グラウバー力学

Algorithm in statistical physics

統計物理学において、グラウバー力学はコンピュータ上でイジング模型（磁性の模型）をシミュレートする方法である。[ 1 ]このアルゴリズムは¹⁹⁶³年に提案されたロイ・J・グラウバーにちなんで名付けられた。 ^[2]

アルゴリズム

イジング模型は、隣接する原子間の磁気相互作用に関する抽象モデルである。慣例的に、この模型は2次元正方格子上で考えられ、磁気相互作用は最も近い原子間でのみ生じる。この模型では、各格子点に上向き（+1）または下向き（-1）のスピンが与えられ、xとyは格子座標である。グラウバーのアルゴリズムは以下のようになる。^[3] ${\displaystyle \sigma _{x,y}}$

1. 場所をランダムに選択します。 ${\displaystyle x,y}$
2. 最近傍のスピンを合計します。2次元正方格子の場合、以下の4つがあります。 ${\displaystyle S=\sigma _{x+1,y}+\sigma _{x-1,y}+\sigma _{x,y+1}+\sigma _{x,y-1}}$
3. x, yのスピンが反転した場合のエネルギー変化を計算しなさい。これはイジング模型のハミルトニアンによって与えられ、 ${\displaystyle \Delta E=2\sigma _{x,y}S.}$
4. フェルミ関数 によって与えられた確率でスピンを反転します。ここでTは温度です。 ${\displaystyle p(\Delta E)=1/(1+e^{\Delta E/T}),}$
5. ステップ 1 に進みます。

グラウバーアルゴリズムでは、スピンを反転させる際のエネルギー変化がゼロの場合、スピンは確率 で反転します。同様に、温度が非常に高い場合も、反転の確率は半分になります。温度が非常に低い場合、高エネルギー状態への反転はほとんど起こりませんが、低エネルギー状態への反転はほぼ常に起こります。 ${\displaystyle \Delta E=0}$ ${\displaystyle p(\Delta E)=0.5}$ ${\displaystyle e^{\Delta E/T}\approx 1}$

メトロポリスアルゴリズムとの比較

異なる温度 T でいくつかのスピンを反転させることによって生じるエネルギー変化の、グラウバー動力学による確率分布。

グラウバー法はメトロポリス・ヘイスティングス法と比較することができます。これら2つの法則は、スピンサイトの選択方法（ステップ1）とスピン反転の確率（ステップ4）が異なります。グラウバー法では、各時間ステップにおいてすべてのスピンが選択される確率は等しく、スピンを反転させるかどうかの決定は、上記に示したフェルミ関数によって与えられます。

対照的に、メトロポリスアルゴリズムは、ボルツマン重み によって与えられる確率を持つスピンサイトを考慮しますが、それが受け入れられた場合、常にエネルギーを下げるためにスピンを反転します。したがって、スピン反転の確率は次のように表されます。 ${\displaystyle e^{-\Delta E/T}}$

${\displaystyle p(\Delta E)=\left\{{\begin{matrix}1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta E\leqslant 0\\e^{-\Delta E/T},\ \Delta E>0\\\end{matrix}}\right.}$

メトロポリス・ヘイスティングス・ダイナミクスに基づく、異なる温度 T でいくつかのスピンを反転させることによって生じるエネルギー変化の確率分布。 ${\displaystyle P(\Delta E\leqslant 0)=1}$

どちらの受理確率も階段状の曲線に近似しており、非常に低温ではほとんど区別がつきませんが、温度が高くなると両者は異なります。2次元格子上のイジング模型の場合、臨界温度は です。 ${\displaystyle T=2.27}$

熱平衡状態では、グラウバーアルゴリズムとメトロポリスアルゴリズムは同じ結果を生成するはずです。一般に、平衡状態では、アルゴリズムがエルゴード性と詳細バランスを満たしている限り、どのMCMCアルゴリズムでも同じ分布が生成されます。 両方のアルゴリズムにおいて、エネルギーの任意の変化に対して となり、これはシステムの状態間の遷移が、ある温度では可能性が非常に低いにもかかわらず、常に起こり得ることを意味します。 そのため、エルゴード性の条件は両方のアルゴリズムで満たされています。 可逆性の要件である詳細バランスとは、システムを十分長い時間観測すると、システムが状態 から に移行する頻度が、状態 から に移行する頻度と同じであることを示します。平衡状態では、状態 A でシステムを観測する確率は、ボルツマン重みによって与えられます。そのため、システムが低エネルギー状態で過ごす時間は、高エネルギー状態で過ごす時間よりも長く、システムがより多くの時間を費やす状態で観測される可能性が高くなります。つまり、 からへの遷移がエネルギー的に不利な場合、システムは にある頻度が高くなり、遷移の固有確率の低下を相殺することになります。したがって、グラウバーアルゴリズムとメトロポリス・ヘイスティングスアルゴリズムはどちらも詳細なバランスを示しています。 ${\displaystyle p(\Delta E)\neq 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e^{-E_{A}/T}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

ソフトウェア

• シミュレーション パッケージ IsingLenzMC は、外部フィールドを使用した 1D 格子上の Glauber Dynamics のシミュレーションを提供します。CRAN。

関連ページ

• メトロポリスアルゴリズム
• イジングモデル
• モンテカルロアルゴリズム
• シミュレーテッドアニーリング

参考文献

1. Süzen, Mehmet (2014年9月29日). 「単一スピンフリップダイナミクスにおける有効エルゴード性」. Physical Review E. 90 ( 3) 032141. arXiv : 1405.4497 . Bibcode :2014PhRvE..90c2141S. doi :10.1103/PhysRevE.90.032141. PMID  : 25314429. S2CID :  118355454. 2022年8月9日閲覧。
2. Glauber, Roy J. (1963年2月). 「イジング模型の時間依存統計」 . Journal of Mathematical Physics . 4 (2): 294– 307. Bibcode :1963JMP.....4..294G. doi :10.1063/1.1703954 . 2021年3月21日閲覧。
3. Walter, J.-C.; Barkema, GT (2015). 「モンテカルロ法入門」. Physica A: 統計力学とその応用. 418 : 78–87 . arXiv : 1404.0209 . Bibcode :2015PhyA..418...78W. doi :10.1016/j.physa.2014.06.014. S2CID  118589022.

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