Sum of the first n whole number reciprocals; 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
調和数（赤線） と その漸近極限 （青線） （ オイラー・マスケロニ定数 ）です 。 H n {\displaystyle H_{n}} n = ⌊ x ⌋ {\displaystyle n=\lfloor x\rfloor } γ + ln ( x ) {\displaystyle \gamma +\ln(x)} γ {\displaystyle \gamma } 数学 において 、 n 次 調和数は 最初の n個の 自然数の 逆数 の和である 。 [1] H n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n = ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}
n = 1 から始まって 、調和数列は次のように始まります。 1 , 3 2 , 11 6 , 25 12 , 137 60 , … {\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {11}{6}},{\frac {25}{12}},{\frac {137}{60}},\dots }
調和数は 調和平均と関連しており、 n 番目 の調和数は最初の n 個の正の整数の調和平均の逆数の n 倍でもあります。
調和数は古代から研究されており、 数論 の様々な分野で重要な役割を果たしています。調和数は時に緩く 調和級数と呼ばれることもあり、 リーマンゼータ関数 と密接な関連があり、様々な 特殊関数 の表現に現れます 。
調和数は 自然対数関数 [2] : 143に ほぼ近似するため、関連する 調和級数は 、ゆっくりではあるものの、無限に増大します。1737年、 レオンハルト・オイラーは 調和級数の発散 を利用して、 素数の無限大性 に関する新たな証明を与えました。彼の研究は1859年に ベルンハルト・リーマン によって 複素平面 へと拡張され、 素数の分布 に関する有名な リーマン予想 に直接つながりました 。
大量の商品の価値が ジップの法則 分布に従う場合、最も価値の高い n 個の商品の合計価値は n番目の調和数に比例します。これは、 ロングテール と ネットワーク価値理論 に関する様々な驚くべき結論につながります 。
ベルトラン ・チェビシェフの定理によれば、 n = 1の 場合を除いて 調和数は整数にならない。 [3]
最初の40の調和数 n 調和数、 H n 分数で表す 小数点 相対的な大きさ 1 1 1
2 3 /2 1.5
3 11 /6 約1.83333
4 25 /12 約2.08333
5 137 /60 約2.28333
6 49 /20 2.45
7 363 /140 約2.59286
8 761 /280 約2.71786
9 7 129 /2 520 約2.82897
10 7 381 /2 520 約2.92897
11 83 711 /27 720 ~3.01988
12 86 021 /27 720 ~3.10321
13 1 145 993 /360 360 ~3.18013
14 1 171 733 /360 360 ~3.25156
15 1 195 757 /360 360 約3.31823
16 2 436 559 /720 720 ~3.38073
17 42 142 223 /12 252 240 約3.43955
18 14 274 301 /4 084 080 約3.49511
19 275 295 799 /77 597 520 約3.54774
20 55 835 135 /15 519 504 約3.59774
21 18 858 053 /5 173 168 約3.64536
22 19 093 197 /5 173 168 ~3.69081
23 444 316 699 /118 982 864 約3.73429
24 1 347 822 955 /356 948 592 約3.77596
25 34 052 522 467 /8 923 714 800 約3.81596
26 34 395 742 267 /8 923 714 800 約3.85442
27 312 536 252 003 /80 313 433 200 約3.89146
28 315 404 588 903 /80 313 433 200 ~3.92717
29 9 227 046 511 387 /2 329 089 562 800 約3.96165
30 9 304 682 830 147 /2 329 089 562 800 約3.99499
31 290 774 257 297 357 /72 201 776 446 800 ~4.02725
32 586 061 125 622 639 /144 403 552 893 600 約4.05850
33 53 676 090 078 349 /13 127 595 717 600 ~4.08880
34 54 062 195 834 749 /13 127 595 717 600 ~4.11821
35 54 437 269 998 109 /13 127 595 717 600 ~4.14678
36 54 801 925 434 709 /13 127 595 717 600 ~4.17456
37 2 040 798 836 801 833 /485 721 041 551 200 ~4.20159
38 2 053 580 969 474 233 /485 721 041 551 200 ~4.22790
39 2 066 035 355 155 033 /485 721 041 551 200 ~4.25354
40 2 078 178 381 193 813 /485 721 041 551 200 ~4.27854
調和数に関する恒等式 定義により、調和数は 再帰関係を満たす。 H n + 1 = H n + 1 n + 1 . {\displaystyle H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}}.}
調和数は 第一種スターリング数 と次の関係
で結びついている。 H n = 1 n ! [ n + 1 2 ] . {\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].}
調和数は級数恒等式を満たし 、 これら2つの結果は対応する積分結果と非常に類似しており 、 ∑ k = 1 n H k = ( n + 1 ) H n − n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n} ∑ k = 1 n H k 2 = ( n + 1 ) H n 2 − ( 2 n + 1 ) H n + 2 n . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}^{2}=(n+1)H_{n}^{2}-(2n+1)H_{n}+2n.} ∫ 0 x log y d y = x log x − x {\displaystyle \int _{0}^{x}\log y\ dy=x\log x-x} ∫ 0 x ( log y ) 2 d y = x ( log x ) 2 − 2 x log x + 2 x . {\displaystyle \int _{0}^{x}(\log y)^{2}\ dy=x(\log x)^{2}-2x\log x+2x.}
