帰納法の新たな謎

ネルソン・グッドマンは『事実、フィクション、そして予測』の中で、ヒュームの元々の問題の後継として、帰納法という新たな謎を提示した。この謎は、時間依存性を持つという点で異例な論理述語グルー（grue）とブリーン（bleen）を提示する。多くの人がこれらの用語を用いてこの新たな謎を解こうとしたが、ヒラリー・パトナムらは、そのような時間依存性は採用された言語に依存し、一部の言語では「green」のような自然な響きの述語にも同様に当てはまると主張した。グッドマンにとって、これらの述語は射影可能な述語の問題、そして最終的にはどの経験的一般化が法則に似ていてどれがそうでないかを示すものであった。^{[ 1 ] [ 2 ]}グッドマンによるグルーとブリーンの構築と使用は、哲学者が概念分析においてどのように単純な例を用いるかを示している。

グルーとブリーン

grueとbleenの定義、および 2 つの述語に基づいて元の色の青と緑をどのように再定義できるか

グッドマンは、任意の固定された時刻tを基準として「グルー」を定義した。^{[ a ]}ある物体がグルーであるとは、時刻tより前に観測され緑色であるか、そうでなければ観測されず青色である場合にのみ判断する。ある物体がブリーンであるとは、時刻tより前に観測され青色であるか、そうでなければ観測されず緑色である場合にのみ判断する。^{[ 3 ]}

任意の未来の時刻t、たとえば2036年1月1日に、エメラルドや水の入った草など、 tより前に観察されたすべての緑色の物には、述語greenとgrue の両方が適用されます。同様に、青い鳥や青い花など、 tより前に観察されたすべての青色の物には、述語blueとbleen の両方が適用されます。しかし、2036年1月2日には、エメラルドや水の入った草はbleen で、青い鳥や青い花はgrueです。述語grueとbleen は日常生活や科学で使用される種類の述語ではありませんが、将来のある時刻tまでは、述語greenとblueと同じように適用されます。時刻tより前の観察者の観点からは、どの述語が未来投影可能か（ greenとblueか、grueとbleen か）は不確定です。

帰納法の新たな謎

この節では、グッドマンの新しい帰納法の謎を概説し、述語grueとbleenの導入の背景を説明し、それによってそれらの哲学的重要性を説明する。^{[ 2 ] [ 4 ]}

帰納法の古い問題とその解消

グッドマンは、ヒュームの帰納法の問題を、私たちが行う予測の妥当性の問題として提起する。予測は未だ観察されていない事柄に関するものであり、観察された事柄と将来観察される事柄の間には必然的な関連性がないため、これらの予測には客観的な根拠がない。演繹論理は、過去の観察に基づいて将来の観察に関する予測を推論するために用いることはできない。なぜなら、そのような推論のための有効な演繹論理の規則が存在しないからである。ヒュームの答えは、ある種の出来事の後に別の種類の出来事が続くという観察は、規則性の習慣（すなわち、ある種の出来事を別の種類の出来事と関連付けること）をもたらすというものである。そして、予測はこれらの規則性、つまり思考の習慣に基づいて行われるのである。

グッドマンはヒュームの答えを真剣なものとみなしている。彼は、ヒュームは予測の起源を説明しているだけで、その正当性を説明していないという他の哲学者の反論を否定する。彼の見解では、ヒュームはより深い何かを特定したのだ。これを説明するために、グッドマンは演繹規則の体系を正当化する問題に目を向ける。グッドマンにとって、演繹体系の妥当性は、それが優れた演繹実践に準拠していることによって正当化される。演繹体系の規則の正当化は、特定の演繹的推論を拒否するか受け入れるかについての我々の判断に依存する。したがって、グッドマンにとって、帰納の問題は演繹体系の正当化と同じ問題に帰着し、グッドマンによれば、ヒュームは思考習慣に関して正しい方向に進んでいたが、問題はヒュームが認識していたよりも複雑である。

帰納法の規則を正当化する文脈において、これはグッドマンにとって一般化の確認の問題となる。しかし、確認は正当化の問題ではなく、証拠がどのように一般化を確認するかを正確に定義する問題である。この転換において、グルーとブリーンはグッドマンの帰納法観において哲学的な役割を果たす。

投影可能な述語

時間依存述語の米国政府の例: 1797年3月以前には、任意の数の観測が予測の両方のバージョンをサポートするだろう。「米国軍は常に{^{ジョージ・ワシントン}_{アメリカ合衆国大統領}}、それゆえ、彼らは将来彼によって指揮されるであろう」、これは今日では{^偽_真}、"エメラルドは常に{^グルー_グリーン}、したがって将来もそうなるでしょう」。

