ハーモニックバランス は、 非線形微分方程式 の 定常応答 を計算する手法であり [1] 、主に非線形 電気回路 に適用されます。 [2] [3] [4] これは、様々な 時間領域 定常状態計算法とは対照的に、定常状態を計算する 周波数領域 手法です。「ハーモニックバランス」という名称は、この手法の特徴を表しています。この手法は、周波数領域で記述されたキルヒホッフの電流法則と、選択された数の高調波から始まります。システム内の非線形コンポーネントに正弦波信号を適用すると、 基本周波数 の 高調波が 生成されます。この手法では、実質的に正弦波の 線形結合 が解を表すことができると仮定し、キルヒホッフの法則を満たすように電流正弦波と電圧正弦波のバランスをとります。この手法は、 非線形 要素を含む回路のシミュレーションによく使用され [5] 、 リミットサイクル が発生する フィードバック を持つシステムに最も適しています 。
マイクロ波回路は、電気工学においてハーモニックバランス法が最初に適用された分野である。歴史的に、マイクロ波回路は周波数領域で直接表現できる多数の線形要素と少数の非線形要素で構成されていたため、マイクロ波回路は適していた。システムのサイズは一般に小さかった。より一般的な回路では、この方法は、1990 年代半ばに クリロフ部分空間法が 問題に適用されるまで、非常に小さな回路を除いて実用的ではないと考えられていた。 [6] [7] 前処理付きクリロフ部分空間法を適用することで、回路のサイズと高調波の数の両方において、はるかに大規模なシステムを解くことができるようになった。これにより、今日では無線周波数集積回路 (RFIC) を解析するためにハーモニックバランス法を実用的に使用できるようになった。
例 [8]
微分方程式を考えてみましょう。 仮 解 を 用い 、代入すると次の式が得られます。 x ¨ + x 3 = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}+x^{3}=0} x = A cos ( ω t ) {\displaystyle x=A\cos(\omega t)} − A ω 2 cos ( ω t ) + A 3 1 4 ( cos ( 3 ω t ) + 3 cos ( ω t ) ) = 0. {\displaystyle -A\omega ^{2}\cos(\omega t)+A^{3}{\frac {1}{4}}(\cos(3\omega t)+3\cos(\omega t))=0.}
次に、 項を一致させることにより が得られ 、おおよその周期 が得られます 。 cos ( ω t ) {\displaystyle \cos(\omega t)} ω = 3 4 A {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {3}{4}}}A} T = 2 π ω ≈ 7.2552 A {\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}\approx {\frac {7.2552}{A}}}
より正確な近似値を求めるには、仮解 を使用します 。これらを代入し、 、 項を対応させると、通常の代数計算により次の式が得られます。 x = A 1 cos ( ω t ) + A 3 cos ( 3 ω t ) {\displaystyle x=A_{1}\cos(\omega t)+A_{3}\cos(3\omega t)} cos ( ω t ) {\displaystyle \cos(\omega t)} cos ( 3 ω t ) {\displaystyle \cos(3\omega t)} ω = 3 4 A 1 1 + y + 2 y 2 , y = A 3 / A 1 , 51 y 3 + 27 y 2 + 21 y − 1 = 0. {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {3}{4}}}A_{1}{\sqrt {1+y+2y^{2}}},\quad y=A_{3}/A_{1},\quad 51y^{3}+27y^{2}+21y-1=0.}
の3次方程式は 実根を1つしか持ちません 。これにより、おおよその周期が得られます。 したがって、厳密解に近づきます 。 y {\displaystyle y} y ≈ 0.0448 {\displaystyle y\approx 0.0448} T = 2 π ( 1 + y ) 3 4 A 1 + y + 2 y 2 ≈ 7.402 A {\displaystyle T={\frac {2\pi (1+y)}{{\sqrt {\frac {3}{4}}}A{\sqrt {1+y+2y^{2}}}}}\approx {\frac {7.402}{A}}} T = 7.4163 ⋯ / A {\displaystyle T=7.4163\cdots /A}
アルゴリズム 調和バランスアルゴリズムは ガラーキン法の特別なバージョンである。これは、自律および非自律 微分代数方程式系 の周期解の計算に用いられる 。非自律系の扱いは自律系の扱いよりも若干単純である。非自律微分代数方程式系は、以下のように表現される。
0 = F ( t , x , x ˙ ) {\displaystyle 0=F(t,x,{\dot {x}})} 十分に滑らかな関数で 、 は方程式の数、 は 時間、未知数のベクトル、および時間導関数のベクトルのプレースホルダーです。 F : R × C n × C n → C n {\displaystyle F:\mathbb {R} \times \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{n}} n {\displaystyle n} t , x , x ˙ {\displaystyle t,x,{\dot {x}}}
関数が（ある）固定された と に対して一定でない 場合、システムは非自律的である。ただし、 が -周期的と なる ような既知の 励起周期 が存在することが必要である 。 t ∈ R ↦ F ( t , x , x ˙ ) {\displaystyle t\in \mathbb {R} \mapsto F(t,x,{\dot {x}})} x {\displaystyle x} x ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} T > 0 {\displaystyle T>0} t ∈ R ↦ F ( t , x , x ˙ ) {\displaystyle t\in \mathbb {R} \mapsto F(t,x,{\dot {x}})} T {\displaystyle T}
システム方程式の -周期解 の自然な候補集合は、 周期境界条件 を持つ 区間 上の弱微分可能関数の ソボレフ空間 である。 の滑らかさと構造により、 がすべての に対して 二乗積分可能で ある ことが保証される と仮定する 。 T {\displaystyle T} H p e r 1 ( ( 0 , T ) , C n ) {\displaystyle H_{\rm {per}}^{1}((0,T),\mathbb {C} ^{n})} [ 0 , T ] {\displaystyle [0,T]} x ( 0 ) = x ( T ) {\displaystyle x(0)=x(T)} F {\displaystyle F} F ( t , x ( t ) , x ˙ ( t ) ) {\displaystyle F(t,x(t),{\dot {x}}(t))} x ∈ H p e r 1 ( ( 0 , T ) , C n ) {\displaystyle x\in H_{\rm {per}}^{1}((0,T),\mathbb {C} ^{n})}