アイデンティティに関わる π 調和数とπ の累乗を含む無限和はいくつかある ： [4] [ より良い情報源が必要 ] ∑ n = 1 ∞ H n n ⋅ 2 n = π 2 12 ∑ n = 1 ∞ H n 2 n 2 = 17 360 π 4 ∑ n = 1 ∞ H n 2 ( n + 1 ) 2 = 11 360 π 4 ∑ n = 1 ∞ H n n 3 = π 4 72 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n\cdot 2^{n}}}&={\frac {\pi ^{2}}{12}}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{n^{2}}}&={\frac {17}{360}}\pi ^{4}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}&={\frac {11}{360}}\pi ^{4}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}&={\frac {\pi ^{4}}{72}}\end{aligned}}}
計算 オイラー [5] によって与えられた積分表現 は H n = ∫ 0 1 1 − x n 1 − x d x . {\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.}
上記の等式は単純な 代数的恒等式によって簡単に表せる。 1 − x n 1 − x = 1 + x + ⋯ + x n − 1 . {\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}.}
x = 1 − u を代入すると 、 H n の別の表現は次のようになる。 H n = ∫ 0 1 1 − x n 1 − x d x = ∫ 0 1 1 − ( 1 − u ) n u d u = ∫ 0 1 [ ∑ k = 1 n ( n k ) ( − u ) k − 1 ] d u = ∑ k = 1 n ( n k ) ∫ 0 1 ( − u ) k − 1 d u = ∑ k = 1 n ( n k ) ( − 1 ) k − 1 k . {\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}(-u)^{k-1}\right]\,du=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}(-u)^{k-1}\,du\\[6pt]&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}.\end{aligned}}}
調和数と自然対数 の関係を示すグラフ 。調和数 H n は 、積分の リーマン和 として解釈できる。 ∫ 1 n + 1 d x x = ln ( n + 1 ) . {\displaystyle \int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}=\ln(n+1).} n次調和数は n の 自然対数 とほぼ同じ大きさです 。これは、和が ln n となる積分値で 近似 さ れる ため です 。 ∫ 1 n 1 x d x , {\displaystyle \int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}\,dx,}
数列 H n − ln nの値は、 γ ≈ 0.5772156649 が オイラー・マスケローニ定数 で
ある 極限 に向かって単調に減少します 。対応する 漸近展開は、 B k がベルヌーイ数 で ある、 となります 。 lim n → ∞ ( H n − ln n ) = γ , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\gamma ,} H n ∼ ln n + γ + 1 2 n − ∑ k = 1 ∞ B 2 k 2 k n 2 k = ln n + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + 1 120 n 4 − ⋯ , {\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}\\&=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,\end{aligned}}}
生成関数 調和数の 生成関数 は、 自然対数 ln( z )で表されます 。指数生成関数は、 指数積分 Ein( z )で表されます。指数積分は、 不完全ガンマ関数 Γ(0, z ) で表されます 。 ∑ n = 1 ∞ z n H n = − ln ( 1 − z ) 1 − z , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},} ∑ n = 1 ∞ z n n ! H n = e z ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k z k k ! = e z Ein ( z ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}\operatorname {Ein} (z)} Ein ( z ) = E 1 ( z ) + γ + ln z = Γ ( 0 , z ) + γ + ln z {\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\mathrm {E} _{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z}
算術的性質 調和数には興味深い算術的性質がいくつかあります。 が 整数となるの は のときかつその場合 に限ることが良く知られており、この結果はしばしば Taeisinger に帰せられます。 [6] 実際、 2進評価 を用いると、の分子が 奇数で の分母が偶数であるとき、が成り立つ ことを証明するのは難しくありません 。より正確には、 と という奇整数がある場合に成り立ちます 。 H n {\textstyle H_{n}} n = 1 {\textstyle n=1} n ≥ 2 {\textstyle n\geq 2} H n {\textstyle H_{n}} H n {\textstyle H_{n}} H n = 1 2 ⌊ log 2 ( n ) ⌋ a n b n {\displaystyle H_{n}={\frac {1}{2^{\lfloor \log _{2}(n)\rfloor }}}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}} a n {\textstyle a_{n}} b n {\textstyle b_{n}}
ウォルステンホルムの定理 の結果として 、任意の素数に対して の分子 は で割り切れる 。さらに、アイゼンシュタイン [7]は 、すべての奇数の素数に対して が成り立つ
