同次関数

Function with a multiplicative scaling behaviour

数学において、同次関数とは、以下の式が成り立つような複数の変数の関数である。関数の各引数に同じスカラーを掛けると、関数の値にはこのスカラーのべき乗が掛けられる。このべき乗は同次次数、あるいは単に次数と呼ばれる。つまり、kが整数の場合、n変数の関数fは次数kの同次関数である。

${\displaystyle f(sx_{1},\ldots ,sx_{n})=s^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

あらゆる に対して、これはk次またはk次の同次関数とも呼ばれます。 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ ${\displaystyle s\neq 0.}$

たとえば、次数kの同次多項式は次数kの同次関数を定義します。

上記の定義は、定義域と余定義域が体F上のベクトル空間である関数にも拡張される。2つのFベクトル空間間の関数が次数同次であるとは、 ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(s\mathbf {v} )=s^{k}f(\mathbf {v} )}$

1

すべての非ゼロのスカラー s および に対して、この定義は多くの場合さらに一般化されて、定義域が V ではなくV内の錐、つまり、すべての非ゼロのスカラーsに対してとなるようなVのサブセットCである関数が挙げられます。 ${\displaystyle s\in F}$ ${\displaystyle v\in V.}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in C}$ ${\displaystyle s\mathbf {v} \in C}$

複数の実変数関数や実ベクトル空間の場合、上記の恒等式が成り立つことのみを条件とし、任意の実数k を同次次として許容する、より一般的な同次性である正同次性がしばしば考慮される。すべての同次実関数は正同次である。逆は真ではないが、（整数次の場合）与えられた点付近の関数の挙動を考慮するだけでは2種類の同次性を区別できないという意味で局所的に真である。 ${\displaystyle s>0,}$

実ベクトル空間上のノルムは、同次ではない正同次関数の例です。特殊な例として、実数の絶対値があります。同じ次数の2つの同次多項式の商は、0次同次関数の例となります。この例は、射影スキームの定義において基本的なものです。

定義

同次関数の概念は、もともと複数の実変数を持つ関数のために導入されました。19世紀末にベクトル空間が定義されると、変数値の組を座標ベクトルと見なせるようになったため、この概念はベクトル空間間の関数にも自然に拡張されました。本稿では、このより一般的な観点から説明します。

よく使われる定義は2つあります。一般的な定義は任意の体上のベクトル空間に適用でき、同次性の次数が整数に制限されます。

2つ目の定義は、実数体、あるいはより一般的には順序体上で作用することを想定している。この定義は、定義に現れるスケーリング係数を正の値に限定するため、正同次性と呼ばれる。正という修飾語は、混乱の恐れがない場合にはしばしば省略される。正同次性は、より多くの関数を同次関数とみなすことにつながる。例えば、絶対値やすべてのノルムは、同次ではない正同次関数である。

スケーリング係数を実数の正の値に制限することで、同次度が任意の実数である同次関数も考慮できるようになります。

一般的な均質性

VとWを体F上の2つのベクトル空間とする。Vの線型錐は、すべての非零に対してVの部分集合Cである。 ${\displaystyle sx\in C}$ ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle s\in F.}$

VからWへの同次関数 fは、線型錐Cを定義域とするVからWへの部分関数であり、

${\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}$

ある整数 kに対して、すべての非ゼロ整数kは同次度、または単にfの次数と呼ばれます。 ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle s\in F.}$

k次同次関数の典型的な例は、 k次同次多項式によって定義される関数です。2つの同次多項式の商によって定義される有理関数は同次関数です。その次数は分子と分母の次数の差であり、定義円錐は分母の値が 0 でない点の線形円錐です。

同次関数は射影幾何学において基本的な役割を果たす。なぜなら、 VからWへの任意の同次関数f は、 VとWの射影化の間の明確に定義された関数を定義するからである。0次の同次有理関数（同じ次数の2つの同次多項式の商によって定義される関数）は、射影スキームのProj 構成において重要な役割を果たす。

肯定的な均質性

実数、またはより一般的には順序体上で作業する場合、正の同次性を考慮すると便利です。この定義は、前のセクションの定義とまったく同じで、線形円錐と同次関数の定義で 「非ゼロのs」が「s > 0 」に置き換えられます。

この変更により、正の実数を底とする指数関数が明確に定義されるため、任意の実数を次数とする（正に）同次関数を検討できるようになります。

整数次数の場合であっても、同次ではないものの正同次である有用な関数は数多く存在します。特に、絶対値関数とノルムは、すべて1次正同次です。しかし、 の場合、 となるため、これらは同次ではありません。これは複素数体とすべての複素ベクトル空間が実ベクトル空間とみなせる ため、複素数の場合にも当てはまります。 ${\displaystyle |-x|=|x|\neq -|x|}$ ${\displaystyle x\neq 0.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

