 。これらは完全な直交べき等元系を形成し 、 j ≠ k に対して 、 となる 。同型性は 有限群上のフーリエ変換 と密接に関連している 。 χ k ( g ) = t r ρ k ( g ) {\displaystyle \chi _{k}(g)=\mathrm {tr} \,\rho _{k}(g)} ϵ k 2 = ϵ k {\displaystyle \epsilon _{k}^{2}=\epsilon _{k}} ϵ j ϵ k = 0 {\displaystyle \epsilon _{j}\epsilon _{k}=0} 1 = ϵ 1 + ⋯ + ϵ m {\displaystyle 1=\epsilon _{1}+\cdots +\epsilon _{m}} ρ ~ {\displaystyle {\tilde {\rho }}}
より一般的な体 K に対して、 K の 標数が群 G の位数を割り切らない ときはいつでも 、 K [ G ] は半単純である。G が有限アーベル群であるとき 、 群環 K [ G ] は可換であり、その構造は 単位根 を用いて容易に表現できる 。
Kが G の位数を割り切る特性 p の体である 場合 、群環は半単純では ありません 。つまり、非ゼロの ヤコブソン根基を持ち、これにより 、モジュラー表現論 の対応する主題に 独自のより深い特徴が与えられます。
群代数の中心 群代数の中心は、群代数のすべての要素と可換な要素の集合 です 。
Z ( K [ G ] ) := { z ∈ K [ G ] : ∀ r ∈ K [ G ] , z r = r z } . {\displaystyle \mathrm {Z} (K[G]):=\left\{z\in K[G]:\forall r\in K[G],zr=rz\right\}.} 中心はクラス関数 の集合 、つまり各共役クラスで定数である要素の集合
に等しい。
Z ( K [ G ] ) = { ∑ g ∈ G a g g : ∀ g , h ∈ G , a g = a h − 1 g h } . {\displaystyle \mathrm {Z} (K[G])=\left\{\sum _{g\in G}a_{g}g:\forall g,h\in G,a_{g}=a_{h^{-1}gh}\right\}.} K = C の とき、 G の既約 指標 の集合は 内積に関して Z( K [ G ]) の 直交基底 を形成する。
⟨ ∑ g ∈ G a g g , ∑ g ∈ G b g g ⟩ = 1 | G | ∑ g ∈ G a ¯ g b g . {\displaystyle \left\langle \sum _{g\in G}a_{g}g,\sum _{g\in G}b_{g}g\right\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}{\bar {a}}_{g}b_{g}.}
無限群上の群環 G が可算無限体、あるいは非可算体 の場合については、あまり解明されていないが、これは活発な研究分野である。 [3] R が複素数体の 場合が、おそらく最もよく研究されている。この場合、 アーヴィング・カプランスキーは、 a と bが C [ G ] の元で ab = 1 ならば ba = 1 であることを証明した。R が 正標数の体の場合にもこれが成り立つかどうかは 未だ不明である。
カプランスキー（1940年頃） の 長年の予想によれば、 Gが 捩れのない群 であり 、 K が体であるならば、群環 K [ G ] には非自明な 零因子 が存在しない。この予想は、 K と G に対する同じ仮定の下で、 K [ G ] には非自明な 冪零因子 が存在しないという予想と同値である。
実際、 Kが体であるという条件は、 整域 に埋め込むことができる任意の環に緩和できます 。
この予想は一般論として未解決のままであるが、捩れのない群のいくつかの特殊なケースが零因子予想を満たすことが示されており、これには以下が含まれる。
G が 位相群 である場合については 、「局所コンパクト群の群代数」の 記事で詳しく説明します 。
カテゴリー理論
副次 カテゴリ的には 、群環の構築は 「 単位群」に 左随伴 です。次の関数は 随伴ペア です。 ここで、 は 群を R 上のその群環に取り、 R 代数をその単位群に取ります 。 R [ − ] : G r p → R - A l g ( − ) × : R - A l g → G r p {\displaystyle {\begin{aligned}R[-]&\colon \mathbf {Grp} \to R\mathbf {{\text{-}}Alg} \\(-)^{\times }&\colon R\mathbf {{\text{-}}Alg} \to \mathbf {Grp} \end{aligned}}} R [ − ] {\displaystyle R[-]} ( − ) × {\displaystyle (-)^{\times }}
R = Z のとき、 群の圏 と 環の圏 の間には随伴関係が与えられ 、随伴関係の単位元は群 G を自明な単位元を含む群へと導く： G × {±1} = {± g }。 一般に、群環は非自明な単位元を含む。G が元 a と b を含み 、 かつ bが 正規化しない場合 、 a n = 1 {\displaystyle a^{n}=1} ⟨ a ⟩ {\displaystyle \langle a\rangle }
x = ( a − 1 ) b ( 1 + a + a 2 + . . . + a n − 1 ) {\displaystyle x=(a-1)b\left(1+a+a^{2}+...+a^{n-1}\right)}
はゼロなので 、 。元 1 + x は無限次数の単位です。 ( 1 + x ) ( 1 − x ) = 1 {\displaystyle (1+x)(1-x)=1}
普遍的な財産 上記の随伴は群環の普遍的性質を表現している。 [2] [4] R を （可換）環、 G を群、 Sを R 代数とする 。任意の群準同型に対して、 iが 包含である よう な R 代数準同型が 唯一存在する。 f : G → S × {\displaystyle f:G\to S^{\times }} f ¯ : R [ G ] → S {\displaystyle {\overline {f}}:R[G]\to S} f ¯ × ∘ i = f {\displaystyle {\overline {f}}^{\times }\circ i=f}
i : G ⟶ R [ G ] g ⟼ 1 R g {\displaystyle {\begin{aligned}i:G&\longrightarrow R[G]\\g&\longmapsto 1_{R}g\end{aligned}}}
言い換えれば、 次の図が可換となる唯一の準同型です。 f ¯ {\displaystyle {\overline {f}}}
この性質を満たす他の環は、 群環と 標準的に同型です。
ホップ代数 群代数 K [ G ] は ホップ代数 の自然な構造を持つ 。共乗法は によって定義され 、線形拡張される。また、対蹠法はによって定義され 、これも線形拡張される。 Δ ( g ) = g ⊗ g {\displaystyle \Delta (g)=g\otimes g} S ( g ) = g − 1 {\displaystyle S(g)=g^{-1}}
一般化 群代数は モノイド環 に一般化され、そこから カテゴリ代数 に一般化されます。カテゴリ代数の別の例としては、 接続代数 があります。
濾過 群に 長さ関数 がある場合、たとえば、生成元が選択可能で、 コクセター群 のように メトリックという語 を取る場合、群環は フィルターされた代数 になります。
参照
表現論
カテゴリー理論
注記 ^ Milies & Sehgal (2002)、129ページと131ページ。 ^ ab ミリエスとセーガル (2002)、p. 131. ^ パスマン, ドナルド S. (1976). 「群環とは何か?」 アメリカ数学月刊誌 . 83 (3): 173– 185. doi :10.2307/2977018. JSTOR 2977018. ^ "nLabにおける群代数". ncatlab.org . 2017年11月1日 閲覧 。
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![{\displaystyle {\begin{aligned}R[-]&\colon \mathbf {Grp} \to R\mathbf {{\text{-}}Alg} \\(-)^{\times }&\colon R\mathbf {{\text{-}}Alg} \to \mathbf {Grp} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b496d42918a2ea12e6f78e0831b2ca5bce6b9bf)
![{\displaystyle R[-]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecad2c6ecbe39bfe4eb44c9b5355d18afab5eefd)
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