グッドマンにとって、帰納法の新たな謎は、法則的な一般化と法則的でない一般化を区別する能力にかかっている。 法則的な一般化は確認可能であるが、法則的でない一般化は確認できない。 法則的な一般化は予測を行うために必要である。グッドマンの例を用いると、「すべての銅は電気を通す」という一般化は特定の銅片によって確認可能であるが、「ある部屋にいる男性はすべて三男である」という一般化は法則的ではなく偶然である。「すべての銅は電気を通す」という一般化は、この銅片が電気を通すだろうと予測する根拠となる。しかし、「ある部屋にいる男性はすべて三男である」という一般化は、その部屋にいる特定の男性が三男であると予測する根拠にはならない。

したがって、ある一般化が法則に似ていて、他の一般化が偶然である理由が問題となる。これは、グッドマンにとって、どの述語が射影可能（つまり、予測として機能する法則に似た一般化に使用できる）で、どの述語がそうでないかを決定する問題となる。グッドマンは、ここに根本的な問題があると主張する。この問題はグッドマンのパラドックスとして知られている。すなわち、これまで調べたエメラルドはすべて緑色だったという明らかに強力な証拠から、将来のエメラルドはすべて緑色になると帰納的に結論付けることができる。しかし、この予測が法則に似ているかどうかは、この予測に使用した述語に依存する。グッドマンは、（tがまだ経過していないと仮定して）これまで観察されたすべてのエメラルドがgrue であるということも同様に真であると観察した。したがって、同じ証拠から、将来のエメラルドはすべてgrueであると結論付けることができる。帰納法の新しい問題は、greenやblueなどの射影可能な述語とgrueやbleenなどの射影不可能な述語を区別するという問題になります。

グッドマンは、ヒュームはこの問題を見逃したと主張する。我々は習慣により、観察した出来事の全ての連想から一般化を形成するのではなく、その一部だけを形成する。過去に観察されたエメラルドは全て緑色で、我々は次のエメラルドも緑色だろうと考える習慣を身につけたが、それらは同様にグルーであり、我々はグルーさに関する習慣を身につけない。法則のような予測（または投影）は、最終的には我々が使用する述語によって区別できる。グッドマンの解決策は、法則のような予測はグリーンやブルーなどの投影可能な述語に基づいており、グルーやブリーンなどの投影不可能な述語には基づいていない、そして述語を投影可能にするのはそれらの定着であり、それはそれらの過去の投影の成功に依存する、と主張することである。したがって、グルーとブリーンはグッドマンの議論において、帰納法の新しい謎を示すとともに、相対的な定着を介して投影可能な述語と投影不可能な述語の区別を示す機能を果たす。

回答

一つの対応策は、grue の人為的に選言的な定義に訴えることである。述語のエントレンチメントの概念は不要である。グッドマンは、これはうまくいかないと述べた。grueとbleen を基本述語とすれば、green を「 tより前に最初に観測された場合はgrue、そうでない場合はbleen 」と定義でき、blue についても同様である。この green の選言的な定義の妥当性を否定することは、論点先取に等しい。

述語の固定を必要としないもう一つの解決策は、「xは grue である」はxのみの述語ではなく、xと時刻tの述語であるというものである。つまり、時刻t を知らなくても物体が緑色であることは分かるが、それが grue であることは分からない。もしこれが事実であるならば、時刻が変わっても「 xは grue である」が真であり続けるとは期待できない。しかし、「 xは緑である」がなぜ特定の時刻tの述語とみなされないのかという疑問も生じるかもしれない。より一般的な緑の定義では時刻tへの言及は不要であるが、 grue の定義では必要となるからである。グッドマンもまた、この解決策を論点先取であると指摘し、青は明示的に時刻を指すgrueとbleenで定義できるため、論点先取であると否定している。 ^{[ 5 ]}

