ヘキソミノ

35個のフリーヘキソミノ

ヘキソミノ（または6オミノ）は、 6次のポリオミノ、つまり、平面上で6つの等しい大きさの正方形が端から端まで繋がった多角形です。[ 1 ]このタイプの図形の名前は、接頭辞hex(a)-で形成されます。回転と反射を別個の図形と見なさない場合、 35種類の自由ヘキソミノが存在します。反射を別個と見なす場合、片側のみのヘキソミノが60種類あります。回転も別個と見なす場合、216種類の固定ヘキソミノが存在します。[ 2 ] [ 3 ]

対称

上の図は、対称群に応じて色分けされた、35 個の可能な自由ヘキソミノすべてを示しています。

  • 20個の灰色ヘキソミノには対称性がありません。その対称群は恒等写像のみで構成されています。
  • 6つの赤いヘキソミノは、グリッド線に平行な鏡映対称軸を持っています。その対称群には、恒等法線と、正方形の辺に平行な線上の鏡映線の2つの要素があります。
  • 2つの緑のヘキソミノは、グリッド線に対して45°の鏡映対称軸を持ちます。その対称群には、恒等項と対角鏡映という2つの要素があります。
  • 5 つの青いヘキソミノは点対称性を持ち、これは2 次回転対称性とも呼ばれます。その対称群には、恒等式と 180° 回転という 2 つの要素があります。
  • 2つの紫色のヘキソミノは、格子線に平行な2つの鏡面対称軸（つまり、水平軸と垂直軸）を持ちます。これらの対称群は4つの要素を持ちます。これは位数2の二面体群であり、クラインの4元群としても知られています。

片面ヘキソミノと同様に、ヘキソミノの鏡映を別個とみなすと、上記の第1および第4のカテゴリーはそれぞれサイズが2倍になり、ヘキソミノが25個増えて合計60個になります。回転も別個とみなすと、最初のカテゴリーのヘキソミノは8倍、次の3つのカテゴリーのヘキソミノは4倍、最後のカテゴリーのヘキソミノは2倍になります。つまり、固定ヘキソミノの数は20 × 8 + (6 + 2 + 5) × 4 + 2 × 2 = 216個となります。

梱包とタイル張り

35個のヘキソミノはそれぞれコンウェイ基準を満たしており、したがってすべてのヘキソミノは平面を敷き詰めることができる。[ 4 ]

35 個のヘキソミノの完全なセットには合計 210 個の正方形がありますが、それらを長方形に詰め込むことはできません。(12 個のペントミノではそのような配置が可能で、3 × 20、4 × 15、5 × 12、および 6 × 10 のどの長方形にも詰め込むことができます。) ヘキソミノをこのように詰め込むことが不可能であることを実証する簡単な方法は、パリティの議論を使用することです。ヘキソミノを市松模様に配置すると、11 個のヘキソミノが偶数個の黒い正方形 (白 2 個と黒 4 個、またはその逆) を覆い、残り 24 個のヘキソミノが奇数個の黒い正方形 (白 3 個と黒 3 個) を覆います。全体として、どのような配置でも偶数個の黒い正方形が覆われることになります。しかし、210 個の正方形からなる長方形には、105 個の黒い正方形と 105 個の白い正方形が含まれるため、35 個のヘキソミノで覆うことはできません。

しかし、ヘキソミノを詰め込むことができる210個の正方形からなる単純な図形も存在します。例えば、15×15の正方形から中心から3×5の長方形を取り除いた図形は、210個の正方形になります。チェッカーボード状に色付けすると、白の正方形が106個、黒の正方形が104個（またはその逆）になるため、偶奇性は詰め込みを妨げず、実際に詰め込みが可能です。[ 5 ] また、2組のピースを420の長方形に詰め込んだり、片面ヘキソミノ60個（そのうち18個は黒の正方形を偶数個覆う）を360の長方形に詰め込んだりすることも可能です。[ 6 ]

立方体のための多面体ネット

立方体の11の展開すべて

立方体の多面体ネットは必然的にヘキソミノとなり、11個のヘキソミノ（右図）は実際にはネットです。これらは右側に示されており、対称群に応じて色分けされています。

キューブの多面体ネットには、O テトロミノ、I ペントミノ、U ペントミノ、V ペントミノを含めることはできません。

参考文献

  1. ^ゴロム、ソロモン・W. (1994).ポリオミノ（第2版）. プリンストン、ニュージャージー州: プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-02444-8。
  2. ^ Weisstein, Eric W. 「Hexomino」 . MathWorld – Wolfram Web Resource より. 2008年7月22日閲覧。
  3. ^ Redelmeier, D. Hugh (1981). 「ポリオミノの数え方：もう一つの攻撃」 .離散数学. 36 (2): 191– 203. doi : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
  4. ^ Rhoads, Glenn C. (2003). 「平面タイリングと非周期的プロトタイプの探索」 . ラトガース大学博士論文.
  5. ^ Mathematische Basteleien: Hexominos (英語)
  6. ^ヘキソミノ構造
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