オイラーの同次関数定理は、同次微分可能関数の特徴付けであり、同次関数に関する基本定理とみなすことができます。

例

この例が示すように、同次関数は必ずしも連続ではありません。これは、かつ のとき定義される関数です。この関数は1次同次関数、つまり任意の実数に対して不連続です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x,y)=x}$ ${\displaystyle xy>0}$ ${\displaystyle f(x,y)=0}$ ${\displaystyle xy\leq 0.}$ ${\displaystyle f(sx,sy)=sf(x,y)}$ ${\displaystyle s,x,y.}$ ${\displaystyle y=0,x\neq 0.}$

簡単な例

この関数は2次同次である。 ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ $${\displaystyle f(tx,ty)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=t^{2}f(x,y).}$$

絶対値と規範

実数の絶対値は1次の同次関数であるが、これは同次ではない 。なぜなら、 ${\displaystyle |sx|=s|x|}$ ${\displaystyle s>0,}$ ${\displaystyle |sx|=-s|x|}$ ${\displaystyle s<0.}$

複素数の絶対値は、実数上の次数に関して正同次な関数です（つまり、複素数を実数上のベクトル空間とみなした場合）。複素数上だけでなく実数上でも同次ではありません。 ${\displaystyle 1}$

より一般的には、すべてのノルムとセミノルムは1次の正同次関数ですが、これは同次関数ではありません。絶対値に関しては、ノルムまたはセミノルムが複素数上のベクトル空間上で定義されている場合、正同次関数の定義を適用するには、このベクトル空間を実数上のベクトル空間として考える必要があります。

線形マップ

体F上のベクトル空間間の線型写像は 線型性の定義により1次同次写像となる。 ${\displaystyle f:V\to W}$ $${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}$$ ${\displaystyle \alpha \in {F}}$ ${\displaystyle v\in V.}$

同様に、多重線型関数 は 多重線型性の定義により次数同次である。 ${\displaystyle f:V_{1}\times V_{2}\times \cdots V_{n}\to W}$ ${\displaystyle n,}$ $${\displaystyle f\left(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n}\right)=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$$ ${\displaystyle \alpha \in {F}}$ ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},\ldots ,v_{n}\in V_{n}.}$

同次多項式

変数の単項式は同次関数を定義する。例えば、は次数10の同次関数である。次数は変数の指数の合計である。この例では、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} .}$ $${\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,}$$ $${\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z).\,}$$ ${\displaystyle 10=5+2+3.}$

同次多項式とは、同じ次数の単項式の和で構成される多項式です。例えば、は5次同次多項式です。同次多項式は同次関数も定義します。 $${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$$

正の値のみを取る実数係数の 次同次多項式がある場合、それを累乗することで次同次関数が得られます。したがって、たとえば、次の関数は 1 次同次ですが、同次ではありません。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k/d}$ ${\displaystyle 1/d.}$ $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}$$

最小/最大

すべての重みセットに対して、次の関数は 1 次同次ですが、同次ではありません。 ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n},}$

• ${\displaystyle \min \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}$（レオンチェフユーティリティ）
• ${\displaystyle \max \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}$

有理関数

2つの同次多項式の比として形成される有理関数は、その定義域、つまり分母の零点によって形成される線型円錐の外において同次関数である。したがって、が 次数 同次で が次数 同次である場合、の零点から離れたところで は次数 同次である。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle m-n}$ ${\displaystyle g.}$

非例

一変数の同次実関数は、ある定数cに対して の形をとります。したがって、アフィン関数、自然対数関数、指数関数は同次ではありません。 ${\displaystyle x\mapsto cx^{k}}$ ${\displaystyle x\mapsto x+5,}$ ${\displaystyle x\mapsto \ln(x),}$ ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

オイラーの定理

大まかに言えば、オイラーの同次関数定理は、与えられた次数の正同次関数は特定の偏微分方程式の解と全く同じであると主張している。より正確には、

オイラーの同次関数定理— f がn 個の実変数の（偏）関数で、k次同次かつ の開集合において連続的に微分可能である場合、この開集合において偏微分方程式を満たす。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ $${\displaystyle k\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$$

逆に、この偏微分可能方程式のすべての最大連続微分可能解は、正の錐上で定義されたk次正同次関数です (ここで、最大とは、解がより大きな定義域を持つ関数に延長できないことを意味します)。

証拠

式を簡素化するために、最初の部分は、連鎖律を使用して方程式の両辺を について微分し、 s が1に近づくときに結果の極限を取ることによって得られます。 ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$ ${\displaystyle f(s\mathbf {x} )=s^{k}f(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle s,}$

