双曲線

Plane curve: conic section

フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』より

この記事は幾何学曲線についてです。修辞学で使用される用語については、双曲線を参照してください。

数学において、双曲線は平面上に存在する滑らかな 曲線の一種であり、幾何学的特性、またはそれが解の集合となる方程式によって定義されます。双曲線には、連結成分または枝と呼ばれる 2 つの部分があり、これらは互いに鏡像関係にあり、2 つの無限の弓形に似ています。双曲線は、平面と二重円錐の交差によって形成される3 種類の円錐断面の 1 つです(他の円錐断面には、放物線と楕円があります。円は楕円の特殊なケースです)。平面が二重円錐の両方の半分と交差し、円錐の頂点を通らない場合、その円錐は双曲線です。

双曲線は円錐曲線であるほか、 2 つの固定焦点までの距離の差が一定である点の軌跡、各点の 2 つの固定焦点への光線がその点での接線を横切る反射となる曲線、または逆数関係^[1]などの特定の 2 変数二次方程式の解として発生することもあります。実際の応用では、双曲線は、日時計の日時計の針の先端の影がたどる経路、最も近い重力体の脱出速度を超える天体などの開いた軌道の形状、または素粒子の散乱軌道、などとして発生することがあります。 ${\displaystyle xy=1.}$

双曲線の各枝には2本の腕があり、双曲線の中心から離れるにつれて、より直線的（曲率が低い）になります。各枝から1本ずつ対角線上に伸びる腕は、極限において共通線に向かいます。この共通線は、2本の腕の漸近線と呼ばれます。したがって、2本の漸近線が存在し、その交点は双曲線の対称中心にあります。対称中心は、各枝が互いに反射して他の枝を形成する鏡像点と考えることができます。曲線の場合、漸近線は2つの座標軸です。^[1] ${\displaystyle y(x)=1/x}$

双曲線は、離心率、焦点、準線など、楕円の多くの解析的性質を共有しています。通常、これらの対応は、ある項の符号を変更するだけで行うことができます。双曲放物面（鞍面）、双曲面（「ゴミ箱」）、双曲幾何学（ロバチェフスキーの有名な非ユークリッド幾何学）、双曲関数（sinh、cosh、tanhなど） 、ジャイロベクトル空間（相対論と量子力学の両方で使用するために提案されたユークリッドではない幾何学）など、他の多くの数学的対象は双曲線に由来しています。

語源と歴史

「hyperbola（双曲線）」という言葉は、ギリシャ語の ὑπερβολή（「投げ捨てられた」または「過剰な」という意味）に由来し、英語のhyperboleもこの言葉から派生しています双曲線は、メナイクモスが立方体の倍数問題の研究の中で発見しましたが、当時は鈍角円錐の断面と呼ばれていました。^[2]双曲線という用語は、ペルガのアポロニウス（紀元前 262 年頃 - 紀元前 190年頃）が円錐曲線に関する決定的な著作『円錐曲線論』の中で造語したと考えられています。^{[3]他の2つの一般的な円錐曲線、}楕円と放物線の名称は、それぞれ「不足している」と「適用された」を意味するギリシャ語に由来しています。これら3つの名称はすべて、一定面積の長方形の辺と与えられた線分との比較を指していた初期のピタゴラス学派の用語から借用されています。長方形は線分に「適用」される（つまり、長さが等しい）、線分より短い、または線分を超える可能性があります。^[4]

定義

点の軌跡として

双曲線：2つの固定点（焦点）から点までの距離による定義

双曲線：円準線による定義

双曲線は、ユークリッド平面上の点の集合（点の軌跡）として幾何学的に定義できます

双曲線とは、集合内の任意の点について、 2つの固定点（焦点）までの距離の絶対差が一定である点の集合であり、通常は次のように表されます。^[5] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle |PF_{1}|,\,|PF_{2}|}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle 2a,\,a>0}$ $${\displaystyle H=\left\{P:\left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a\right\}.}$$

焦点を結ぶ線分の中点は、双曲線の中心と呼ばれます。 ^[6]焦点を通る線は長軸と呼ばれます。長軸には、中心までの距離を持つ頂点が含まれます。焦点から中心までの距離は、焦点距離または線離心率と呼ばれます。商が離心率です ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\tfrac {c}{a}}}$ ${\displaystyle e}$

この方程式は別の見方もできます（図を参照）。円が中点で半径がである円である場合、円の右枝の点から焦点までの距離は、双曲線 の円準線（焦点に関連）と呼ばれます。^{[7] [8]}双曲線の左枝を得るには、円準線を（焦点に関連）使用する必要があります。この性質は、以下の準線（直線）を用いた双曲線の定義と混同しないでください。 ${\displaystyle \left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a}$
${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ $${\displaystyle |PF_{1}|=|Pc_{2}|.}$$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

方程式を持つ双曲線y = A / x

直角双曲線を関数のグラフとして記述するために座標系を回転させる

座標軸を漸近線とする3つの直角双曲線赤：A = 1、マゼンタ：A = 4、青：A = 9 ${\displaystyle y=A/x}$

xy座標系を原点を中心に角度だけ回転させ、新しい座標を割り当てると、 となります。（半軸が等しい） 直角双曲線は新しい方程式 を持ちます。を解くと、 ${\displaystyle +45^{\circ }}$ ${\displaystyle \xi ,\eta }$ ${\displaystyle x={\tfrac {\xi +\eta }{\sqrt {2}}},\;y={\tfrac {-\xi +\eta }{\sqrt {2}}}}$
${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-y^{2}}{a^{2}}}=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {2\xi \eta }{a^{2}}}=1}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta ={\tfrac {a^{2}/2}{\xi }}\ .}$

したがって、xy座標系では、方程式 を持つ関数のグラフは、第1象限と第3象限に完全に存在する直角双曲線であり、 ${\displaystyle f:x\mapsto {\tfrac {A}{x}},\;A>0\;,}$ $${\displaystyle y={\frac {A}{x}}\;,A>0\;,}$$