ことを証明した。 ここでは フェルマー商 であり 、結果として が の分子を割り切れるのは が ヴィーフェリッヒ素数 である 場合に限る 。 p ≥ 5 {\displaystyle p\geq 5} H p − 1 {\displaystyle H_{p-1}} p 2 {\textstyle p^{2}} p {\textstyle p} H ( p − 1 ) / 2 ≡ − 2 q p ( 2 ) ( mod p ) {\displaystyle H_{(p-1)/2}\equiv -2q_{p}(2){\pmod {p}}} q p ( 2 ) = ( 2 p − 1 − 1 ) / p {\textstyle q_{p}(2)=(2^{p-1}-1)/p} p {\textstyle p} H ( p − 1 ) / 2 {\displaystyle H_{(p-1)/2}} p {\textstyle p}
1991年、EswarathasanとLevine [8]は、 分子が 素数で割り切れる すべての正の整数の集合を と 定義しました。 彼らは、 すべての素数と に対してであることを証明し、 がちょうど3つの元を持つ ような 素数を 調和素数 と定義しました 。 J p {\displaystyle J_{p}} n {\displaystyle n} H n {\displaystyle H_{n}} p . {\displaystyle p.} { p − 1 , p 2 − p , p 2 − 1 } ⊆ J p {\displaystyle \{p-1,p^{2}-p,p^{2}-1\}\subseteq J_{p}} p ≥ 5 , {\displaystyle p\geq 5,} p {\textstyle p} J p {\displaystyle J_{p}}
Eswarathasan と Levine も、 が すべての素数に対して 有限集合 であり 、調和素数が無限に存在すると予想しました。Boyd [9] は、 が83、127、397 を除く までのすべての素数に対して有限である ことを証明し、 すべての素数を含む集合における調和素数の 密度 は であると示唆する経験則を示しました。Sanna [10]は、 の漸近密度 が 0 である ことを示し、Bing-Ling Wu と Yong-Gao Chen [11] は、 を超えない の元の数は すべての に対して 最大で であることを証明しました 。 J p {\displaystyle J_{p}} p , {\displaystyle p,} J p {\displaystyle J_{p}} p = 547 {\displaystyle p=547} 1 / e {\displaystyle 1/e} J p {\displaystyle J_{p}} J p {\displaystyle J_{p}} x {\displaystyle x} 3 x 2 3 + 1 25 log p {\displaystyle 3x^{{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{25\log p}}}} x ≥ 1 {\displaystyle x\geq 1}
アプリケーション 調和数は、 ディガンマ関数 など、いくつかの計算式に登場します。
この関係式は、調和数を非整数 n に拡張する場合の定義にも頻繁に用いられます。調和数は、 先に紹介した極限を用いて γ を定義する場合にも頻繁に用いられます。
ただし、 はより速く収束します。 ψ ( n ) = H n − 1 − γ . {\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma .} γ = lim n → ∞ ( H n − ln ( n ) ) , {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(H_{n}-\ln(n)\right)},} γ = lim n → ∞ ( H n − ln ( n + 1 2 ) ) {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\left(H_{n}-\ln \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right)}}
2002年に ジェフリー・ラガリアスは リーマン予想が n > 1の 場合には厳密な不等式を伴う すべての 整数 n ≥ 1 に対して真となる命題と同等である ことを 証明した [12] 。ここで σ ( n )は n の 約数の和 を表す 。 σ ( n ) ≤ H n + ( log H n ) e H n , {\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+(\log H_{n})e^{H_{n}},}
上の非局所問題の固有値は で与えられ 、慣例により であり 、対応する固有関数は ルジャンドル多項式 で与えられる。 [13] L 2 ( [ − 1 , 1 ] ) {\displaystyle L^{2}([-1,1])} λ φ ( x ) = ∫ − 1 1 φ ( x ) − φ ( y ) | x − y | d y {\displaystyle \lambda \varphi (x)=\int _{-1}^{1}{\frac {\varphi (x)-\varphi (y)}{|x-y|}}\,dy} λ = 2 H n {\displaystyle \lambda =2H_{n}} H 0 = 0 {\displaystyle H_{0}=0} φ ( x ) = P n ( x ) {\displaystyle \varphi (x)=P_{n}(x)}
一般化
一般化調和数 m 次の n 次の 一般化調和数 は次のように与えられる 。 H n , m = ∑ k = 1 n 1 k m . {\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}.}
（一部の情報源では、 またはと表記されることもあります ） H n ( m ) {\textstyle H_{n}^{(m)}} H m ( n ) . {\textstyle H_{m}(n).}
特別な場合 m = 0は次式を与える。 特別な場合 m = 1は通常の調和数に簡約される。 H n , 0 = n . {\displaystyle H_{n,0}=n.} H n , 1 = H n = ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle H_{n,1}=H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}
n → ∞ の極限は m > 1 の場合には 有限であり 、一般化調和数は リーマンゼータ関数によって制限され、それに収束する。 H n , m {\textstyle H_{n,m}} lim n → ∞ H n , m = ζ ( m ) . {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }H_{n,m}=\zeta (m).}
一般化調和数H ( k , n )の分母も交代一般化調和数 H′ ( k , n ) の分母も割り切れない 最小の自然数 kは、 n =1,2,...
