ハット記法

記号の上に置かれる「ハット」（サーカムフレックス(ˆ)）は、さまざまな用途を持つ数学表記法です。

推定値

統計学では、サーカムフレックス（ˆ）は「ハット」とも呼ばれ、推定値または推定値を示すために使用されます。^{[1]たとえば、}誤差と残差の文脈では、文字の上の「ハット」は、（統計誤差と呼ばれる）観測不可能な量の観測可能な推定値（残差）を示します。 ${\hat {\varepsilon }}$ $\varepsilon$

ハットが推定値を表すもう一つの例は、単回帰線形回帰において見られる。独立変数データと従属変数データの観測値を持つのモデルを仮定すると、推定モデルはの形をとる。ここで、は通常、観測データに対するとの最適値を求めることで最小二乗法によって最小化される。 $y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i}$ $x_{i}$ $y_{i}$ ${\hat {y}}_{i}={\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\beta }}_{1}x_{i}$ $\sum _{i}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}$ ${\hat {\beta }}_{0}$ ${\hat {\beta }}_{1}$

帽子マトリックス

統計学では、ハット行列Hは応答変数の観測値yを予測値ŷに投影します。

{\hat {\mathbf {y} }}=H\mathbf {y} .

外積

ねじ理論において、ハット演算子の用途の一つは、外積演算を表すことです。外積は線形変換であるため、行列として表すことができます。ハット演算子はベクトルを受け取り、それを等価な行列に変換します。

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {\hat {a}} \mathbf {b}

例えば3次元では、

\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-a_{z}&a_{y}\\a_{z}&0&-a_{x}\\-a_{y}&a_{x}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}=\mathbf {\hat {a}} \mathbf {b} .

単位ベクトル

数学において、ノルムベクトル空間の単位ベクトルは長さ1のベクトル（多くの場合、空間ベクトル）である。単位ベクトルは、しばしばサーカムフレックス付きの小文字、または「ハット」（「v-hat」と発音）で表される。^[2]^[1]これは特に物理学の文脈でよく見られる。 ${\hat {\mathbf {v} }}$

フーリエ変換

関数のフーリエ変換は、伝統的にと表されます。 $f$ ${\hat {f}}$

オペレーター

量子力学では、演算子はハット記法で表されます。例えば、時間に依存しないシュレーディンガー方程式では、ハミルトニアン演算子はと表記されます。 ${\hat {H}}$

${\hat {H}}\psi =E\psi$

参照

外積代数 – 任意のベクトル空間に関連する代数
数学記号の用語集
トップハットフィルター
サーカムフレックス – ヨーロッパの文字におけるダイアクリティカルマーク (◌̂)

参考文献

^ ab Weisstein, Eric W. "Hat". mathworld.wolfram.com . 2024年8月29日閲覧。
^ バランテ, ジェームズ・R. (2016-02-10). 物理化学のための応用数学：第3版. ウェーブランド・プレス. 124ページ, 脚注1. ISBN 978-1-4786-3300-6。

この代数学関連の記事はスタブです。記事を充実させることでWikipediaに貢献できます。

[:0-1] Weisstein, Eric W. "Hat". mathworld.wolfram.com . 2024年8月29日閲覧。

[2] バランテ, ジェームズ・R. (2016-02-10). 物理化学のための応用数学：第3版. ウェーブランド・プレス. 124ページ, 脚注1. ISBN 978-1-4786-3300-6。