• 座標軸を漸近線として、
• 直線を長軸として ${\displaystyle y=x}$
• 中心と半軸 ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• 頂点 ${\displaystyle \left({\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left(-{\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;,}$
• 半直角と頂点における曲率半径 ${\displaystyle p=a={\sqrt {2A}}\;,}$
• 直線偏心 と偏心 ${\displaystyle c=2{\sqrt {A}}}$ ${\displaystyle e={\sqrt {2}}\;,}$
• 点における接線 ${\displaystyle y=-{\tfrac {A}{x_{0}^{2}}}x+2{\tfrac {A}{x_{0}}}}$ ${\displaystyle (x_{0},A/x_{0})\;.}$

元の双曲線を 回転させると、第2象限と第4象限に完全に存在する直角双曲線になり、回転の場合と同じ漸近線、中心、半直角、頂点における曲率半径、直線偏心、偏心を持ちます。式は ${\displaystyle -45^{\circ }}$ ${\displaystyle +45^{\circ }}$ $${\displaystyle y=-{\frac {A}{x}}\;,~~A>0\;,}$$

• 半軸 ${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• 直線を長軸として ${\displaystyle y=-x}$
• 頂点 ${\displaystyle \left(-{\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left({\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;.}$

双曲線を式で移動し、新しい中心を とすると、新しい式が得られ、新しい漸近線はと になります。形状パラメータは変更されません。 ${\displaystyle y={\frac {A}{x}},\ A\neq 0\ ,}$ ${\displaystyle (c_{0},d_{0})}$ $${\displaystyle y={\frac {A}{x-c_{0}}}+d_{0}\;,}$$ ${\displaystyle x=c_{0}}$ ${\displaystyle y=d_{0}}$ ${\displaystyle a,b,p,c,e}$

準線の性質により

双曲線：準線の性質

双曲線：準線の性質による定義

中心から の距離にあり、短軸に平行な2本の直線は、双曲線の準線と呼ばれます（図を参照）。 ${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}}$

双曲線の任意の点について、一方の焦点と対応する準線（図を参照）までの距離の商は離心率に等しい。このペアの証明は、とが方程式を満たすという事実から導かれる。2番目のケースも同様に証明される。 ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle {\frac {|PF_{1}|}{|Pl_{1}|}}={\frac {|PF_{2}|}{|Pl_{2}|}}=e={\frac {c}{a}}\,.}$$ ${\displaystyle F_{1},l_{1}}$ ${\displaystyle |PF_{1}|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ |Pl_{1}|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}$ $${\displaystyle |PF_{1}|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}|Pl_{1}|^{2}=0\ .}$$

共通の頂点と共通の半直方体を持つ円錐曲線の束

逆の命題も真であり、双曲線を定義するために使用できる（放物線の定義と同様の方法で）。

任意の点（焦点）、を通らない任意の直線（準線） 、および点の集合（点の軌跡）を持つ任意の実数について、その点と直線までの距離の商が双曲線である。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e>1}$ ${\displaystyle e}$ $${\displaystyle H=\left\{P\,{\Biggr |}\,{\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right\}}$$

（選択すると放物線になり、楕円の場合はとなる。） ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e<1}$

証明

とし、が曲線上の点であると仮定する。準線は方程式 を持つ。 とすると、関係は方程式 を生成する。 ${\displaystyle F=(f,0),\ e>0}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}$ ${\displaystyle P=(x,y)}$ ${\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\tfrac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}$と ${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

置換により、 これは楕円（）、放物線（）、双曲線（ ）の方程式です。これらの非退化円錐曲線はすべて、原点を頂点とするという共通点を持っています（図を参照）。 ${\displaystyle p=f(1+e)}$ $${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2px-y^{2}=0.}$$ ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e>1}$

の場合、新しいパラメータを導入して とすると、上の方程式は となり、これは 中心、x軸を長軸 、長短半軸 を持つ双曲線の方程式となります。 ${\displaystyle e>1}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle e^{2}-1={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$ $${\displaystyle {\frac {(x+a)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}$$ ${\displaystyle (-a,0)}$ ${\displaystyle a,b}$

双曲線：準線の作成

準線の作成

準線（図を参照）と焦点は円に関して逆であるため、円（図の緑色）での反転は逆になります。したがって、点はタレスの定理（図には示されていません）を使用して作成できます。準線は、点 を通る直線への垂線です。 ${\displaystyle c\cdot {\tfrac {a^{2}}{c}}=a^{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle {\overline {F_{1}F_{2}}}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

の別の作成方法 ${\displaystyle E_{1}}$：計算により、その点は漸近線とその垂線との交点であることが示されます（図を参照）。 ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

円錐の平面切断面として

双曲線（赤）：円錐と2つのダンデリン球d ₁、d _{2 の2つの図}

直立二重円錐と、頂点を通らず、円錐上の直線の傾きよりも大きい傾きを持つ平面との交点は双曲線です（図：赤い曲線を参照）。双曲線の定義特性（上記参照）を証明するために、2つのダンデリン球 （円 に沿って円錐に接する球）と、点 およびで交差する（双曲線の）平面を使用します。つまり、は双曲線の焦点です。 ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$

1. 交差曲線の任意の点を とします。 ${\displaystyle P}$
2. を含む円錐の母線は、点で円と点 で円と交差します。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle B}$
3. 線分と は球に接しているため、長さが等しくなります ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ ${\displaystyle d_{1}}$
4. 線分と は球に接しているため、長さが等しくなります ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {PB}}}$ ${\displaystyle d_{2}}$
5. 結果は、双曲線の点とは無関係です。なぜなら、点がどこにあっても、円、、上にあり、線分は頂点を横切らなければならないからです。したがって、点が赤い曲線（双曲線）に沿って移動すると、線分は長さを変えずに頂点を中心に回転するだけです。 ${\displaystyle |PF_{1}|-|PF_{2}|=|PA|-|PB|=|AB|}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$

ピンと紐の作図

双曲線：ピンと紐の作図

焦点と円準線による双曲線の定義（上記参照）は、ピン、ひも、定規を使って双曲線の円弧を描く際に使用できます。^[9]