の場合、 次 の とおりである。
77、20、94556602、42、444、20、104、42、76、20、77、110、3504、20、903、42、1107、20、104、42、77、20、2948、110、136、20、76、42、903、20、77、42、268、20、7004、110、1752、20、19203、42、77、20、104、42、76、20、370、110、1107、20、...（シーケンス OEIS の A128670 ） 関連する和は ベルヌーイ数 の研究では現れ、調和数は スターリング数 の研究でも現れます 。 ∑ k = 1 n k m {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}}
一般化された調和数の積分は、 A は アペリーの定数 ζ （3） で あり
、 ∫ 0 a H x , 2 d x = a π 2 6 − H a {\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,2}\,dx=a{\frac {\pi ^{2}}{6}}-H_{a}} ∫ 0 a H x , 3 d x = a A − 1 2 H a , 2 , {\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,3}\,dx=aA-{\frac {1}{2}}H_{a,2},} ∑ k = 1 n H k , m = ( n + 1 ) H n , m − H n , m − 1 for m ≥ 0. {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k,m}=(n+1)H_{n,m}-H_{n,m-1}{\text{ for }}m\geq 0.}
m 次の一般化調和数はいずれも、 次数 の調和数の関数として次のように表すことができ ます 。 m − 1 {\displaystyle m-1} H n , m = ∑ k = 1 n − 1 H k , m − 1 k ( k + 1 ) + H n , m − 1 n {\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {H_{k,m-1}}{k(k+1)}}+{\frac {H_{n,m-1}}{n}}} H 4 , 3 = H 1 , 2 1 ⋅ 2 + H 2 , 2 2 ⋅ 3 + H 3 , 2 3 ⋅ 4 + H 4 , 2 4 {\displaystyle H_{4,3}={\frac {H_{1,2}}{1\cdot 2}}+{\frac {H_{2,2}}{2\cdot 3}}+{\frac {H_{3,2}}{3\cdot 4}}+{\frac {H_{4,2}}{4}}}
一般化調和数の生成関数は、多重対数であり 、 | z
| < 1 で ある 。上記の m = 1 の場合の生成関数は 、この式の特別な場合である。 ∑ n = 1 ∞ z n H n , m = Li m ( z ) 1 − z , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {\operatorname {Li} _{m}(z)}{1-z}},} Li m ( z ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{m}(z)}
一般化調和数に対する分数論的議論は 次 のように導入できる。
任意の整数に対して 、 整数か否かに関わらず、ポリガンマ関数から次式が得られる。 ここでは リーマンゼータ関数 である 。関連する漸化式は次式である
。 いくつかの特別な値は次式である。 ここで G は カタラン定数 である。 という特別な場合 、次式を得る。 p , q > 0 {\displaystyle p,q>0} m > 1 {\displaystyle m>1} H q / p , m = ζ ( m ) − p m ∑ k = 1 ∞ 1 ( q + p k ) m {\displaystyle H_{q/p,m}=\zeta (m)-p^{m}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(q+pk)^{m}}}} ζ ( m ) {\displaystyle \zeta (m)} H a , m = H a − 1 , m + 1 a m . {\displaystyle H_{a,m}=H_{a-1,m}+{\frac {1}{a^{m}}}.} H 1 4 , 2 = 16 − 5 6 π 2 − 8 G H 1 2 , 2 = 4 − π 2 3 H 3 4 , 2 = 16 9 − 5 6 π 2 + 8 G H 1 4 , 3 = 64 − π 3 − 27 ζ ( 3 ) H 1 2 , 3 = 8 − 6 ζ ( 3 ) H 3 4 , 3 = ( 4 3 ) 3 + π 3 − 27 ζ ( 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}H_{{\frac {1}{4}},2}&=16-{\tfrac {5}{6}}\pi ^{2}-8G\\H_{{\frac {1}{2}},2}&=4-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\\H_{{\frac {3}{4}},2}&={\frac {16}{9}}-{\frac {5}{6}}\pi ^{2}+8G\\H_{{\frac {1}{4}},3}&=64-\pi ^{3}-27\zeta (3)\\H_{{\frac {1}{2}},3}&=8-6\zeta (3)\\H_{{\frac {3}{4}},3}&=\left({\frac {4}{3}}\right)^{3}+\pi ^{3}-27\zeta (3)\end{aligned}}} p = 1 {\displaystyle p=1} H n , m = ζ ( m , 1 ) − ζ ( m , n + 1 ) , {\displaystyle H_{n,m}=\zeta (m,1)-\zeta (m,n+1),}
ここでは フルヴィッツのゼータ関数 です 。この関係式は調和数を数値的に計算するために使用されます。 ζ ( m , n ) {\displaystyle \zeta (m,n)}
乗法 定理は 調和数にも適用されます。 ポリガンマ 関数を用いると、 より一般的には、 H 2 x = 1 2 ( H x + H x − 1 2 ) + ln 2 H 3 x = 1 3 ( H x + H x − 1 3 + H x − 2 3 ) + ln 3 , {\displaystyle {\begin{aligned}H_{2x}&={\frac {1}{2}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{2}}}\right)+\ln 2\\H_{3x}&={\frac {1}{3}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{3}}}+H_{x-{\frac {2}{3}}}\right)+\ln 3,\end{aligned}}} H n x = 1 n ( H x + H x − 1 n + H x − 2 n + ⋯ + H x − n − 1 n ) + ln n . {\displaystyle H_{nx}={\frac {1}{n}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{n}}}+H_{x-{\frac {2}{n}}}+\cdots +H_{x-{\frac {n-1}{n}}}\right)+\ln n.}
