幾何学における一般化されたスケーリング操作

相似性: k > 0の例。k = 1は恒等式（点は移動しない）に対応し、 k > 1は拡大、k < 1は縮小に対応する。

k < 0の例。k = −1は点Sにおける点反射に対応する。

ピラミッドの相似性

数学において、相似性（または相似膨張、同次膨張）とは、中心と呼ばれる点Sと比と呼ばれる非零数kによって決定されるアフィン空間の変換であり、規則に従って点Xを点X ′に送るものである。 ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\overrightarrow {SX'}}=k{\overrightarrow {SX}}}$固定数の場合。 ${\displaystyle k\neq 0}$

位置ベクトルの使用:

${\displaystyle \mathbf {x} '=\mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$。

（原産地）の場合： ${\displaystyle S=O}$

${\displaystyle \mathbf {x} '=k\mathbf {x} }$、

これは均一なスケーリングであり、 に対する特別な選択の意味を示しています。 ${\displaystyle k}$

一つは恒等写像を得るため、 ${\displaystyle k=1}$

中心に反射が映るので、 ${\displaystyle k=-1}$

は、によって定義される逆マッピングを取得します。 ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle k}$

ユークリッド幾何学において、相似性は、点を固定し、すべてのベクトルの方向を保存する（ の場合）か、または反転する（ の場合）相似性です。並進と共に、アフィン（またはユークリッド）空間のすべての相似性は、拡大群、または相似並進群と呼ばれる群を形成します。これらはまさに、すべての直線gの像がgに平行な直線であるという性質を持つアフィン変換です。 ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle k<0}$

射影幾何学において、相似変換とは、与えられた楕円反転を固定し、無限遠直線を各点ごとに不変にする相似変換である。^{[ 2 ]}

ユークリッド幾何学において、相似比とは、点間の距離を、面積を、体積を で乗じた比です。ここでは拡大比、膨張率、スケール係数、相似比です。スケール係数が1を超える場合、このような変換は拡大と呼ばれます。上記の固定点Sは相似中心、相似中心、相似中心と呼ばれます。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle |k|}$ ${\displaystyle k^{2}}$ ${\displaystyle |k|^{3}}$ ${\displaystyle k}$

フランスの数学者ミシェル・シャスルによって造られたこの用語は、ギリシャ語の接頭辞homo-（όμο 「類似する」）と、翻訳 grc  、翻訳 thesis（Θέσις「位置」 ）の2つの要素に由来しています。これは、同じ形と向きを持つ2つの図形の関係を表します。例えば、同じ方向を向いている2つのロシア人形は、相同的であると考えられます。

相似形は、スマートフォン、ノートブック、ラップトップなどのコンピューター画面のコンテンツを拡大縮小するために使用されます。

プロパティ

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次の特性はどの次元でも当てはまります。

線、線分、角度のマッピング

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相似性には次の特性があります。

• 直線は平行線に写像されます。したがって、角度は変化しません。
• 2 つの線分の比率は保持されます。

両方のプロパティは次を示します:

• 相似性とは類似性のことである。

特性の導出：計算を容易にするため、中心は 原点であると仮定します。パラメトリック表現を持つ直線は 、方程式 を持つ点集合にマッピングされ、これは に平行な直線です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {p} +t\mathbf {v} }$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =k(\mathbf {p} +t\mathbf {v} )=k\mathbf {p} +tk\mathbf {v} }$ ${\displaystyle g}$

2点間の距離は、その像間の距離です。したがって、2つの線分の比（商）は変化しません。 ${\displaystyle P:\mathbf {p} ,\;Q:\mathbf {q} }$ ${\displaystyle |\mathbf {p} -\mathbf {q} |}$ ${\displaystyle |k\mathbf {p} -k\mathbf {q} |=|k||\mathbf {p} -\mathbf {q} |}$

計算は類似していますが、少し広範囲になります。 ${\displaystyle S\neq O}$

結果：三角形は相似三角形に写像されます。円の相似像は円です。楕円の相似像は楕円です。つまり、2つの軸の比は変わりません。

切片定理を用いると

グラフィカルな構成

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切片定理を用いる

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中心との相似性について点 の像が与えられている場合（図を参照） 、直線上にない2番目の点 の像は、 切片定理を用いてグラフィカルに構築できます。は2つの直線との共通点です。 と共線的な点 の像は、を用いて決定できます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle SP_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {SP_{2}}}}$ ${\displaystyle P_{1},Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{2},Q_{2}}$

パンタグラフ

幾何学的な背景

パンタグラフの3Dレンダリング

パンタグラフを使用する

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コンピュータが普及する前は、図面の拡大縮小は、コンパスに似たツールであるパンタグラフを使用して行われていました。

構造と幾何学的背景:

1. 4本の棒を使い、図に示すように、頂点がで交わる2本の棒が反対側の端まで延長されるように、可動な平行四辺形を組み立てます。比 を選びます。 ${\displaystyle P_{0},Q_{0},H,P}$ ${\displaystyle Q_{0}}$ ${\displaystyle k}$
2. 延長された棒の上に、ととなる2点を印します。これは、 の場合に当てはまります（ の代わりに中心の位置を規定することもできます。この場合、比は です）。 ${\displaystyle S,Q}$ ${\displaystyle |SQ_{0}|=k|SP_{0}|}$ ${\displaystyle |QQ_{0}|=k|HQ_{0}|}$ ${\displaystyle |SQ_{0}|={\tfrac {k}{k-1}}|P_{0}Q_{0}|.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k=|SQ_{0}|/|SP_{0}|}$
3. 点で回転可能な移動ロッドを取り付けます。 ${\displaystyle S}$
4. 各時点においてポイントの位置とマークを変更します。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

（図参照）切片定理から、点が同一線上にある（一直線上にある）ことが示され、方程式が成り立ちます。これは、写像が 中心と比と相似であることを示しています。 ${\displaystyle |SQ_{0}|/|SP_{0}|=|Q_{0}Q|/|PP_{0}|}$ ${\displaystyle S,P,Q}$ ${\displaystyle |SQ|=k|SP|}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$

構成

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中心がS ₁、S ₂で比がk ₁、k ₂ = 0.3 である 2 つの相似線の合成( P _i &rarrow; Q _i &rarrow; R _{i の}マッピング)は、中心がS ₃で直線S ₁ S ₂ 上にあり、比がk ⋅ l = 0.6である相似線です。

• 同じ中心 を持つ2つの相似線分の合成もまた、中心 を持つ相似線分である。中心 を持つ相似線分は群を形成する。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
• 異なる中心 を持つ2つの相似体の合成とその比は ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$

中心が直線上にある相似直線の場合、または ${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$ ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$

方向への並進の場合。特に、（点反射）の場合。 ${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle k_{1}=k_{2}=-1}$

導出：

中心が​​ ${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle \sigma _{1}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1}),}$

${\displaystyle \sigma _{2}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{2}+k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{2})\ }$

点の像を計算すると次のようになる。 ${\displaystyle X:\mathbf {x} }$

${\displaystyle (\sigma _{2}\sigma _{1})(\mathbf {x} )=\mathbf {s} _{2}+k_{2}{\big (}\mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1})-\mathbf {s} _{2}{\big )}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \ =(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}+k_{1}k_{2}\mathbf {x} }$。

したがって、構成は

ベクトルによる方向の移動の場合。 ${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle \ (1-k_{2})(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$

ポイントの場合 ${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$

${\displaystyle S_{3}:\mathbf {s} _{3}={\frac {(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}}{1-k_{1}k_{2}}}=\mathbf {s} _{1}+{\frac {1-k_{2}}{1-k_{1}k_{2}}}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$

は固定点（動かない）であり、合成

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}:\ \mathbf {x} \to \mathbf {s} _{3}+k_{1}k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{3})\quad }$。

は中心および比と相似です。直線上に位置します。 ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$

翻訳付き作文

• 相似性と翻訳の組み合わせが相似性である。

導出：

相同性の構成

${\displaystyle \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} ),\;k\neq 1,\;}$そして翻訳

${\displaystyle \tau :\mathbf {x} \to \mathbf {x} +\mathbf {v} }$は

${\displaystyle \tau \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +\mathbf {v} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$

${\displaystyle =\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}+k\left(\mathbf {x} -(\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}})\right)}$

これは中心および比と相似です。 ${\displaystyle \mathbf {s} '=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}}$ ${\displaystyle k}$

同次座標系では

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中心相似は、中心相似と平行移動の合成として表すことができます。 ${\displaystyle \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$ ${\displaystyle S=(u,v)}$ ${\displaystyle O}$

${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} +(1-k)\mathbf {s} }$。

したがって、同次座標では次の行列で表すことができます 。 ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}k&0&(1-k)u\\0&k&(1-k)v\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

純粋相似線形変換も、平行移動と均一なスケールで構成されるため、等角です。

参照

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• スケーリング（幾何学）ベクトル空間における同様の概念
• 相似中心、一対の図形のうちの一方を他方の図形に合わせる相似変換の中心
• 凸体の真に小さい相似コピーの個数に関するハドヴィガー予想は、凸体を覆うのに必要な個数に関するものである。
• 同次関数（経済学） 、形式f ( U ( y ))の関数。ここで、Uは同次関数、fは単調増加関数です。
• メネラウスの定理#相似性を用いた証明

注記

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1. アダマール（1906） 、 134ページ 。
2. タラー（1967年）、119ページ。

参考文献

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• コクセター, HSM (1961)、「幾何学入門」、Wiley、p. 94
• Hadamard, J. (1906)、「V: Homothétie et Similtude」[V: 相似性と類似性]、Leçons de Géométrie élémentaire。 I: 幾何学平面[初等幾何学のレッスン。 I: 平面幾何学] (フランス語) (第 2 版)、パリ: アルマン・コラン
• メサーブ、ブルース・E.（1955）「ホモセティック変換」『幾何学の基礎概念』アディソン・ウェスレー、pp.  166-169
• Tuller, Annita (1967)、「A Modern Introduction to Geometries」、University Series in Undergraduate Mathematics、プリンストン、ニュージャージー：D. Van Nostrand Co.

外部リンク

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• Homothety 、 Cut-the-Knotのインタラクティブ アプレット。

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