0. 焦点 と円準線を1つ選択します。例えば、（半径 の円） ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$
1. 定規は点 に固定され、自由に回転します。点は距離 にマークされています。 ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 2a}$
2. 糸の一端が定規上の点 に固定され、その長さは とされます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |AB|}$
3. 糸の自由端は点 に固定されています。 ${\displaystyle F_{1}}$
4. ペンを取り、糸を定規の端にしっかりと固定します。
5. 定規を回転させると、ペンは双曲線の右枝の弧を描きます。これは によるものです（円準線による双曲線の定義を参照）。 ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle |PF_{1}|=|PB|}$

双曲線のシュタイナー生成

双曲線：シュタイナー生成

双曲線y = 1/ x：シュタイナー生成

双曲線の単点を構築する以下の方法は、非退化円錐曲線のシュタイナー生成に基づいています。

2点における2本の線束（それぞれ と を含むすべての線分）と から への射影写像（透視写像ではない）が与えられた場合 、対応する線分の交点は非退化射影円錐曲線を形成します ${\displaystyle B(U),B(V)}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B(U)}$ ${\displaystyle B(V)}$

双曲線の点を生成するには、頂点における線分を使います。双曲線の点を 、 とします。線分はn個の等間隔の線分に分割され、この分割は線分に対角線を方向として平行に投影されます（図を参照）。平行投影は、必要な線分とにおける線分間の射影写像の一部です。任意の2つの関連する線分と の交点は、一意に定義された双曲線の点です。 ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle A=(a,y_{0}),B=(x_{0},0)}$ ${\displaystyle {\overline {BP}}}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle {\overline {AP}}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}A_{i}}$ ${\displaystyle S_{2}B_{i}}$

備考：

• より多くの点を得るために、分割を点と を超えて拡張することもできますが、交点の決定はより不正確になります。より良いアイデアは、対称性によってすでに構築されている点を拡張することです（アニメーションを参照）。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• シュタイナー生成法は、楕円と放物線にも存在します。
• シュタイナー生成法は、長方形ではなく平行四辺形から始まる頂点ではなく他の点を使用できるため、平行四辺形法と呼ばれることもあります

双曲線の円周角y = a /( x − b ) + cおよび3点形式

双曲線：円周角定理

方程式を持つ双曲線は、x座標とy座標が異なる3点によって一意に決定されます。形状パラメータを決定する簡単な方法は、双曲線の円周角定理を用いることです。 ${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c,\ a\neq 0}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;(x_{2},y_{2}),\;(x_{3},y_{3})}$ ${\displaystyle a,b,c}$

この文脈において、方程式を持つ2直線間の角度を測定するには、商を用います。 ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}\ ,m_{1},m_{2}\neq 0}$ $${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}\ .}$$

円の円周角定理と同様に、次の式が得られます。

双曲線の円周角定理^{[10] [11]} — 4点（図を参照）について、次の命題が成り立ちます。 ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,4,\ x_{i}\neq x_{k},y_{i}\neq y_{k},i\neq k}$

4点が方程式を持つ双曲線上にある場合、かつその場合のみ、 とにおける角度が上記の測定の意味で等しい。つまり、 ${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$ $${\displaystyle {\frac {(y_{4}-y_{1})}{(x_{4}-x_{1})}}{\frac {(x_{4}-x_{2})}{(y_{4}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}}$$

証明は簡単な計算で導き出すことができます。点が双曲線上にある場合、双曲線の方程式は であると仮定できます。 ${\displaystyle y=a/x}$

双曲線の円周角定理の帰結は、

双曲線方程式の3点形式— 3点によって決定される双曲線方程式は、の方程式の解です。 ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,\ x_{i}\neq x_{k},y_{i}\neq y_{k},i\neq k}$ $${\displaystyle {\frac {({\color {red}y}-y_{1})}{({\color {green}x}-x_{1})}}{\frac {({\color {green}x}-x_{2})}{({\color {red}y}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}}$$ ${\displaystyle {\color {red}y}}$

単位双曲線のアフィン像としてx ² − y ² = 1

単位双曲線のアフィン像としての双曲線

双曲線の別の定義では、アフィン変換が使用されます。

任意の双曲線は、方程式 を持つ単位双曲線のアフィン像です。 ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$

媒介変数表現

ユークリッド平面のアフィン変換は の形を持ちます。ここで、は正則行列（行列式は0ではない）、は任意のベクトルです。が行列 の列ベクトルである場合、単位双曲線は に写像されます 。 ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\pm \cosh(t),\sinh(t)),t\in \mathbb {R} ,}$

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\ .}$$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$は中心、は双曲線の点、 はこの点における接ベクトルです。 ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$

頂点

一般にベクトルは垂直ではありません。つまり、一般には双曲線の頂点ではありません。しかし、漸近線の方向を向いています。点における接線ベクトルは…です 。頂点において接線は双曲線の長軸に垂直なので、方程式から頂点のパラメータを得ることができ、したがって…が得られます。 ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}\pm {\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$ $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\ .}$$ ${\displaystyle t_{0}}$ $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\right)=0}$$ $${\displaystyle \coth(2t_{0})=-{\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}+{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\ ,}$$

$${\displaystyle t_{0}={\tfrac {1}{4}}\ln {\tfrac {\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}{\left({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}}.}$$

式… 、…が使用されました。 ${\displaystyle \cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=\cosh 2x}$ ${\displaystyle 2\sinh x\cosh x=\sinh 2x}$ ${\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\tfrac {1}{2}}\ln {\tfrac {x+1}{x-1}}}$

双曲線の2つの頂点は…です。 ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm \left({\vec {f}}_{1}\cosh t_{0}+{\vec {f}}_{2}\sinh t_{0}\right).}$

暗黙的表現

クラメールの規則を用いての媒介変数表現を解き、 を用いると、暗黙的な表現が得られる。 ${\displaystyle \cosh t,\sinh t}$ ${\displaystyle \;\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t-1=0\;}$ $${\displaystyle \det \left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}-\det \left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}-\det \left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}=0.}$$

空間における双曲線

このセクションの双曲線の定義は、空間においてベクトルを許容する限り、空間内であっても任意の双曲線の媒介変数表現を与える。 ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

双曲線のアフィン像としてy = 1/ x

y = 1/ xのアフィン像としての双曲線

単位双曲線は双曲線 とアフィン同値であるため、任意の双曲線は双曲線 のアフィン像（前のセクションを参照）と見なすことができる。 ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ ${\displaystyle y=1/x}$ ${\displaystyle y=1/x\,}$