スウィンバーン

リチャード・スウィンバーンは、特定のケースで述語の適用可能性をどのようにテストするかに基づいて区別することによって、 green がgrueとbleenで再定義される可能性があるという反論を乗り越えています。彼は、質的述語と位置的述語を区別しています。 green のような質的述語は、 xと特定の時間、場所、またはイベントとの空間的または時間的関係を知らなくても評価できます。 grueのような位置的述語は、 xと特定の時間、場所、またはイベントとの空間的または時間的関係(この場合は、x が時刻tより前に観測されているか、後に観測されているか) を知らなければ評価できません。 green は、位置的述語grueとbleenで定義できますが、これは、 green が質的述語であるための基準を満たしているのに対し、 grueは単に位置的であるという事実とは無関係です。彼は、エメラルドのように、検査対象のxが質的述語と位置的述語の両方を満たすが、これら2つの述語を投影すると矛盾する予測、すなわち、時間t後に検査されたエメラルドが灰色に見えるか緑色に見えるかという予測が得られる場合、質的述語、この場合は緑色を投影するべきであると結論付けている。^{[ 6 ]}

カルナップ

ルドルフ・カルナップはグッドマンの1946年の論文に反論した^{[ 7 ]} 。カルナップの帰納論理へのアプローチは、与えられた仮説hに対する与えられた証拠eによる確証度c ( h , e )の概念に基づいている^{[ b ]}。hとeはどちらも、次のような 単純な言語Lで表現された論理式である。

• 多重量化（「すべてのxに対して、... となるyが存在する」）
• 一項述語記号と二項述語記号（プロパティと関係）、および
• 等式関係「=」。

言説宇宙は、それぞれが固有の定数記号で指定される、数え切れないほど多くの個体から構成される。このような個体は、拡張された物理的物体ではなく、位置（「現実世界の時空点のような」）としてみなされることを意図している。^{[ 9 ]}状態記述は、否定または非否定のあらゆる可能な基底原子文を含む（通常は無限の）連言である。このような連言は、宇宙全体の可能な状態を記述する。^{[ 10 ]}カルナップは、以下の意味特性を要求する。

• 原子文は互いに論理的に独立していなければならない。^{[ 11 ]}特に、異なる定数記号は、異なる完全に独立した個体を指定しなければならない。^{[ c ]}さらに、異なる述語は論理的に独立していなければならない。^{[ d ] [ e ]}
• 述語によって指定される性質と関係は単純でなければならない、すなわち、それらはより単純な構成要素に分析可能であってはならない。^{[ 13 ]}明らかに、カルナップは、非反射的、部分的、かつ十分な根拠のある^{[ 14 ]}順序を念頭に置いていた。 ^{[ f ]}は、よりも単純である。
• Lにおける原始述語の集合は完全でなければならない。つまり、宇宙における2つの位置が直接観察によって異なることがわかるあらゆる点が、Lで表現可能でなければならない。^{[ 15 ]}

カルナップは3種類の特性を区別しています。

1. 純粋に質的な性質、つまり、個々の定数を使わずに表現できるが、基本述語なしでは表現できない性質。
2. 純粋に位置的な特性、つまり、基本述語なしで表現できる特性であり、
3. 混合プロパティ。つまり、残りのすべての表現可能なプロパティ。

この分類を明確にするために、x を変数、 aを定数シンボルとします。すると、 1. の例は「xは青、またはxは暖色ではない」、 2. の例は「x = a」、 3. の例は「xは赤であり、x = aではない」となります。

カルナップは、上述の帰納論理の理論に基づき、グッドマンの特性Wの投影可能性の概念を次のように定式化している。観察された標本におけるWの相対頻度が高いほど、観察されていない個体が特性Wを持つ確率が高くなる。カルナップはグッドマンに対する「暫定的な答えとして」、純粋に質的な特性はすべて投影可能であり、純粋に位置的な特性はすべて投影不可能であり、混合特性についてはさらなる調査が必要であると示唆している。^{[ 16 ]}

クワイン

ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインは、 「自然種」のみを射影可能な述語として考えるアプローチについて論じている。[ 17 ^]彼は まず、 2つの述語FとGが（同時に）射影可能であると定義し、それらの共有インスタンスすべてが「各FはGである」という主張の確証にカウントされる場合に限る、グッドマンのグルーのパラドックスをヘンペルのレイヴンのパラドックスに関連付ける。^{[ 18 ]}次に、ヘンペルのパラドックスは、射影可能な述語の補語（「カラスである」や「黒である」など）は射影可能である必要がないことを示しているだけである。^{[ g ]}グッドマンのパラドックスは、「緑色である」は射影可能であるが、「グルーである」は射影不可能であることを示している。

