ハード六角形モデル

統計力学では、ハード六角形モデルは気体の2 次元格子モデルであり、粒子は三角格子の頂点上に存在できますが、2 つの粒子が隣接することはできません。

このモデルはロドニー・バクスター （1980）によって解明され、ロジャース・ラマヌジャン恒等式と関連していることがわかった。

ハードヘキサゴンモデルの分割関数

ハードヘキサゴンモデルは、グランドカノニカルアンサンブルの枠組みの中で現れます。グランドカノニカルアンサンブルでは、粒子（「ヘキサゴン」）の総数は自然に変化することが許され、化学ポテンシャルによって固定されます。ハードヘキサゴンモデルでは、すべての有効な状態はエネルギーゼロであるため、唯一の重要な熱力学的制御変数は化学ポテンシャルと温度の比μ /( kT ) です。この比の指数z = exp( μ /( kT )) は活性と呼ばれ、値が大きいほど密度の高い構成に対応します。

N個のサイトを持つ三角格子の場合、グランド分割関数は

${\displaystyle \displaystyle {\mathcal {Z}}(z)=\sum _{n}z^{n}g(n,N)=1+Nz+{\tfrac {1}{2}}N(N-7)z^{2}+\cdots }$

ここで、 g ( n , N ) は、 n個の粒子を格子点に、どの2個も隣接しないように配置する方法の数である。関数κは次のように定義される。

${\displaystyle \kappa (z)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\mathcal {Z}}(z)^{1/N}=1+z-3z^{2}+\cdots }$

したがって、log(κ)は単位サイトあたりの自由エネルギーです。ハードヘキサゴンモデルを解くということは、（大まかに言えば）κをzの関数として正確に表す式を見つけることを意味します。

平均密度ρは、 zが小さい場合、次の ように与えられる。

${\displaystyle \rho =z{\frac {d\log(\kappa )}{dz}}=z-7z^{2}+58z^{3}-519z^{4}+4856z^{5}+\cdots .}$

格子の頂点は、空間を硬い六角形で満たす3つの異なる方法によって、1、2、3の3つのクラスに分類されます。3つの局所密度ρ ₁、ρ ₂、ρ ₃があり、これらは3つのサイトクラスに対応しています。活性が大きい場合、システムはこれら3つの充填のいずれかに近似するため、局所密度は異なりますが、活性が臨界点以下の場合、3つの局所密度は同じになります。低活性の均質相と高活性の秩序相を分ける臨界点は、黄金比φです。臨界点を超えると局所密度は異なり、ほとんどの六角形がタイプ1のサイト上にある相は、次のように展開できます。 ${\displaystyle z_{c}=(11+5{\sqrt {5}})/2=\phi ^{5}=11.09017....}$

${\displaystyle \rho _{1}=1-z^{-1}-5z^{-2}-34z^{-3}-267z^{-4}-2037z^{-5}-\cdots }$

${\displaystyle \rho _{2}=\rho _{3}=z^{-2}+9z^{-3}+80z^{-4}+965z^{-5}-\cdots .}$

解決

z  <  z _cの小さな値に対する解は次のよう に与えられる。

${\displaystyle \displaystyle z={\frac {-xH(x)^{5}}{G(x)^{5}}}}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {H(x)^{3}Q(x^{5})^{2}}{G(x)^{2}}}\prod _{n\geq 1}{\frac {(1-x^{6n-4})(1-x^{6n-3})^{2}(1-x^{6n-2})}{(1-x^{6n-5})(1-x^{6n-1})(1-x^{6n})^{2}}}}$

${\displaystyle \rho =\rho _{1}=\rho _{2}=\rho _{3}={\frac {-xG(x)H(x^{6})P(x^{3})}{P(x)}}}$

どこ

${\displaystyle G(x)=\prod _{n\geq 1}{\frac {1}{(1-x^{5n-4})(1-x^{5n-1})}}}$

${\displaystyle H(x)=\prod _{n\geq 1}{\frac {1}{(1-x^{5n-3})(1-x^{5n-2})}}}$

${\displaystyle P(x)=\prod _{n\geq 1}(1-x^{2n-1})=Q(x)/Q(x^{2})}$

${\displaystyle Q(x)=\prod _{n\geq 1}(1-x^{n}).}$

z  >  z _cが大きい場合、解（占有サイトの大部分がタイプ1である相）は次のように与えられる。

${\displaystyle \displaystyle z={\frac {G(x)^{5}}{xH(x)^{5}}}}$

${\displaystyle \kappa =x^{-{\frac {1}{3}}}{\frac {G(x)^{3}Q(x^{5})^{2}}{H(x)^{2}}}\prod _{n\geq 1}{\frac {(1-x^{3n-2})(1-x^{3n-1})}{(1-x^{3n})^{2}}}}$