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\quad t\neq 0\,.}$$

${\displaystyle M:{\vec {f}}_{0}}$は双曲線の中心であり、ベクトルは漸近線の方向を持ち、 は双曲線の点である。接線ベクトルは である。頂点では、接線は長軸に垂直である。したがって、であり、頂点の媒介変数は ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}}$ $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}.}$$ $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)={\vec {f}}_{1}^{2}t-{\vec {f}}_{2}^{2}{\tfrac {1}{t^{3}}}=0}$$

$${\displaystyle t_{0}=\pm {\sqrt[{4}]{\frac {{\vec {f}}_{2}^{2}}{{\vec {f}}_{1}^{2}}}}.}$$

${\displaystyle \left|{\vec {f}}\!_{1}\right|=\left|{\vec {f}}\!_{2}\right|}$はであり、は双曲線の頂点である ${\displaystyle t_{0}=\pm 1}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$

双曲線の以下の性質は、このセクションで紹介する双曲線の表現を用いて簡単に証明できます。

接線構成

接線構成：漸近線とPが与えられている → 接線

接線ベクトルは因数分解によって書き直すことができます。これは、 $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\tfrac {1}{t}}\left({\vec {f}}_{1}t-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)\ .}$$

平行四辺形の対角線が双曲線の点における接線と平行であることを意味します（図を参照）。 ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle M:\ {\vec {f}}_{0},\ A={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t,\ B:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\ P:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$ ${\displaystyle P}$

この性質は、双曲線上の点で接線を構成する方法を提供します。

双曲線のこの性質は、パスカルの定理の3点退化のアフィン版です。^[12]

灰色の平行四辺形の面積

上の図の灰色の平行四辺形の面積はであり、したがって点に依存しません。最後の式は、頂点が双曲線の標準形である場合の計算から得られます。 ${\displaystyle MAPB}$ $${\displaystyle {\text{Area}}=\left|\det \left(t{\vec {f}}_{1},{\tfrac {1}{t}}{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\left|\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\cdots ={\frac {ab}{2}}}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,.}$

点構成

点構成：漸近線とP ₁が与えられている → P ₂

媒介変数表現による双曲線（簡潔にするために中心を原点とする）の場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$

任意の2点について、その点は ${\displaystyle P_{1}:\ {\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}},\ P_{2}:\ {\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}}}$

$${\displaystyle A:\ {\vec {a}}={\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}},\ B:\ {\vec {b}}={\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}}}$$

双曲線の中心と一直線である（図を参照）。

簡単な証明は方程式の帰結である。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{t_{1}}}{\vec {a}}={\tfrac {1}{t_{2}}}{\vec {b}}}$

この性質は、漸近線と1点が与えられれば、双曲線の点を構成する可能性を提供する。

双曲線のこの性質は、パスカルの定理の4点退化のアフィン版です。^[13]

接線漸近線三角形

双曲線：接線-漸近線-三角形

簡潔にするために、双曲線の中心を原点とし、ベクトルの長さを等しくすることができます。最後の仮定が満たされない場合は、まずパラメータ変換（上記参照）を適用して仮定を成立させることができます。したがって、頂点は短軸を張り、およびとなります。 ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$ ${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})}$ ${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}|=a}$ ${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}|=b}$

点における接線と漸近線の交点は、点となります 。三角形の面積は2 ×2の行列式で計算できます。 （行列式の規則を参照）。は、によって生成される菱形の面積です。菱形の面積は、その対角線の積の半分に等しいです。対角線は双曲線の半軸です。したがって、 ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{1}t_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{0}}}}$ $${\displaystyle C=2t_{0}{\vec {f}}_{1},\ D={\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}.}$$ ${\displaystyle M,C,D}$ $${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\Big |}\det \left(2t_{0}{\vec {f}}_{1},{\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}=2{\Big |}\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}}$$ ${\displaystyle \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle a,b}$

三角形の面積は双曲線の点に依存しません。 ${\displaystyle MCD}$ ${\displaystyle A=ab.}$

円の往復

円Bを円Cに往復させると、常に双曲線のような円錐曲線が得られます。「円Cにおける往復」のプロセスは、幾何学図形内のすべての直線と点を、それぞれ対応する極と極に置き換えることで構成されます。直線の極は円Cに最も近い点の反転であり、点の極はその逆、つまり円Cに最も近い点がその点の反転である直線です。

往復によって得られる円錐曲線の離心率は、2つの円の中心間の距離と往復円Cの半径rの比です。BとCが対応する円の中心にある点を表す場合、

$${\displaystyle e={\frac {\overline {BC}}{r}}.}$$

離心率は常に1より大きいため、中心Bは往復円Cの外側にある必要があります

この定義は、双曲線が円Bへの接線の極の軌跡であると同時に、円B上の点の極線の包絡線でもあることを意味します。逆に、円Bは双曲線上の点の極の包絡線であると同時に、双曲線の接線の極の軌跡でもあります。円Bへの2本の接線は、往復円Cの中心Cを通るため、（有限の）極を持ちません。円B上の対応する接点の極は、双曲線の漸近線です。双曲線の2つの枝は、これらの接点によって隔てられた 円Bの2つの部分に対応します。

二次方程式

双曲線は、平面上の直交座標における2次方程式としても定義できます。 ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0,}$$

ただし定数とが行列式条件を満たすものとします ${\displaystyle A_{xx},}$ ${\displaystyle A_{xy},}$ ${\displaystyle A_{yy},}$ ${\displaystyle B_{x},}$ ${\displaystyle B_{y},}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle D:={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\\A_{xy}&A_{yy}\end{vmatrix}}<0.}$$

この行列式は、慣習的に円錐曲線の判別式と呼ばれます。 ^[14]

双曲線の特殊なケース、すなわち交差する2本の直線からなる退化双曲線は、別の行列式がゼロの場合に発生します。

$${\displaystyle \Delta :={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{vmatrix}}=0.}$$