調和関数 系は の シャウダー基底 であり、 二乗可積分関数の ヒルベルト空間 の :ヒルベルト基底 を形成する。したがって、各解候補は フーリエ係数を持つ フーリエ級数で表すことができ 、この系方程式は、すべての基底関数に対して 変分方程式が B := { ψ k ∣ k ∈ Z } {\displaystyle B:=\left\{\psi _{k}\mid k\in \mathbb {Z} \right\}} ψ k := exp ( i k 2 π t T ) {\displaystyle \psi _{k}:=\exp \left(ik{\frac {2\pi t}{T}}\right)} H p e r 1 ( ( 0 , T ) , C n ) {\displaystyle H_{\rm {per}}^{1}((0,T),\mathbb {C} ^{n})} H := L 2 ( [ 0 , T ] , C ) {\displaystyle H:=L^{2}([0,T],\mathbb {C} )} x ∈ H p e r 1 ( ( 0 , T ) , C n ) {\displaystyle x\in H_{\rm {per}}^{1}((0,T),\mathbb {C} ^{n})} x ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ x ^ k exp ( i k 2 π t T ) {\displaystyle x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\hat {x}}_{k}\exp \left(ik{\frac {2\pi t}{T}}\right)} x ^ k := 1 T ∫ 0 T ψ k ∗ ( t ) ⋅ x ( t ) d t {\displaystyle {\hat {x}}_{k}:={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\psi _{k}^{*}(t)\cdot x(t)dt} ψ ∈ B {\displaystyle \psi \in B}
0 = ⟨ ψ , F ( t , x , x ˙ ) ⟩ H := 1 T ∫ 0 T ψ ∗ ( t ) ⋅ F ( t , x , x ˙ ) d t {\displaystyle 0=\langle \psi ,F(t,x,{\dot {x}})\rangle _{H}:={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\psi ^{*}(t)\cdot F(t,x,{\dot {x}})dt} が満たされます。この変分方程式は、の 無限個の基底関数に対してテストする必要があるため、スカラー方程式の無限列を表します 。 ψ {\displaystyle \psi } B {\displaystyle B}
調和バランスへのガラーキンアプローチは、変分方程式の候補セットとテスト空間を有限基底によって張られる有限次元部分空間に投影することです 。 B N := { ψ k ∣ k ∈ Z with − N ≤ k ≤ N } {\displaystyle B_{N}:=\{\psi _{k}\mid k\in \mathbb {Z} {\text{ with }}-N\leq k\leq N\}}
これにより有限次元解 と 有限 方程式の集合
が得られる。 x ( t ) = ∑ k = − N N x ^ k ψ k ( t ) = ∑ k = − N N x ^ k exp ( i k 2 π t T ) {\displaystyle x(t)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {x}}_{k}\psi _{k}(t)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {x}}_{k}\exp \left(ik{\frac {2\pi t}{T}}\right)}
0 = ⟨ ψ k , F ( t , x , x ˙ ) ⟩ with k = − N , … , N {\displaystyle 0=\langle \psi _{k},F(t,x,{\dot {x}})\rangle \quad {\text{ with }}k=-N,\ldots ,N} これは数値的に解くことができます。
電子工学の特殊な文脈において、このアルゴリズムは 周波数領域 で記述されたキルヒホッフの電流法則から始まります。手順の効率を高めるために、回路を線形部分と非線形部分に分割することができます。線形部分は周波数領域で直接 ノード解析 を用いて記述・計算できるためです。
まず、解決策の初期推測が行われ、その後反復プロセスが続行されます。
電圧は 、周波数領域で 線形部分の電流を計算するために使用されます。 V {\displaystyle V} I linear {\displaystyle I_{\text{linear}}} 次に、電圧を 用いて非線形部の電流を計算します 。非線形デバイスは時間領域で記述されるため、周波数領域の電圧は 通常、逆高速フーリエ変換を用いて時間領域に変換されます。次に、時間領域の電圧波形を用いて非線形デバイスを評価し、時間領域の電流を生成します。そして、電流は再び周波数領域に変換されます。 V {\displaystyle V} I nonlinear {\displaystyle I_{\text{nonlinear}}} V {\displaystyle V} キルヒホッフの回路法則 によれば 、電流の和はゼロでなければならない。 電流残差が減少するように回路網電圧を更新するために、通常は ニュートン反復法と 呼ばれる反復処理 が用いられる 。このステップでは、 ヤコビ行列 の定式化が必要となる。 ϵ = I linear + I nonlinear = 0 {\displaystyle \epsilon =I_{\text{linear}}+I_{\text{nonlinear}}=0} V {\displaystyle V} ϵ {\displaystyle \epsilon } d ϵ d V {\displaystyle {\tfrac {d\epsilon }{dV}}} が許容できるほど小さくなったときに収束に達し 、その時点で定常解のすべての電圧と電流が既知となり、通常はフーリエ係数として表されます。 ϵ {\displaystyle \epsilon }
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![{\displaystyle [0,T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ccef2d3dc751e081375d51c111709d8a1d7ac6)
![{\displaystyle H:=L^{2}([0,T],\mathbb{C})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec58831b9a6c702c500a9c8503a1b2d1555a5d0)