次に、クワインは、投影可能性を類似性の主観的概念に還元する。2 つの緑のエメラルドは、通常、そのうちの 1 つだけが緑色である場合、2 つのグルーエメラルドよりも類似していると見なされる。緑のエメラルドを観察すると、次回も同様の観察 (つまり、緑のエメラルド) を期待する。緑のエメラルドは自然種であるが、グルーエメラルドは自然種ではない。クワインは、「類似性、または種類の一般的な概念の疑わしい科学的地位」を調査している。^{[ 19 ]}どちらも、例えば同一性、否定、選言などの論理的概念のように、思考と言語の基礎となっている。しかし、論理的概念を類似性や種類とどのように関連付けるかは不明である。^{[ h ]}そのため、クワインは少なくとも後者の 2 つの概念を互いに関連付けようとしている。

カルナップに基づく「自然種」の定義に対するグッドマンの反例

幾何学における円の面積の定義と同様に、 「パラダイム」オブジェクトpと「フォイル」オブジェクトpとの類似度よりも「パラダイム」オブジェクト pとの類似度が高いすべてのオブジェクトxの集合として種類を定義しようとしたが失敗した。

類似性と種類の関係

有限個の種類のみを想定すると、類似性の概念は種類の概念によって定義できます。つまり、オブジェクトAとBがAとCが属する種類よりも多くの種類^{[ i ]}に共同で属する場合、オブジェクトAはCよりもBに類似しています。^{[ 21 ] [ j ]}

逆に、類似性によって種類をどのように定義するかは依然として不明確です。例えば、赤いものの種類を、ある固定された「典型的な」赤い物体に、別の固定された「箔」のような赤くない物体よりも類似しているすべてのものの集合として定義することは（左の図を参照）、形状や重さなどを含む全体的な類似性の度合いは、赤さの度合いを示す証拠としてほとんど役に立たないため、不十分です。^{[ 21 ]}（図では、黄色のパプリカはオレンジ色のパプリカよりも赤いパプリカに似ていると考えられるかもしれません。）

カルナップにヒントを得た別のアプローチでは、自然種とは、その集合の成員同士の類似性が、非成員と少なくとも一つの成員との類似性よりも高い集合であると定義される。 ^{[ 22 ] [ k ]} しかし、グッドマン^{[ 23 ]}は、この定義では、すべての赤い丸い物、赤い木製の物、丸い木製の物（右の図を参照）の集合が自然種の提案された定義を満たすことになると主張した。^{[ l ]}「確かに、それは誰もが類と呼ぶものではない」。^{[ m ] [ 24 ]}

類似性と種類という概念は、どちらも他方によって定義されることはないが、少なくとも共に変化する。すなわち、AがBよりもCに類似していると再評価された場合、 A、B、Cの種類への割り当てもそれに応じて入れ替えられる。またその逆も同様である。^{[ 24 ]}

類似性と種類の基本的な重要性

言語において、あらゆる一般用語はその一般性を、言及される事物との何らかの類似性に負っている。 ある単語の使い方を学ぶには、その単語が使われた現在の状況と過去の状況、そしてその単語の現在の音声的発話と過去の音声的発話という二重の類似性が必要である。^{[ 25 ]}

あらゆる合理的な期待は、状況の類似性と、類似の原因は類似の結果をもたらすと期待する私たちの傾向に依存しています。^{[ 19 ]}これはあらゆる科学実験にも当てはまります。なぜなら、実験は完全に同一の状況ではなく、類似の状況下でのみ再現できるからです。ヘラクレイトスの有名な格言「人は同じ川に二度足を踏み入れることはない」は、類似の状況と同一の状況の違いを既に明確に示しています。

鳥類の類似関係
ティンベルゲンとローレンツは、経験の浅い七面鳥のひなの大まかな相似関係を示した。[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]上段：飛行中の本物のタカ（左）とガチョウ（右）。下段：実物と同様の反応を示す段ボール製のダミー。

類似性と種類の起源

行動学的には、人間と他の動物は生来の類似性という基準を持っている。これは動物としての生得権の一部であり、数学や論理への疎遠さなど、知的地位の欠如において動物的特徴を示す。^{[ 29 ]}鳥の例を参照。

習慣形成

帰納法自体は、本質的に動物の期待、あるいは習慣形成である。指示学習^{[ 30 ]}は帰納法の一例であり、奇妙なほど心地よいものである。なぜなら、各人の資質と種類の間隔は、隣人のそれと十分に似ているからである。^{[ 31 ]}対照的に、「我々の類似性感覚の野蛮な非合理性」は、我々が決して作り出さなかった無生物の自然と、それが何らかの形で調和していると期待する根拠をほとんど与えない。^{[ n ]}帰納的に得られた理論をなぜ信頼すべきかは、帰納法という永遠の哲学的問題である。クワインは渡辺に倣い、^{[ 32 ]}ダーウィンの理論を説明として提示している。すなわち、もし人々の生来の資質の間隔が遺伝子に関連した形質であるならば、最も成功した帰納法をもたらした間隔が自然淘汰によって優勢になる傾向があるだろう、というものである。^{[ 33 ]}しかし、これは、新しい領域に慣れる過程で、人間が資質の間隔を動的に洗練させる能力を説明できない。^[お]