一般化調和数の場合、 となります。 ここでは リーマンゼータ関数 です 。 H 2 x , 2 = 1 2 ( ζ ( 2 ) + 1 2 ( H x , 2 + H x − 1 2 , 2 ) ) H 3 x , 2 = 1 9 ( 6 ζ ( 2 ) + H x , 2 + H x − 1 3 , 2 + H x − 2 3 , 2 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}H_{2x,2}&={\frac {1}{2}}\left(\zeta (2)+{\frac {1}{2}}\left(H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{2}},2}\right)\right)\\H_{3x,2}&={\frac {1}{9}}\left(6\zeta (2)+H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{3}},2}+H_{x-{\frac {2}{3}},2}\right),\end{aligned}}} ζ ( n ) {\displaystyle \zeta (n)}
超調和数 次の一般化は、 JH Conway と RK Guy が1995 年に出版した The Book of Numbers という 本で議論されています。 [2] : 258 とすると
、 r ( r>0 )次 n 次の 超調和数は 、次のように再帰的に定義されます
。 特に、 通常の調和数 です 。 H n ( 0 ) = 1 n . {\displaystyle H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}}.} H n ( r ) = ∑ k = 1 n H k ( r − 1 ) . {\displaystyle H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}.} H n ( 1 ) {\displaystyle H_{n}^{(1)}} H n {\displaystyle H_{n}}
ローマ調和数 ローマン調和数 [14]は、 スティーブン・ローマン にちなんで名付けられ 、ダニエル・ローブと ジャン・カルロ・ロータによって対数を用いた 陰影計算 の一般化の文脈で導入されました 。 [15] 多くの定義が可能ですが、その1つは、 の場合 、 であり 、 もちろん、 n , k ≥ 0 {\displaystyle n,k\geq 0} c n ( 0 ) = 1 , {\displaystyle c_{n}^{(0)}=1,} c n ( k + 1 ) = ∑ i = 1 n c i ( k ) i . {\displaystyle c_{n}^{(k+1)}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}^{(k)}}{i}}.} c n ( 1 ) = H n . {\displaystyle c_{n}^{(1)}=H_{n}.}
の場合 、それらは を満たします。 閉じた形式の公式は です。 ここで は負の第 1 引数に一般化された 第 1 種スターリング数で あり、これは Donald Knuth によって発見されました 。 n ≠ 0 {\displaystyle n\neq 0} c n ( k + 1 ) − c n ( k ) n = c n − 1 ( k + 1 ) . {\displaystyle c_{n}^{(k+1)}-{\frac {c_{n}^{(k)}}{n}}=c_{n-1}^{(k+1)}.} c n ( k ) = n ! ( − 1 ) k s ( − n , k ) , {\displaystyle c_{n}^{(k)}=n!(-1)^{k}s(-n,k),} s ( − n , k ) {\displaystyle s(-n,k)} c n ( k ) = ∑ j = 1 n ( n j ) ( − 1 ) j − 1 j k , {\displaystyle c_{n}^{(k)}=\sum _{j=1}^{n}{\binom {n}{j}}{\frac {(-1)^{j-1}}{j^{k}}},}
実際、これらの数は、負の値を含むローマ数とローマ階乗を用いて、より一般的な方法で定義されていました 。この一般化は、調和対数を定義する研究において役立ちました。 n {\displaystyle n}
実数値と複素数値の調和数 上に示した公式は、 調和数を補間する関数の積分と級数表現であり、 解析接続によって、負の整数 x 以外の複素平面に定義を拡張する 。この補間関数は、実際には ディガンマ関数 と密接に関連している。
ここで、 ψ ( x ) はディガンマ関数、 γ は オイラー・マスケローニ定数で ある。この積分過程を繰り返すことで、 H x = ∫ 0 1 1 − t x 1 − t d t = ∑ k = 1 ∞ ( x k ) ( − 1 ) k − 1 k {\displaystyle H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}\,dt=\sum _{k=1}^{\infty }{x \choose k}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}} H x = ψ ( x + 1 ) + γ , {\displaystyle H_{x}=\psi (x+1)+\gamma ,} H x , 2 = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k ( x k ) H k . {\displaystyle H_{x,2}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{x \choose k}H_{k}.}
調和数の テイラー 級数 は、
ディガンマ関数のテイラー級数（ は リーマンゼータ関数 ）から派生したものです。 H x = ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) x k − 1 for | x | < 1 {\displaystyle H_{x}=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\zeta (k)\;x^{k-1}\quad {\text{ for }}|x|<1} ζ {\displaystyle \zeta }
先ほど述べた積分の解析接続と同じ結果を与える漸近的な定式化があります。 複素数 x に対する H x の 近似値を求める場合、まず大きな整数 mに対する H m を計算するのが効果的です 。これを H m + x の値の近似値として用います 。次に、再帰関係 H n = H n −1 + 1/ nを m 回逆順 に展開して、 H x の近似値を求めます 。さらに、この近似値は m が 無限大に近づく 極限においても正確です 。
具体的には、固定された整数 n に対して、 lim m → ∞ [ H m + n − H m ] = 0. {\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+n}-H_{m}\right]=0.}
n が整数でない場合 、この式が真であるかどうかは判断できません。なぜなら、この節では非整数に対する調和数の定義をまだ行っていないからです。しかしながら、任意の整数 nを任意の複素数 x に置き換えて もこの式が成立することを主張することで、調和数を非整数に拡張する独自の方法が得られます 。
lim m → ∞ [ H m + x − H m ] = 0 . {\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+x}-H_{m}\right]=0\,.} この式の両辺の順序を入れ替えて H x から引くと
