半辺式

球面三角法において、半辺の公式は球面三角形の辺の角度と長さを関連付けます。球面三角形は球の表面に描かれた三角形であるため、曲面の辺を持ち、平面三角形の公式には従いません。^[1]

球面上の三角形の半辺の公式は^{[2]である。} $\triangle ABC$ ${\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos(S)\,\cos(S-A)}{\cos(S-B)\,\cos(S-C)}}}\end{aligned}}$

ここで $、a、b、cはそれぞれ角$ $A、B、Cに$ 対向する辺の角長（中心角の尺度、単位半径の球に正規化された弧長）であり、は角の和の半分である。ラベルを並べ替えることで、およびについてさらに2つの式が得られる。 $S={\tfrac {1}{2}}(A+B+C)$ $b$ $c$ $A,B,C.$

球面三角形の極双対関係は半角の公式である。

${\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\,\sin(s-c)}{\sin(s)\,\sin(s-a)}}}\end{aligned}}$

ここで、半周は辺の和の半分である。ここでも、ラベルを並べ替えることでさらに2つの式が得られる。 $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ $A,B,C.$

半接線変形

同じ関係は、半接線（半角の接線）の有理方程式として表すことができます。そしてのとき、半辺の公式は次の式と等しくなります。 $t_{a}=\tan {\tfrac {1}{2}}a,$ $t_{b}=\tan {\tfrac {1}{2}}b,$ $t_{c}=\tan {\tfrac {1}{2}}c,$ $t_{A}=\tan {\tfrac {1}{2}}A,$ $t_{B}=\tan {\tfrac {1}{2}}B,$ $t_{C}=\tan {\tfrac {1}{2}}C,$

${\begin{aligned}t_{a}^{2}&={\frac {{\bigl (}t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}-1{\bigr )}{\bigl (}{-t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}+1}{\bigr )}}{{\bigl (}t_{B}t_{C}-t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}+1{\bigr )}{\bigl (}t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}-t_{A}t_{B}+1{\bigr )}}}.\end{aligned}}$

半角の公式は次の式と等しくなります。

${\begin{aligned}t_{A}^{2}&={\frac {{\bigl (}t_{a}-t_{b}+t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}{\bigl (}t_{a}+t_{b}-t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}}{{\bigl (}t_{a}+t_{b}+t_{c}-t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}{\bigl (}{-t_{a}+t_{b}+t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}}{\bigr )}}}.\end{aligned}}$

参照

参考文献

^ インディアナ州ブロンシュタイン;セメンジャエフ、KA;ゲルハルト・ムジオル。 Mühlig、Heiner (2007)、Handbook of Mathematics、Springer、p. 165、ISBN 9783540721222[1]
^ David Nelson (2008)、The Penguin Dictionary of Mathematics (第 4 版)、Penguin UK、p. 529、ISBN 9780141920870。

[1] インディアナ州ブロンシュタイン;セメンジャエフ、KA;ゲルハルト・ムジオル。 Mühlig、Heiner (2007)、Handbook of Mathematics、Springer、p. 165、ISBN 9783540721222[1]

[2] David Nelson (2008)、The Penguin Dictionary of Mathematics (第 4 版)、Penguin UK、p. 529、ISBN 9780141920870。