哲学的分析で使用される同様の述語

クウス

ソール・クリプキは著書『ウィトゲンシュタインの規則と私的言語論』の中で、帰納法懐疑論ではなく意味懐疑論へとつながる関連議論を提唱した。これは、私的言語論に関する彼の個人的な解釈（一部からは「クリプケンシュタイン」というあだ名で呼ばれた^{[ 34 ]}）の一部である。彼は、 quus（クウス）と呼ぶ新しい加算形式を提唱した。これは、加算される数のいずれかが57以上の場合を除き、すべてのケースにおいて「+」と一致する。この場合、答えは5となる。すなわち、

${\displaystyle x{\text{ quus }}y={\begin{cases}x+y&{\text{for }}x,y<57\\[12pt]5&{\text{for }}x\geq 57{\text{ or }}y\geq 57\end{cases}}}$

次にクリプキは、ある明白な状況下で、私が以前「+」を意味していたと思っていた時、実際には「quus 」を意味していなかったことを誰がどのようにして知ることができるのかと問う。そして、私の過去の行動や現在の状態に関する事実が、プラス記号のようにもクウス記号のようにも「+」記号を使い続けることが正しい（以前の私の意図と一致する）と規定するものではない、というウィトゲンシュタインの解釈を主張する。

参照

• N宇宙
• 帰納法の問題
• ソロモノフの帰納的推論理論– 情報理論の観点

注記

1. 歴史的に、グッドマンは『確認に関する質問』（383ページ）と『事実、フィクション、そして予測』 （1973年第3版、73ページ）でそれぞれ「VEデー」と「ある特定の時間t」を使用していました。
2. 彼は別の変種c ^* ( h , e ) を用いて、実際の値を計算する公式を与えている。 ^{[ 8 ]}これはラプラスの継承則とは異なる。詳細については、カルナップの著書『帰納的論理と確率の研究』第1巻（カリフォルニア大学出版局、1971年）を参照のこと。特にcについては sect.IV.16、 c ^*については app.A.1 を参照のこと。
3. たとえば、 aとbに共通する部分がある場合、「 aは暖かく、 bは暖かくない」という組み合わせは不可能になります。
4. 例えば、「ワタリガラスである」と「鳥である」は、前者が後者の否定を排除するため、両方とも述語として認められません。また、「暖かい」と「より暖かい」も、両方とも述語として認められません。「 aは暖かく、 bはaより暖かく、 bは暖かくない」という組み合わせはあり得ないからです。
5. カルナップは^{[ 12 ]} 、分析文の集合が決定可能であるためには、演繹論理にも論理的独立性が必要であると。
6. カルナップは、相互に定義可能な述語を考慮しておらず、その結果、事前順序が発生します。
7. 黒いカラスを観察することは「すべてのカラスは黒い」という主張を確認することとみなされますが、論理的に同等の「黒くないものはすべてカラスではない」という主張は、例えば緑の葉を観察することによっては確認されないとみなされます。
8. 二つのものが全て、あるいは大部分、あるいは多くの性質を共通に持つ場合、それらを類似物と定義することは、数学的な集合のように、あらゆる組み合わせの物を取る性質を持つ場合には意味をなさない。 ^{[ 20 ]} n個の物からなる有限の宇宙を仮定すると、それらの任意の二つはちょうど2 ^{n -2}個の集合に属し、ちょうどその数の拡張的性質を共有する。渡辺はこれを「みにくいアヒルの子定理」と呼んだ。
9. 任意の集合ではなく
10. クインズはこの三元関係を利用して、異なるレベルの類似性を認めています。たとえば、赤いものは、単なる色のついたものよりも互いに類似している可能性があります。
11. 正式には、集合K が種であるとは、 ∀ Y ∉ K . ∃ X ₁ ∈ K . ∀ X ₂ ∈ K . （ X _1はYよりもX ₂に類似している）。
12. セットの各メンバーは、赤い、丸い、木製であるなどの点で、またはこれらの特性のいくつかにおいて、他のメンバーと類似しています。
13. セットには、例えば黄色のクロッケーボールや赤いゴムボールが含まれていますが、黄色のゴムボールは含まれていません。
14. クワインはここでヴィコの事実原理をほのめかしているようだ。
15. 例えば「グリーブルズ」のようなこれまで見たことのない人工物の分類に関する心理学的実験によって実証されています。