、 H x = lim m → ∞ [ H m − ( H m + x − H x ) ] = lim m → ∞ [ ( ∑ k = 1 m 1 k ) − ( ∑ k = 1 m 1 x + k ) ] = lim m → ∞ ∑ k = 1 m ( 1 k − 1 x + k ) = x ∑ k = 1 ∞ 1 k ( x + k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m}-(H_{m+x}-H_{x})\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)-\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{x+k}}\right)\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{m}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)=x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(x+k)}}\,.\end{aligned}}}
この 無限級数は 、負の整数を除くすべての複素数 x に対して収束する。負の整数については、再帰関係 H n = H n −1 + 1/ n を n = 0 まで逆順に 用いようとすると 、ゼロ除算が発生するため収束しない。この構成により、複素数の調和数を定義する関数は、(1) H 0 = 0 、(2) 非正整数を除くすべての複素数 xに対して H x = H x −1 + 1/ x 、(3)すべての複素数 x に対して lim m →+∞ ( H m + x − H m ) = 0 を 同時に 満たす唯一の関数となる 。
この最後の式は、 γ が オイラー・マスケロニ定数で ある ことを示すために使用できます
。 または、より一般的には、すべての n に対して次の式が成り立ちます。 ∫ 0 1 H x d x = γ , {\displaystyle \int _{0}^{1}H_{x}\,dx=\gamma ,} ∫ 0 n H x d x = n γ + ln ( n ! ) . {\displaystyle \int _{0}^{n}H_{x}\,dx=n\gamma +\ln(n!).}
小数引数の特殊値 0から1までの分数引数には、積分によって与えられる次のような特別な解析値があります。 H α = ∫ 0 1 1 − x α 1 − x d x . {\displaystyle H_{\alpha }=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{\alpha }}{1-x}}\,dx\,.}
再帰関係 や反射関係から
より多くの値が生成される可能性がある H α = H α − 1 + 1 α , {\displaystyle H_{\alpha }=H_{\alpha -1}+{\frac {1}{\alpha }}\,,} H − α − H α − 1 = π cot ( π α ) . {\displaystyle H_{-\alpha }-H_{\alpha -1}=\pi \cot {(\pi \alpha )}.}
例えば： H 1 2 = 2 − 2 ln 2 H 1 3 = 3 − π 2 3 − 3 2 ln 3 H 2 3 = 3 2 + π 2 3 − 3 2 ln 3 H 1 4 = 4 − π 2 − 3 ln 2 H 1 5 = 5 − π 2 1 + 2 5 − 5 4 ln 5 − 5 2 ln ( 1 + 5 2 ) H 3 4 = 4 3 + π 2 − 3 ln 2 H 1 6 = 6 − 3 2 π − 2 ln 2 − 3 2 ln 3 H 1 8 = 8 − 1 + 2 2 π − 4 ln 2 − 1 2 ( ln ( 2 + 2 ) − ln ( 2 − 2 ) ) H 1 12 = 12 − ( 1 + 3 2 ) π − 3 ln 2 − 3 2 ln 3 + 3 ln ( 2 − 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}H_{\frac {1}{2}}&=2-2\ln 2\\H_{\frac {1}{3}}&=3-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {2}{3}}&={\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {1}{4}}&=4-{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2\\H_{\frac {1}{5}}&=5-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}-{\frac {5}{4}}\ln 5-{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln \left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\\H_{\frac {3}{4}}&={\frac {4}{3}}+{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2\\H_{\frac {1}{6}}&=6-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\pi -2\ln 2-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {1}{8}}&=8-{\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\pi -4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\ln \left(2+{\sqrt {2}}\right)-\ln \left(2-{\sqrt {2}}\right)\right)\\H_{\frac {1}{12}}&=12-\left(1+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\pi -3\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln {3}+{\sqrt {3}}\ln \left(2-{\sqrt {3}}\right)\end{aligned}}}
これらは ガウスのディガンマ定理によって計算され、本質的には p と q の正の整数 に対して p < q H p q = q p + 2 ∑ k = 1 ⌊ q − 1 2 ⌋ cos ( 2 π p k q ) ln ( sin ( π k q ) ) − π 2 cot ( π p q ) − ln ( 2 q ) {\displaystyle H_{\frac {p}{q}}={\frac {q}{p}}+2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {q-1}{2}}\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi pk}{q}}\right)\ln \left({\sin \left({\frac {\pi k}{q}}\right)}\right)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {\pi p}{q}}\right)-\ln \left(2q\right)}