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {H(x)Q(x)(G(x)Q(x)+x^{2}H(x^{9})Q(x^{9}))}{Q(x^{3})^{2}}}}$

${\displaystyle \rho _{2}=\rho _{3}={\frac {x^{2}H(x)Q(x)H(x^{9})Q(x^{9})}{Q(x^{3})^{2}}}}$

${\displaystyle R=\rho _{1}-\rho _{2}={\frac {Q(x)Q(x^{5})}{Q(x^{3})^{2}}}.}$

関数GとH はロジャース・ラマヌジャン恒等式に現れ、関数Qはオイラー関数で、デデキントのイータ関数と密接に関連しています。x = e ^2πiτとすると、x ^−1/60 G ( x )、x ^11/60 H ( x )、x ^−1/24 P ( x )、z、 κ 、 ρ 、 ρ ₁、 ρ ₂、 ρ ₃はτ のモジュラー関数であり、 x ^1/24 Q ( x ) は重み 1/2 のモジュラー形式です。任意の 2 つのモジュラー関数は代数関係で関連しているため、関数κ、z、R、ρはすべて互いに（かなり高次の）代数関数であるということを意味します ( Joyce 1988 )。特に、エリック・ワイスタインがハード六角形エントロピー定数（ワイスタイン）と名付けたκ（1）の値は、24次の代数数で1.395485972...（OEISのシーケンスA085851）に等しい。

関連モデル

剛体六角形モデルは、正方格子とハニカム格子上でも同様に定義できる。どちらのモデルにも厳密な解は知られていないが、臨界点z _cは正方格子では3.7962 ± 0.0001 、ハニカム格子では7.92 ± 0.08。κ（1）は正方格子では約1.503048082...（OEISの配列A085850）、ハニカム格子では約1.546440708...である（Baxter 1999）。

参考文献

• アンドリュース、ジョージ・E. (1981)、「ハードヘキサゴンモデルとロジャース・ラマヌジャン型恒等式」、米国科学アカデミー紀要、78 (9): 5290–5292、Bibcode : 1981PNAS...78.5290A、doi : 10.1073/pnas.78.9.5290、ISSN  0027-8424、MR  0629656、PMC  348728、PMID  16593082
• バクスター、ロドニー J. (1980)、「剛体六角形：厳密解」、Journal of Physics A: Mathematical and General、13 (3): L61– L70、Bibcode : 1980JPhA...13L..61B、doi : 10.1088/0305-4470/13/3/007、ISSN  0305-4470、MR  0560533
• バクスター、ロドニー J. (1982)、統計力学における厳密解モデル(PDF)、ロンドン：Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers]、ISBN 978-0-12-083180-7, MR  0690578 , 2021年4月14日にオリジナル（PDF）からアーカイブ、 2012年8月12日取得
• Joyce, GS (1988)、「硬質六角形モデルの活性と等温圧縮率の正確な結果」、Journal of Physics A: Mathematical and General、21 (20): L983– L988、Bibcode : 1988JPhA...21L.983J、doi : 10.1088/0305-4470/21/20/005、ISSN  0305-4470、MR  0966792
• エクストン、H.（1983）、q-超幾何関数とその応用、ニューヨーク：ハルステッドプレス、チチェスター：エリスホーウッド
• ワイススタイン、エリック W.、「ハード六角形エントロピー定数」、MathWorld
• Baxter, RJ; Enting, IG; Tsang, SK (1980年4月)、「Hard-square lattice gas」、Journal of Statistical Physics、22 (4): 465– 489、Bibcode : 1980JSP....22..465B、doi : 10.1007/BF01012867、S2CID  121413715
• Runnels, LK; Combs, LL; Salvant, James P. (1967年11月15日)、「格子統計の厳密な有限法。II. 硬分子のハニカム格子ガス」、The Journal of Chemical Physics、47 (10): 4015– 4020、Bibcode : 1967JChPh..47.4015R、doi : 10.1063/1.1701569
• Baxter, RJ (1999年6月1日)、「最近接排他性を考慮した平面格子気体」、Annals of Combinatorics、3 (2): 191– 203、arXiv : cond-mat/9811264、doi : 10.1007/BF01608783、S2CID  13600601

外部リンク

• Weisstein, Eric W. 「ハード六角形エントロピー定数」MathWorld。

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