この行列式は、円錐曲線の判別式と呼ばれることもあります。^[15] ${\displaystyle \Delta }$

一般的な方程式の係数は、既知の長半径、短半径、中心座標、および回転角（正の水平軸から双曲線の長軸までの角度）から、次の式を使用して求めることができます。 ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle (x_{\circ },y_{\circ })}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{xx}&=-a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta ,&B_{x}&=-A_{xx}x_{\circ }-A_{xy}y_{\circ },\\[1ex]A_{yy}&=-a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta ,&B_{y}&=-A_{xy}x_{\circ }-A_{yy}y_{\circ },\\[1ex]A_{xy}&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\sin \theta \cos \theta ,&C&=A_{xx}x_{\circ }^{2}+2A_{xy}x_{\circ }y_{\circ }+A_{yy}y_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

これらの式は、正準方程式から導出できます。

$${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}-{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$

座標の平行移動と回転によって： ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}X&={\phantom {+}}\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{alignedat}}}$$

上記の直交座標における双曲線の一般的なパラメータ化を考えると、離心率は円錐曲線#係数に関する離心率の式を使用して求めることができます。

双曲線の中心は、次の式から決定できます ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}B_{x}&A_{xy}\\B_{y}&A_{yy}\end{vmatrix}}\,,\\[1ex]y_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}A_{xx}&B_{x}\\A_{xy}&B_{y}\end{vmatrix}}\,.\end{aligned}}}$$

新しい座標を用いて、双曲線の定義方程式は次のように書き表すことができます。 ${\displaystyle \xi =x-x_{c}}$ ${\displaystyle \eta =y-y_{c},}$

$${\displaystyle A_{xx}\xi ^{2}+2A_{xy}\xi \eta +A_{yy}\eta ^{2}+{\frac {\Delta }{D}}=0.}$$

双曲線の主軸は、正の軸と角度をなしており、その角度は次のように 表されます ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \tan(2\varphi )={\frac {2A_{xy}}{A_{xx}-A_{yy}}}.}$$

座標軸を回転させて、-軸を横軸と一致させると、方程式は標準形になります。 ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$$

長半軸と短半軸は、方程式によって定義されます ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}},\\[1ex]b^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{2}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}},\end{aligned}}}$$

ここで、とは二次方程式の根です ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

$${\displaystyle \lambda ^{2}-\left(A_{xx}+A_{yy}\right)\lambda +D=0.}$$

比較のために、退化した双曲線（交差する2本の直線からなる）の対応する方程式は

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.}$$

双曲線上の任意の点への接線は、次の方程式で定義されます。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

$${\displaystyle Ex+Fy+G=0}$$

ここで、 と は、次の方程式で定義されます。 ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=A_{xx}x_{0}+A_{xy}y_{0}+B_{x},\\[1ex]F&=A_{xy}x_{0}+A_{yy}y_{0}+B_{y},\\[1ex]G&=B_{x}x_{0}+B_{y}y_{0}+C.\end{aligned}}}$$

同じ点における双曲線の法線は、次の方程式で与えられます。

$${\displaystyle F(x-x_{0})-E(y-y_{0})=0.}$$

法線は接線に垂直で、どちらも同じ点を通ります。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$

この方程式から

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\qquad 0<b\leq a,}$$

左焦点は、右焦点は、離心率です。ある点から左焦点と右焦点までの距離を、それぞれと と表します。右枝上の点については、 ${\displaystyle (-ae,0)}$ ${\displaystyle (ae,0),}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}.}$

$${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2a,}$$

左枝上の点については、

$${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2a.}$$

これは次のように証明できます。

が双曲線上の点である場合、左焦点までの距離は ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle r_{1}^{2}=(x+ae)^{2}+y^{2}=x^{2}+2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex+a)^{2}.}$$

右焦点までの距離は

$${\displaystyle r_{2}^{2}=(x-ae)^{2}+y^{2}=x^{2}-2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex-a)^{2}.}$$

が双曲線の右枝上の点である場合、 と ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle ex>a}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=ex+a,\\r_{2}&=ex-a.\end{aligned}}}$$

これらの方程式を引き算すると、

$${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2a.}$$

が双曲線の左枝上の点である場合、 と ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle ex<-a}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=-ex-a,\\r_{2}&=-ex+a.\end{aligned}}}$$

これらの方程式を引き算すると、

$${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2a.}$$

直交座標において

方程式

原点が双曲線の中心、x軸が長軸となる直交座標を導入すると、双曲線は東西に開いた双曲線と呼ばれ、

焦点は点^[6]です。 ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\ F_{2}=(-c,0)}$

頂点は^[6]です。 ${\displaystyle V_{1}=(a,0),\ V_{2}=(-a,0)}$

任意の点について、焦点までの距離は、2番目の焦点までの距離はです。したがって、次の条件が満たされる場合、その点は双曲線上にあります。適切な2乗によって平方根を取り除き、関係式を使用して双曲線の方程式を得ます。 ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (c,0)}$ ${\textstyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ $${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=\pm 2a\ .}$$ ${\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$$

この方程式は双曲線の標準形と呼ばれます。なぜなら、直交座標軸に対する向きや中心の位置に関係なく、任意の双曲線を変数変換によってこの形に変換でき、元の双曲線と合同な双曲線を与えるからです（以下を参照）。

対称軸または主軸は、横軸（頂点を端点とする長さ2aの線分を含む）と共役軸（横軸に垂直で、双曲線の中心を中点とする長さ2bの線分を含む）である。 ^[6]楕円とは異なり、双曲線には頂点が2つしかない。共役軸上の2点は双曲線上に はない。 ${\displaystyle (a,0),\;(-a,0)}$ ${\displaystyle (0,b),\;(0,-b)}$

この式から、双曲線は両方の座標軸に対して対称であり、したがって原点に対して対称であることがわかる。

離心率

上記の標準形の双曲線の場合、離心率は次のように与えられる

$${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$$

2つの双曲線は幾何学的に相似です。つまり、同じ形状であるため、同じ離心率を持つ場合にのみ、一方を他方に剛体左右移動、回転、鏡像、拡大縮小によって変形できます。

漸近線

双曲線：半軸a、b、線状離心率c、半短軸p

双曲線：3つの性質

上記の双曲線の方程式を について解くと、 が得られます 。このことから、 の値が大きくなると、双曲線は2つの直線に近づくことがわかります。これらの2つの直線は中心（原点）で交差し、双曲線の漸近線と呼ばれます^[16] ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}.}$$ $${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x}$$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$