逆は、簡単な微分方程式を積分することによって証明されます。 をfの定義域の内部とします。s が1に十分近い場合、関数は明確に定義されます。偏微分方程式から次のことが分かります。 この線型微分方程式の解は、次の形式を持ちます。したがって、s が1に十分近い場合。 この偏微分方程式の解がすべての正のsに対して定義されない場合、関数方程式によって解を延長することができ、偏微分方程式からこの延長が一意であることが分かります。 したがって、偏微分方程式の最大解の定義域は線型円錐であり、解はk次同次です。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\textstyle g(s)=f(s\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle sg'(s)=kf(s\mathbf {x} )=kg(s).}$$ ${\displaystyle g(s)=g(1)s^{k}.}$ $${\displaystyle f(s\mathbf {x} )=g(s)=s^{k}g(1)=s^{k}f(\mathbf {x} ),}$$ ${\displaystyle \square }$

その結果、が連続的に微分可能かつ 次同次である場合、その 1 次偏導関数は 次同次です 。これは、偏微分方程式を 1 つの変数に関して微分することによって得られるオイラーの定理から得られます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$ ${\displaystyle k-1.}$

実数 1 変数関数 ( ) の場合、定理は、k次連続微分可能かつ同次な関数が に対して、に対しての形を持つことを意味しています。定数と は、絶対値の場合と同様、必ずしも同じではありません。 ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle f(x)=c_{+}x^{k}}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle f(x)=c_{-}x^{k}}$ ${\displaystyle x<0.}$ ${\displaystyle c_{+}}$ ${\displaystyle c_{-}}$

微分方程式への応用

この置換により、とが同じ次数の同次関数である常微分方程式が、分離可能な微分方程式に変換される。 ${\displaystyle v=y/x}$ $${\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,}$$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v.}$$

一般化

モノイド作用による同次性

上記の定義はすべて、 が任意の集合（ベクトル空間ではなく）であり、実数がモノイドのより一般的な概念に置き換えられる、次のより一般的な同次概念の特殊なケースです。 ${\displaystyle X}$

を単位元とするモノイドとし、を集合とし、との両方にモノイド作用が定義されているとする。を非負整数とし、を写像とする。すると、任意の と に対してが 次数同次であるとする。さらに、で表され絶対値と呼ばれる 関数が存在するとすると、任意の と に対して が次数絶対同次であるとする。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1\in M,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle m\in M,}$ $${\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x).}$$ ${\displaystyle M\to M,}$ ${\displaystyle m\mapsto |m|,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle m\in M,}$ $${\displaystyle f(mx)=|m|^{k}f(x).}$$

関数が上で同次 ${\displaystyle M}$(または上で絶対同次 ${\displaystyle M}$) であるとは、それが上で次数同次(または上で次数絶対同次) である場合に限ります。 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle M}$

より一般的には、が整数以外の値をとる場合に、の記号を定義することも可能である（例えば、が実数で が非ゼロの実数である場合、 は整数でなくても定義される）。この場合、 は に対して同次であると言える。ただし、 についても同じ等式が成り立つ場合である。 ${\displaystyle m^{k}}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x)\quad {\text{ for every }}x\in X{\text{ and }}m\in M.}$$

上の絶対同次性 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$の概念も同様に一般化されます。

分布（一般化関数）

上の連続関数が の同次性を持つ場合、かつその場合、すべてコンパクトにサポートされているテスト関数に対して となる。また、非零の実数となる。同様に、変数の変更が の同次性を持つ場合、かつその場合 、すべておよびすべてのテスト関数 に対してとなる。最後の表示により、分布の同次性を定義することができる。分布がの同次性を持つ場合、すべて非零の実数およびすべてのテスト関数に対してとなる。ここで、山括弧は分布とテスト関数のペアリングを示し、は実数によるスカラー除算の写像である。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(tx)\varphi (x)\,dx=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle y=tx,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle t^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi \left({\frac {y}{t}}\right)\,dy=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (y)\,dy}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi .}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle t^{-n}\langle S,\varphi \circ \mu _{t}\rangle =t^{k}\langle S,\varphi \rangle }$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi .}$ ${\displaystyle \mu _{t}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle t.}$

名前の異形に関する用語集

を体（通常は実数または複素数）上の2つのベクトル空間間の写像とする。がスカラー集合（例えばや）である場合、 は次のように表現される。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle [0,\infty ),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$任意のおよびスカラーに対して 同次である。 例えば、ベクトル空間間のの加法写像 ${\textstyle f(sx)=sf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in S.}$有理数上では同次 だが、そうではないかもしれない ${\displaystyle S:=\mathbb {Q} }$実数上で同次 ${\displaystyle S:=\mathbb {R} .}$

