ホモトピー余極限と極限

Concepts in algebraic topology

数学、特に代数的位相幾何学において、ホモトピー極限と余極限^{[1]（52ページ）は、}極限と余極限の概念をホモトピー圏に拡張した変形である。基本的な考え方は以下の通りである。 ${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Top}})}$

${\displaystyle F:I\to {\textbf {Top}}}$

図のホモトピー圏の対象として考えると（図のホモトピー同値性は点ごとに考慮される）、ホモトピー極限と余極限は円錐と余円錐に対応する。 ${\displaystyle F\in {\text{Ho}}({\textbf {Top}}^{I})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {\leftarrow I}{\text{Holim}}}(F)&:*\to {\textbf {Top}}\\{\underset {\rightarrow I}{\text{Hocolim}}}(F)&:*\to {\textbf {Top}}\end{aligned}}}$

これらはホモトピー圏 の対象であり、は 1 つの対象と 1 つの射を持つ圏である。この圏は標準ホモトピー圏 と同値である点に注意してほしい。後者のホモトピー関手圏には の対象を取り出す関手があり、自然変換は位相空間 の連続関数に対応するからである。この構成はモデル圏に一般化できる点に注意してほしい。モデル圏 は導来圏などの他のホモトピー圏 を用いてホモトピー極限と余極限を構成する手法を与える。こうした構成を形式化する別の視点は、ホモトピー代数の新しい枠組みである微分係数^{[2] (193 ページ)}である。 ${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Top}}^{*})}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Top}})}$ ${\displaystyle {\text{Top}}}$

入門例

ホモトピー押し出し

^{ホモトピー余極限[1] pg 4-8}の概念は、コファイブレーションを定義するために用いられるマッピングシリンダーなどのホモトピープッシュアウトの一般化である。この概念は、以下の観察に基づいている。（通常の）プッシュアウト

${\displaystyle D^{n}\sqcup _{S^{n-1}}pt}$

は、（ n −1）次元球面（ n次元円板の境界）を一点に縮約することによって得られる空間である。この空間はn次元球面S ⁿと同相である。一方、押し出し

${\displaystyle pt\sqcup _{S^{n-1}}pt}$

は点である。したがって、（収縮可能な）円板D ^{n が}点（円板とホモトピー同値）に置き換えられたとしても、2つの押し出しはホモトピー同値（あるいは弱同値）ではない 。

したがって、プッシュアウトは、弱同値な空間は同じ情報を持つとみなすホモトピー理論の原理とは整合しません。つまり、プッシュアウトを形成するために用いられた空間の1つ（または複数）が弱同値な空間に置き換えられた場合、プッシュアウトが弱同値であり続けることは保証されません。ホモトピープッシュアウトはこの欠陥を修正します。

位相空間の２つの写像のホモトピー押し出しは次のように定義される。 ${\displaystyle A\leftarrow B\rightarrow C}$

${\displaystyle A\sqcup _{1}B\times [0,1]\sqcup _{0}B\sqcup _{1}B\times [0,1]\sqcup _{0}C}$、

つまり、 BをAとCの両方に貼り付けるのではなく、B上の円筒の2つのコピーを貼り合わせ、その端をAとCに貼り付ける。例えば、図のホモトピー極限（その写像は射影である）

${\displaystyle X_{0}\leftarrow X_{0}\times X_{1}\rightarrow X_{1}}$

は結合 です。 ${\displaystyle X_{0}*X_{1}}$

ホモトピープッシュアウトは通常のプッシュアウトの欠点を持たないことが示されます。A 、B 、および/またはCをホモトピー空間に置き換えると、ホモトピープッシュアウトもホモトピーになります。この意味で、ホモトピープッシュアウトは、（通常の）プッシュアウトが同相空間を扱うのと同様に、ホモトピー空間を扱います。

地図の構成

ホモトピー極限のもう一つの有用で動機付けとなる例は、図のホモトピー極限のモデルを構築することである。

${\displaystyle A\xrightarrow {f} X\xrightarrow {g} Y}$

位相空間の極限をモデル化する方法はいくつかある。まず、空間

${\displaystyle \left[(A\times I)\coprod (X\times I)\coprod Y\right]/\sim }$

同値関係はどこを指すのか ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,1)&\sim (f(a),0)\\(x,1)&\sim g(x)\end{aligned}}}$

これは絵的に表現すると

上の図は同様に可換図として解釈できるので、カテゴリの性質から可換図が得られる。

ホモトピー余極限を与える。これは次のように推測できる。

しかし、合成図の新しいデータを埋めるために新たなサイクルを導入したことに注目してください。これは、単体的手法を用いて解決できる技術的な問題、すなわちホモトピー余極限のモデル構築法を与える問題を生み出します。合成図のホモトピー余極限を図式的に表す新しい図は、次のように表されます。

は、ホモトピー余極限の別のモデルを与える。これは、上に示した元の図（ の合成なし）とホモトピー的に等価である。 ${\displaystyle g\circ f}$

マッピング望遠鏡

空間列のホモトピー極限

${\displaystyle X_{1}\to X_{2}\to \cdots ,}$

は写像望遠鏡である。^{[3]計算例の一つとして、}コファイブレーション列のホモトピー余極限を求めることがあげられる。 ^{[1] pg 62}のこの図の余極限はホモトピー余極限を与える。これは、写像をコファイブレーションに置き換えることで、任意の写像望遠鏡のホモトピー余極限を計算できることを意味する。