2番目の図から、次のことがわかります。

${\displaystyle {\color {blue}{(1)}}}$焦点からいずれかの漸近線までの垂直距離は（短軸）です。 ${\displaystyle b}$

漸近線のヘッセ正規形 と双曲線の方程式から、次の式が得られます。 ^[17] ${\displaystyle {\tfrac {bx\pm ay}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=0}$

${\displaystyle {\color {magenta}{(2)}}}$双曲線上の点から両方の漸近線までの距離の積は定数であり、離心率eを用いて次のように表すこともできます。 ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {b}{e}}\right)^{2}.}$

双曲線の方程式（上記）から、次の式が導かれます。 ${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$

${\displaystyle {\color {green}{(3)}}}$点Pから2つの頂点までの直線の傾きの積は定数です ${\displaystyle b^{2}/a^{2}\ .}$

さらに、上記の式（2）から次の式が得られます。^[17]

${\displaystyle {\color {red}{(4)}}}$ 双曲線上の点から漸近線までの距離と、漸近線に平行な線に沿った距離の積は定数である。 ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}+b^{2}}{4}}.}$

半直腸

双曲線の長軸に垂直な焦点の1つを通る弦の長さは、ラタス直角と呼ばれます。その半分は半ラタス直角 です。計算により、半ラタス直角は頂点における曲率半径と見なすこともできます。 ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}.}$$ ${\displaystyle p}$

接線

ある点における接線方程式を決定する最も簡単な方法は、双曲線の方程式を暗黙的に微分することです。dy /dxをy′と表記すると、次の式が得られます 。に関して、点における接線方程式は次のようになります ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ $${\displaystyle {\frac {2x}{a^{2}}}-{\frac {2yy'}{b^{2}}}=0\ \Rightarrow \ y'={\frac {x}{y}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\ \Rightarrow \ y={\frac {x_{0}}{y_{0}}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(x-x_{0})+y_{0}.}$$ ${\displaystyle {\tfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ $${\displaystyle {\frac {x_{0}}{a^{2}}}x-{\frac {y_{0}}{b^{2}}}y=1.}$$

双曲線は、特定の接線によって他の円錐曲線と区別されます。^[18]頂点V（双曲線上と2つの焦点を通る軸上の両方）から近い方の焦点までの距離をfとします。すると、その軸に垂直な線に沿って、その焦点から双曲線上の点Pまでの距離は2 fより大きくなります。Pにおける双曲線の接線は、点Qでその軸と45°より大きい角度∠PQVで交差します。

直角双曲線

この場合、双曲線は漸近線が直角に交差するため、直角（または正三角形）と呼ばれます。この場合、線離心率は、離心率と半直角はです。方程式のグラフは直角双曲線です。 ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle c={\sqrt {2}}a}$ ${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p=a}$ ${\displaystyle y=1/x}$

双曲線正弦／双曲線余弦による媒介変数表現

双曲線正弦関数と双曲線余弦関数 を用いると、双曲線の媒介変数表現が得られます。これは楕円の媒介変数表現に似ており、これは直交座標系方程式を満たします。なぜなら ${\displaystyle \cosh ,\sinh }$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ $${\displaystyle (\pm a\cosh t,b\sinh t),\,t\in \mathbb {R} \ ,}$$ ${\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1.}$

さらに媒介変数表現については、以下の「媒介変数方程式」のセクションで説明します。

ここで、 a = b = 1であり、青色で単位双曲線、緑色でその共役双曲線が示され、同じ赤色の漸近線を共有しています。

共役双曲線

双曲線の右側の符号を変更すると、共役双曲線の方程式が得られます。 ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1}$または同等です ${\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1}$

双曲線とその共役曲線は、共役な直径を持つ場合があります。特殊相対性理論では、そのような直径は時間と空間の軸を表す場合があり、一方の双曲線は中心から与えられた空間距離にある事象を表し、もう一方の双曲線は中心から対応する時間距離にある事象を表します。

${\displaystyle xy=c^{2}}$また、共役双曲線も指定します。 ${\displaystyle xy=-c^{2}}$

極座標

双曲線：極 = 焦点の極座標

双曲線：極 = 中心の極座標

を使用した双曲線のアニメーションプロット ${\displaystyle r={\frac {p}{1-e\cos \theta }}}$

焦点に原点

双曲線に最も一般的に使用される極座標は、最初の図に示すように、焦点に原点があり、x軸が「標準座標系」の原点を指す直交座標系を基準として定義されます。

この場合、角度は真近点角と呼ばれます。 ${\displaystyle \varphi }$

この座標系に対して、

$${\displaystyle r={\frac {p}{1\mp e\cos \varphi }},\quad p={\frac {b^{2}}{a}}}$$

および

$${\displaystyle -\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right).}$$

中心に原点がある

「標準座標系」（2番目の図を参照）を基準とした極座標では、次の式が成り立ちます。

$${\displaystyle r={\frac {b}{\sqrt {e^{2}\cos ^{2}\varphi -1}}}.\,}$$

双曲線の右枝の場合、 の範囲は ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle -\arccos \left({\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left({\frac {1}{e}}\right).}$$

離心率

極座標を使用する場合、双曲線の離心率は のように表すことができます。ここで、 は角座標の極限です。 がこの極限に近づくと、r は無限大に近づき、上記のいずれかの方程式の分母はゼロに近づきます。したがって、^{[19] : 219} ${\displaystyle \sec \varphi _{\text{max}}}$ ${\displaystyle \varphi _{\text{max}}}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle e^{2}\cos ^{2}\varphi _{\text{max}}-1=0}$$

$${\displaystyle 1\pm e\cos \varphi _{\text{max}}=0}$$

$${\displaystyle \implies e=\sec \varphi _{\text{max}}}$$

媒介変数方程式

方程式を持つ双曲線は、いくつかの媒介変数方程式で記述できます。 ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