この定義の次のような一般的な特殊なケースとバリエーションには、独自の用語があります。

1. （厳しい）正の同次性：^[1] すべての正の実数に対して ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • 関数がベクトル空間またはベクトル体で値を持つ場合、この性質は論理的に次の式と等価である^[証明1]。 ${\displaystyle f}$非負同次性は、定義により次のことを意味する：^[2] 非負実数に対して、およびすべてのに対して。このため、正同次性はしばしば非負同次性とも呼ばれる。しかし、凸解析などの分野に現れる拡張実数、乗算は常に未定義となるため、これらの記述は必ずしも常に互換性があるわけではない。^{[注 1]} ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r\geq 0.}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},}$ ${\displaystyle 0\cdot f(x)}$ ${\displaystyle f(x)=\pm \infty }$
   • この性質は、部分線形関数の定義に使用されます。^{[1] [2]}
   • ミンコフスキー関数はまさにこの特性を持つ非負の拡張実数値関数です。
2. 実在的均質性：すべての実在的 ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r.}$
   • この特性は実 線形関数の定義に使用されます。
3. 均質性：^[3] およびすべてのスカラーに対して ${\displaystyle f(sx)=sf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • この定義は、ドメインの基礎となるスカラー場に依存することを強調しておく。 ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X.}$
   • この性質は線型関数や線型写像の定義に用いられる。^[2]
4. 共役同次性：^[4] すべてのおよびすべてのスカラー ${\displaystyle f(sx)={\overline {s}}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • ならば、は典型的にはの複素共役を表す。しかし、より一般的には、例えば半線型写像の場合のように、は の何らかの特別な自己同型の下での の像となる可能性がある。 ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\overline {s}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\overline {s}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$
   • 反線型写像の定義では、加法性とともにこの性質が仮定されている。また、セクスティライン形式の2つの座標のうちの1つがこの性質を持つことも仮定されている（例えば、ヒルベルト空間の内積）。

上記の定義はすべて、条件を に置き換えることで一般化できます。その場合、定義の前に「絶対的」または「絶対に」という単語が付きます。 例えば、 ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle f(rx)=|r|f(x),}$

5. 絶対同質性：^[2] およびすべてのスカラーに対して ${\displaystyle f(sx)=|s|f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • この特性は半ノルムとノルムの定義に使用されます。

が固定実数である場合、上記の定義は、条件を に置き換えることでさらに一般化できます（同様に、絶対値などを用いた条件については に置き換えることでも同様です） 。この場合、同次性は「次」と呼ばれます（特に、上記の定義はすべて「次」です）。例えば、 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}$ ${\displaystyle f(rx)=|r|f(x)}$ ${\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1}$

6. 実数の同次性 ${\displaystyle k}$：の実数に対して ${\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r.}$
7. 次数の同次性 ${\displaystyle k}$：およびすべてのスカラーに対して ${\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
8. 絶対的な実数同次性 ${\displaystyle k}$：の実数に対して ${\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r.}$
9. 絶対同次性 ${\displaystyle k}$：およびすべてのスカラーに対して ${\displaystyle f(sx)=|s|^{k}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$

について同次な非零連続関数は、連続的に に拡張され、かつその場合のみ、 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\backslash \lbrace 0\rbrace }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k>0.}$

参照

• 均質空間
• 三角形の中心関数 - 三角形の点のうち、ある基準で中心とみなせる点Pages displaying short descriptions of redirect targets

注記

1. しかし、もしそのようなが全てに対して成り立ち、そして必然的に、そしてが両方とも実数であるときはいつでも、全てに対して成り立つ。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f(0)\in \{\pm \infty ,0\}}$ ${\displaystyle f(0),f(x)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle r\geq 0.}$

証明

1. が厳密に正同次であり、ベクトル空間または体で値を持つと仮定します。したがって、両辺からを引くと が成り立ちます。 を任意の に対して書くと、 が非負同次であることがわかります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)=f(2\cdot 0)=2f(0)}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$ ${\displaystyle r:=0,}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f(rx)=f(0)=0=0f(x)=rf(x),}$ ${\displaystyle f}$

参考文献

1. シェクター、1996 年、313–314 ページ。
2. Kubrusly 2011、p. 200。
3. クブルスリー 2011、55ページ。
4. クブルスリー 2011、310ページ。

出典

• クリスチャン・ブラッター (1979)。 「20. MehrDimensione Differentialrechnung、アウフガーベン、1.」。分析 II (ドイツ語) (第 2 版)。スプリンガー・フェルラーグ。 p. 188.ISBN​ 3-540-09484-9。
• クブルスリー、カルロス・S. (2011). 『作用素論の要素』（第2版）. ボストン:ビルクハウザー. ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC  710154895。
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• シェクター、エリック（1996年）『分析とその基礎ハンドブック』サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス、ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.

外部リンク

• 「同次関数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• Eric Weisstein. 「オイラーの同次関数定理」. MathWorld .

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