リーマンゼータ関数との関係 分数調和数のいくつかの導関数は次のように与えられる。 d n H x d x n = ( − 1 ) n + 1 n ! [ ζ ( n + 1 ) − H x , n + 1 ] d n H x , 2 d x n = ( − 1 ) n + 1 ( n + 1 ) ! [ ζ ( n + 2 ) − H x , n + 2 ] d n H x , 3 d x n = ( − 1 ) n + 1 1 2 ( n + 2 ) ! [ ζ ( n + 3 ) − H x , n + 3 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}H_{x}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}n!\left[\zeta (n+1)-H_{x,n+1}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,2}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}(n+1)!\left[\zeta (n+2)-H_{x,n+2}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,3}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}{\frac {1}{2}}(n+2)!\left[\zeta (n+3)-H_{x,n+3}\right].\end{aligned}}}
そして マクローリン級数 を用いると、 x < 1 のとき、 H x = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n ζ ( n + 1 ) H x , 2 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 ( n + 1 ) x n ζ ( n + 2 ) H x , 3 = 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) x n ζ ( n + 3 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{n}\zeta (n+1)\\[5pt]H_{x,2}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)x^{n}\zeta (n+2)\\[5pt]H_{x,3}&={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)(n+2)x^{n}\zeta (n+3).\end{aligned}}}
0から1までの小数引数およびa > 1 の場合、 H 1 / a = 1 a ( ζ ( 2 ) − 1 a ζ ( 3 ) + 1 a 2 ζ ( 4 ) − 1 a 3 ζ ( 5 ) + ⋯ ) H 1 / a , 2 = 1 a ( 2 ζ ( 3 ) − 3 a ζ ( 4 ) + 4 a 2 ζ ( 5 ) − 5 a 3 ζ ( 6 ) + ⋯ ) H 1 / a , 3 = 1 2 a ( 2 ⋅ 3 ζ ( 4 ) − 3 ⋅ 4 a ζ ( 5 ) + 4 ⋅ 5 a 2 ζ ( 6 ) − 5 ⋅ 6 a 3 ζ ( 7 ) + ⋯ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}H_{1/a}&={\frac {1}{a}}\left(\zeta (2)-{\frac {1}{a}}\zeta (3)+{\frac {1}{a^{2}}}\zeta (4)-{\frac {1}{a^{3}}}\zeta (5)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,2}&={\frac {1}{a}}\left(2\zeta (3)-{\frac {3}{a}}\zeta (4)+{\frac {4}{a^{2}}}\zeta (5)-{\frac {5}{a^{3}}}\zeta (6)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,3}&={\frac {1}{2a}}\left(2\cdot 3\zeta (4)-{\frac {3\cdot 4}{a}}\zeta (5)+{\frac {4\cdot 5}{a^{2}}}\zeta (6)-{\frac {5\cdot 6}{a^{3}}}\zeta (7)+\cdots \right).\end{aligned}}}
参照
注記 ^ ドナルド・クヌース（1997年） 『コンピュータプログラミングの芸術』 （第3版）アディソン・ウェズレー社、 75～ 79頁 。ISBN 0-201-89683-4 。 ^ ab John H., Conway; Richard K., Guy (1995). 『数の書』 . コペルニクス. ^ グラハム, ロナルド L.; クヌース, ドナルド E.; パタシュニック, オレン (1994). 『具体的な数学 』. アディソン・ウェスレー. ^ Weisstein, Eric W. 「調和数」. mathworld.wolfram.com . 2024年9月30日 閲覧 。 ^ サンディファー、C.エドワード（2007年）、オイラーの功績、MAAスペクトラム、アメリカ数学協会、p.206、 ISBN 9780883855638 。 ^ ワイスタイン、エリック・W. (2003). CRC 簡潔数学百科事典 . ボカラトン、フロリダ州: チャップマン＆ホール/CRC. p. 3115. ISBN 978-1-58488-347-0 。 ^ アイゼンシュタイン、フェルディナンド・ゴットホルト・マックス（1850年）。 「Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen, welche von zwei Elementen ahhängen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden」。 ベリヒテ・ケーニグル。プロイス。アカド。ウィス。ベルリン 。 15 ： 36～ 42 ^ Eswarathasan, Arulappah; Levine, Eugene (1991). 「p積分調和和」. 離散数学 . 91 (3): 249– 257. doi : 10.1016/0012-365X(90)90234-9 . ^ Boyd, David W. (1994). 「調和級数の部分和に関するp進研究」. 実験数学 . 3 (4): 287– 302. CiteSeerX 10.1.1.56.7026 . doi :10.1080/10586458.1994.10504298. ^ Sanna, Carlo (2016). 「調和数のp進評価について」 (PDF) . Journal of Number Theory . 166 : 41–46 . doi : 10.1016/j.jnt.2016.02.020 . hdl :2318/1622121. ^ Chen, Yong-Gao; Wu, Bing-Ling (2017). 「調和数の特定の性質について」. Journal of Number Theory . 175 : 66–86 . doi :10.1016/j.jnt.2016.11.027. ^ Jeffrey Lagarias (2002). 「リーマン予想と等価な初等問題」. Amer. Math. Monthly . 109 (6): 534– 543. arXiv : math.NT/0008177 . doi :10.2307/2695443. JSTOR 2695443. ^ EO Tuck (1964). 「鈍い細長い物体を過ぎる流れに対するいくつかの方法」. J. Fluid Mech . 18 (4): 619– 635. Bibcode :1964JFM....18..619T. doi :10.1017/S0022112064000453. S2CID 123120978. ^ Sesma, J. (2017). 「ローマ調和数の再考」. Journal of Number Theory . 180 : 544–565 . arXiv : 1702.03718 . doi :10.1016/j.jnt.2017.05.009. ISSN 0022-314X. ^ Loeb, Daniel E; Rota, Gian-Carlo (1989). 「対数型の形式べき級数」. Advances in Mathematics . 75 (1): 1– 118. doi : 10.1016/0001-8708(89)90079-0 . ISSN 0001-8708.