1. 双曲三角関数を通して $${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a\cosh t,\\y=b\sinh t,\end{cases}}\qquad t\in \mathbb {R} .}$$
2. 有理表現として $${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a{\dfrac {t^{2}+1}{2t}},\\[1ex]y=b{\dfrac {t^{2}-1}{2t}},\end{cases}}\qquad t>0}$$
3. 円三角関数を通して $${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {a}{\cos t}}=a\sec t,\\y=\pm b\tan t,\end{cases}}\qquad 0\leq t<2\pi ,\ t\neq {\frac {\pi }{2}},\ t\neq {\frac {3}{2}}\pi .}$$
4. 接線傾きをパラメータとして：
   双曲線の点における接線の傾きを用いた媒介変数表現は、楕円の場合と同様に得ることができます。楕円の場合にをに置き換え、双曲線関数の公式を使用します。結果は となります。ここで、は双曲線の上半分、 は下半分です。垂直接線（頂点 ）を持つ点は、この表現ではカバーされていません。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle -b^{2}}$ $${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}}},{\frac {-b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}}}\right),\quad |m|>b/a.}$$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{-}}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{+}}$ ${\displaystyle (\pm a,0)}$
   点 における接線の方程式はです。双曲線の接線のこの記述は、双曲線の正射影を決定するための重要なツールです。 ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$ $${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}.}$$

双曲線関数

単位双曲線の 点を通る直線で、直線、双曲線、-軸の間の面積の2倍です。-軸より下の双曲線上の点では、面積は負とみなされます。 ${\displaystyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}$ ${\displaystyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

三角関数が単位円で定義されるのと同様に、双曲線関数もこの図に示すように単位双曲線で定義されます。単位円では、角度（ラジアン単位）は、その角度が張る円扇形の面積の2倍に等しくなります。同様の双曲線角も同様に、双曲扇形の面積の2倍として定義されます

を軸と、原点を通り単位双曲線と交差する直線との間の面積の2倍とし、を交点の座標として定義します。すると、双曲扇形の面積は、三角形の面積から頂点を越えた​​曲線領域を差し引いたものになります。これは、双曲余弦の面積に簡約されます。を解くと、双曲余弦の指数関数形が得られます。から、その逆関数である双曲正弦の面積が得られます。他の双曲線関数は、双曲余弦と双曲正弦に従って定義されます。例えば、 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle (x,y)=(\cosh a,\sinh a)=(x,{\sqrt {x^{2}-1}})}$ ${\displaystyle (1,0)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{2}}&={\frac {xy}{2}}-\int _{1}^{x}{\sqrt {t^{2}-1}}\,dt\\[1ex]&={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-1}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-1}}-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle a=\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right).}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle x=\cosh a={\frac {e^{a}+e^{-a}}{2}}.}$$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ $${\displaystyle y=\sinh a={\sqrt {\cosh ^{2}a-1}}={\frac {e^{a}-e^{-a}}{2}},}$$ $${\displaystyle a=\operatorname {arsinh} y=\ln \left(y+{\sqrt {y^{2}+1}}\right).}$$ $${\displaystyle \operatorname {tanh} a={\frac {\sinh a}{\cosh a}}={\frac {e^{2a}-1}{e^{2a}+1}}.}$$

特性

反射特性

双曲線：接線は焦点を通る直線を二等分します。

ある点における接線は、直線間の角度を二等分します。これは双曲線の光学特性または反射特性と呼ばれます。 ^[20] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}.}$

証明

を焦点までの距離を持つ直線上の点とします（図を参照、は双曲線の長半径です）。直線は直線間の角度の二等分線です。が点 における接線であることを証明するために、と異なる直線上の点は双曲線上にはあり得ないことを確認します。したがって、 は双曲線と共通する点は 点 のみであり、したがって は点 における接線です。図と三角不等式から、が成り立つことがわかります。これは次のことを意味します。しかし、が双曲線の点である場合、差は となるはずです ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$
${\displaystyle |QF_{2}|<|LF_{2}|+|QL|=2a+|QF_{1}|}$ ${\displaystyle |QF_{2}|-|QF_{1}|<2a}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle 2a}$

平行弦の中点

双曲線：平行弦の中点は一直線上にあります。

双曲線：弦の中点は、漸近線の対応する弦の中点です

双曲線の平行弦の中点は、中心を通る直線上にあります（図を参照）。

任意の弦の点は、双曲線の異なる枝上に位置する場合があります。

中点に関する性質の証明は、双曲線について行うのが最適です。任意の双曲線は双曲線のアフィン像であり（下のセクションを参照）、アフィン変換は線分の平行性と中点を保存するため、この性質はすべての双曲線に当てはまります。双曲線の2点について ${\displaystyle y=1/x}$ ${\displaystyle y=1/x}$
${\displaystyle P=\left(x_{1},{\tfrac {1}{x_{1}}}\right),\ Q=\left(x_{2},{\tfrac {1}{x_{2}}}\right)}$ ${\displaystyle y=1/x}$

弦の中点は ${\displaystyle M=\left({\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}},\cdots \right)=\cdots ={\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}}\;\left(1,{\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\right)\ ;}$

弦の傾きは ${\displaystyle {\frac {{\tfrac {1}{x_{2}}}-{\tfrac {1}{x_{1}}}}{x_{2}-x_{1}}}=\cdots =-{\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\ .}$

平行弦の場合、傾きは一定であり、平行弦の中点は直線上にあります ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\;x\ .}$

結果：弦の任意の点のペアに対して、双曲線の中心を通る軸（固定点の集合）を持つ斜め反射が存在し、これは点を交換し、双曲線全体を固定します。斜め反射は、直線を横切る通常の反射の一般化であり、すべての点像のペアはに垂直な直線上にあります。 ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

斜め反射は双曲線を固定するため、漸近線のペアも固定されます。したがって、弦の中点は、漸近線間の関連する線分も半分に分割します。これは、 を意味します。この性質は、点と漸近線が与えられている 場合、双曲線のさらなる点の構築に使用できます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle PQ}$ ${\displaystyle {\overline {P}}\,{\overline {Q}}}$ ${\displaystyle |P{\overline {P}}|=|Q{\overline {Q}}|}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