一般的な定義

ホモトピー限界

写像望遠鏡やホモトピー押し出しのような例を同等に扱うには、空間のI図（ Iは何らかの「添字」カテゴリ）を考えることで実現できる。これは関手である。

${\displaystyle X:I\to Spaces,}$

すなわち、 I内の各オブジェクト i に空間X i を割り当て、_I内の写像に従ってそれらの間の写像を行う。このような図の圏は空間^Iと表記される。

対角線と呼ばれる自然な関数があり、

${\displaystyle \Delta _{0}:Spaces\to Spaces^{I}}$

これは、任意の空間Xを、Xがどこにでも存在する図式（およびそれらの間の写像としてのXの恒等写像）に写す。（通常の）圏論では、この関手の右随伴は極限である。ホモトピー極限は、この状況を変えることによって定義される。それは、

${\displaystyle \Delta :Spaces\to Spaces^{I}}$

これは空間XをI図に送り、あるオブジェクトiにおいて

${\displaystyle X\times |N(I/i)|}$

ここでI / iはスライスカテゴリ（そのオブジェクトは矢印j → i、jはIの任意のオブジェクト）、Nはこのカテゴリの神経、|-|はこの単体集合の位相的実現である。^[4]

ホモトピー余極限

同様に、上記の対角関数Δ ₀の左随伴関数として余極限を定義することができます。ホモトピー余極限を定義するには、 Δ _{0 を}別の方法で修正する必要があります。ホモトピー余極限は、関数Δ : Spaces → Spaces ^Iの左随伴関数として定義できます。ここで

Δ( X )( i ) = Hom_空間(| N ( I ^op / i ) |, X ) ,

ここで、I ^opはIの反対カテゴリである。これは上記の関数Δと同じではないが、神経カテゴリ ( | N (-) | ) の幾何学的実現を点空間に置き換えると、元の関数Δ ₀が復元されるという性質を共有している。

例

ホモトピープルバック（またはホモトピーファイバー積）は、ホモトピープッシュアウトの双対概念である。これは、ホモトピーに至るまでプルバックの普遍性を満たす。^[要出典]具体的には、およびが与えられた場合、次のように構築できる。 ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$

${\displaystyle X\times _{Z}^{h}Y:=X\times _{Z}Z^{I}\times _{Z}Y=\{(x,\gamma ,y)|f(x)=\gamma (0),g(y)=\gamma (1)\}.}$^[5]

例えば、点y上の のホモトピーファイバーはに沿ったのホモトピープルバックです。^[5]恒等式に沿ったのホモトピープルバックはのマッピングパス空間に他なりません。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

ホモトピープルバックの普遍性は、極限からホモトピー極限への自然写像の特別な場合である自然写像 を与える。ホモトピーファイバーの場合、この写像はファイバーをホモトピーファイバーに包含するものである。 ${\displaystyle X\times _{Z}Y\to X\times _{Z}^{h}Y}$

単体置換による余極限の構築

小さなカテゴリと図が与えられれば、図の単体的置換を用いてホモトピー余極限を構成することができる。これは図^{[1] pg 16-17で与えられる単体的空間である。} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle D:I\to {\textbf {Top}}}$ ${\displaystyle {\text{srep}}(D)_{\bullet }}$

どこ

${\displaystyle {\text{srep}}(D)_{n}={\underset {i_{0}\leftarrow i_{1}\leftarrow \cdots \leftarrow i_{n}}{\coprod }}D(i_{n})}$

は添字圏における合成可能写像の連鎖によって与えられる。すると、 のホモトピー余極限は、この単体空間の幾何学的実現として構成することができるので、 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\underset {\to }{\text{hocolim}}}D=|{\text{srep}}(D)_{\bullet }|}$

これは、 の組成図として上記に示した図と一致することに注意してください。 ${\displaystyle A\to X\to Y}$

（通常の）余極限と極限との関係

地図は常に存在する

${\displaystyle \mathrm {hocolim} X_{i}\to \mathrm {colim} X_{i}.}$

通常、この写像は弱同値ではありません。例えば、上で述べたホモトピー押し出しは常に通常の押し出しに写像されます。この写像は通常、弱同値ではありません。例えば、結合は点である の押し出しと弱同値ではありません。 ${\displaystyle X_{0}\leftarrow X_{0}\times X_{1}\rightarrow X_{1}}$

その他の例と応用

リングを完成させるために limit が使用されるのと同様に、スペクトルを完成させるために holim が使用されます。

参照

• デリバティブ
• ホモトピーファイバー
• ホモトピーコファイバー
• カテゴリーのコホモロジー
• ホモトピー余極限のスペクトル列

参考文献

1. Dugger, Daniel. 「ホモトピー余極限の入門書」（PDF） 。 2020年12月3日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。
2. Grothendieck. 「Pursuing Stacks」. thescrivener.github.io . 2020年7月30日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。 2020年9月17日閲覧。
3. ハッチャーの代数的位相幾何学、4.G.
4. Bousfield & Kan:ホモトピー限界、補完と局所化、Springer、LNM 304。セクションXI.3.3
5. 数学 527 - ホモトピー理論 ホモトピープルバック

• ホモトピー余極限入門
• 小さなカテゴリのカテゴリにおけるホモトピー極限
• カテゴリーとオービスペース
• ハッチャー、アレン（2002年）、代数的位相幾何学、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79540-0。

さらに読む

• 安定モデルカテゴリにおけるホモトピー極限-余極限図
• pg.80 ホモトピー余極限と極限

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