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外部リンク この記事にはPlanetMath の Harmonic number の資料が組み込まれており 、これは Creative Commons Attribution/Share-Alike License に基づいてライセンスされています。
![{\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ec1afb6b98d93994321cdc5740d3896519cb3c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}(-u)^{k-1}\right]\,du=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}(-u)^{k-1}\,du\\[6pt]&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}.\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6346ac2aa89312224f86a1d66ae13d6e697e16e3)
![{\displaystyle L^{2}([-1,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5b2389f04ea7fdc66417944caf935d396714fe)
![{\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+n}-H_{m}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4b0670ba72cf54217f5c8b941abcdf48c8a5d1)
![{\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+x}-H_{m}\right]=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc12ae5af2bee996abd1d6fd8a27bcb212e65a75)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m}-(H_{m+x}-H_{x})\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)-\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{x+k}}\right)\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{m}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)=x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(x+k)}}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2683e42af314797951509b93357a15d85cbf81)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}H_{x}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}n!\left[\zeta (n+1)-H_{x,n+1}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,2}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}(n+1)!\left[\zeta (n+2)-H_{x,n+2}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,3}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}{\frac {1}{2}}(n+2)!\left[\zeta (n+3)-H_{x,n+3}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55fcfb97684d7d393d3bf72d500bd8f6c7b87a8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{n}\zeta (n+1)\\[5pt]H_{x,2}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)x^{n}\zeta (n+2)\\[5pt]H_{x,3}&={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)(n+2)x^{n}\zeta (n+3).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570ea2cfb98e2c5c9ea6b34f2ddaabbe7fb593f7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{1/a}&={\frac {1}{a}}\left(\zeta (2)-{\frac {1}{a}}\zeta (3)+{\frac {1}{a^{2}}}\zeta (4)-{\frac {1}{a^{3}}}\zeta (5)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,2}&={\frac {1}{a}}\left(2\zeta (3)-{\frac {3}{a}}\zeta (4)+{\frac {4}{a^{2}}}\zeta (5)-{\frac {5}{a^{3}}}\zeta (6)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,3}&={\frac {1}{2a}}\left(2\cdot 3\zeta (4)-{\frac {3\cdot 4}{a}}\zeta (5)+{\frac {4\cdot 5}{a^{2}}}\zeta (6)-{\frac {5\cdot 6}{a^{3}}}\zeta (7)+\cdots \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899d36decb5925f7734cb52b1fe05f18cef16c62)