参考文献

引用

1. ネルソン・グッドマン (1946年7月). 「確認に関する問い」(PDF) . The Journal of Philosophy . 43 (14): 383– 385. doi : 10.2307/2020332 . JSTOR  2020332. 2016年5月28日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2014年1月27日閲覧。
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3. ザルタ、エドワード・N.編（2019年3月25日）。「ネルソン・グッドマン」。スタンフォード哲学百科事典（2019年春版）。ISSN 1095-5054。OCLC 429049174。  
4. ピーター・ゴッドフリー＝スミス (2003). 『理論と現実』 シカゴ大学出版局. p. 53. ISBN 978-0-226-30063-4. 2012年10月23日閲覧。
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8. カルナップ 1947、138ページ、143頁以降。
9. カルナップ 1947年、134ページ。
10. これはウィトゲンシュタインの『論理哲学論考』第1.11節に相当すると考えられる。
11. cf. 論考 Nr.1.21
12. カルナップ 1947年、135ページ。
13. カルナップ 1947年、136ページ。
14. Carnap 1947、137ページ：「… [複雑な述語をより単純な構成要素に] 分析することを最後まで続ける」。
15. カルナップ 1947年、138ページ。
16. カルナップ 1947年、146ページ。
17. クワイン 1970 .
18. クワイン1970、41ページ。
19. Quine 1970、42ページ。
20. クワイン1970、43ページ。
21. Quine 1970、44ページ。
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23. グッドマン 1951、163ページ以降。
24. Quine 1970、45ページ。
25. Quine 1970、42、45-48ページ。
26. ホフマン 1998、第1章。
27. ティンバーゲン、1951 年、第 4 章。
28. ティンベルゲン 1948、34ページ、図21C。
29. クワイン1970、46ページ。
30. Quine 1974、第11節。
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32. 渡辺 1965、41頁。
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34. ジョン・P・バージェス、ギデオン・ローゼン（1999年）『対象のない主語：数学の名目論的解釈のための戦略』 p.53。ISBN 978-0-19-825012-8。

参考文献

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• グッドマン、ネルソン（1951）『外見の構造』
• 渡辺聡（1965）。「オブジェクトの分類における数学的説明」。スタニスラス I. ドックスでは。ポール・バーネイズ(編)。科学における情報と予測。ニューヨーク：アカデミックプレス。39 ～ 76ページ 。LCCN  64-24655。OCLC  522269。
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• ホフマン、ドナルド・D. (1998).視覚知能. 視覚はどのようにして作られるのか. ニューヨーク: ノートン.
• ティンバーゲン、N. (1951).本能の研究. クラレンドン.
• クワイン、ウィラード・ヴァン・オーマン（1974年）『参照のルーツ』イリノイ州ラサール：オープンコート出版ISBN 9780812691016。

さらに読む

• グッドマン、ネルソン(1955). 『事実、フィクション、そして予測』 マサチューセッツ州ケンブリッジ：ハーバード大学出版、1955年。第2版、インディアナポリス：ボブス・メリル社、1965年。第3版、インディアナポリス：ボブス・メリル社、1973年。第4版、マサチューセッツ州ケンブリッジ：ハーバード大学出版、1983年。
• クリプキ、ソール（1982年）『ウィトゲンシュタインの規則と私的言語論』Basil Blackwell Publishing. ISBN 0-631-13521-9。
• ウォルパート、デイヴィッド (1996). 「学習アルゴリズム間の事前区別の欠如」.ニューラル・コンピュテーション. 8 (7): 1341–1390 . doi : 10.1162/neco.1996.8.7.1341 . S2CID  207609360 .
• ストーカー、ダグラス（1994年）『グルー！帰納法の新たな謎』オープン・コート・パブリッシング、ISBN 0-8126-9218-7。
• Franceschi、Paul、「Une solution pour le paradoxe de Goodman」、Dialogue、vol.40、2001 年、99 ～ 123 ページ、英語翻訳。
• エルギン、キャサリン編（1997年）『ネルソン・グッドマンの哲学：選集』第2巻、ネルソン・グッドマンの新しい帰納法の謎。 ニューヨーク：ガーランド。ISBN 0-8153-2610-6。
• グッドマンのグルーの本来の定義

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