弦が接線に退化する場合、接点は漸近線間の線分を2つに分割します。

直交接線 - 直交

双曲線とその直交座標（マゼンタ）

双曲線において、直交接線の交点は円上に存在します。この円は、与えられた双曲線の直交座標と呼ばれます。 ${\textstyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\,a>b}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}}$

接線は、双曲線の異なる枝上の点に属する場合があります。

の場合、直交接線のペアはありません。 ${\displaystyle a\leq b}$

双曲線の極-極関係

双曲線：極-極関係

任意の双曲線は、適切な座標系で方程式で記述できます。双曲線の点における接線の方程式は、点を原点とは異なる任意の点とすると、次のようになります ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle {\tfrac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}y}{b^{2}}}=1.}$ ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$

点は双曲線の中心を通るのではなく、直線上に写像されます。 ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})\neq (0,0)}$ ${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$

点と直線の間のこの関係は一対一です。

逆関数は

直線を点に、そして ${\displaystyle y=mx+d,\ d\neq 0}$ ${\displaystyle \left(-{\frac {ma^{2}}{d}},-{\frac {b^{2}}{d}}\right)}$

直線を点に ${\displaystyle x=c,\ c\neq 0}$ ${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{c}},0\right)\ .}$

円錐曲線によって生成される点と直線の間のこのような関係は、極-極関係、または単に極性と呼ばれます。極は点、極は直線です。「極と極」を参照してください。

計算により、双曲線の極-極関係の以下の性質を確認します

• 双曲線上の点（極）の場合、極点はこの点における接線です（図を参照）。 ${\displaystyle P_{1},\ p_{1}}$
• 双曲線の外側の極の場合、その極点と双曲線の交点は、2つの接線が通る接点です（図を参照）。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{2},\ p_{2},\ P_{3},\ p_{3}}$
• 双曲線内の点については、極線は双曲線と共通の点を持ちません。（図： を参照）。 ${\displaystyle P_{4},\ p_{4}}$

備考：

1. 2つの極線（例： ）の交点は、それらの極を通る直線の極（ここでは）です。 ${\displaystyle p_{2},p_{3}}$ ${\displaystyle P_{2},P_{3}}$
2. 焦点と 、および準線と はそれぞれ極と極のペアに属します。 ${\displaystyle (c,0),}$ ${\displaystyle (-c,0)}$ ${\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{c}}}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {a^{2}}{c}}}$

極-極関係は、楕円と放物線にも存在します。

その他の性質

• 以下の性質は共存します。(1) 双曲線の焦点を通り、双曲線の中心を中心とする円。(2) 頂点で双曲線に接する直線のいずれか。(3) 双曲線の漸近線のいずれか。^{[21] [22]}
• 以下のものも共存します。(1) 双曲線の中心を中心とし、双曲線の頂点を通る円、(2) 準線のいずれか、および(3) 漸近線のいずれか。^[22]
• 横軸と共役軸の両方が対称軸であるため、双曲線の対称群はクラインの4群です。
• 長方形双曲線xy =定数は、双曲線を不変集合とするスクイーズ写像による群作用を許容します。
• 長方形双曲線の中心は、その上で直交中心系を形成しない任意の4点のポンスレ点です。

弧長

双曲線の弧長には基本式はありません。双曲線の上半分は次のようにパラメータ化できます。

$${\displaystyle y=b{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}.}$$

次に、からまでの弧長を与える積分は次のように計算できます。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

$${\displaystyle s=b\int _{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {1+\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\sinh ^{2}v}}\,\mathrm {d} v.}$$

置換を使用した後、これはパラメータを持つ第二種不完全楕円積分を使用して表すこともできます ${\displaystyle z=iv}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m=k^{2}}$

$${\displaystyle s=ib{\Biggr [}E\left(iv\,{\Biggr |}\,1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right){\Biggr ]}_{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}.}$$

実数のみを用いると、これは^{[23]となる。}

$${\displaystyle s=b\left[F\left(\operatorname {gd} v\,{\Biggr |}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)-E\left(\operatorname {gd} v\,{\Biggr |}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)+{\sqrt {1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\tanh ^{2}v}}\,\sinh v\right]_{\operatorname {arcosh} {\tfrac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\tfrac {x_{2}}{a}}}}$$

ここで、はパラメータを持つ第一種不完全楕円積分であり、はグーデルマン関数です。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle m=k^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {gd} v=\arctan \sinh v}$

導関数

極座標における正弦螺旋（r ⁿ = −1 ⁿ cos( nθ ), θ = π /2）と、それと直交座標における等価曲線：

  n = −2：正双曲線

  n = −1：直線

  n = −1/2：放物線

  n = 1/2：カーディオイド

  n = 1：円

  n = 2：ベルヌーイのレムニスケート

双曲線から反転によっていくつかの曲線を導くことができ、いわゆる双曲線の逆曲線と呼ばれます。反転の中心を双曲線自身の中心とした場合、逆曲線はベルヌーイのレムニスケートです。レムニスケートは、直角双曲線を中心とし、原点を通る円の包絡線でもあります。反転の中心を双曲線の焦点または頂点とした場合、結果として得られる逆曲線はそれぞれリマソンまたはストロフォイドです。

楕円座標

共焦点双曲線の族は、2次元の楕円座標系の基礎です。これらの双曲線は、次の式で記述されます

$${\displaystyle \left({\frac {x}{c\cos \theta }}\right)^{2}-\left({\frac {y}{c\sin \theta }}\right)^{2}=1}$$

ここで、焦点はx軸上の原点からcの距離に位置し、θは漸近線とx軸のなす角です。この族のすべての双曲線は、同じ焦点を共有するすべての楕円と直交します。この直交性は、直交座標系w = z + 1/ zの等角写像によって示されます。ここで、z = x + iyは元の直交座標、w = u + ivは変換後の座標です

双曲線を含む他の直交二次元座標系は、他の等角写像によって得られる場合があります。例えば、w = z ²の写像は、直交座標系を2つの直交双曲線族に変換します。

円の双曲線的外観の円錐曲線解析

球面への円の中心投影：投影の中心Oは球面の内側にあり、像面は赤色です。
円の像としては、円（マゼンタ）、楕円、双曲線、直線が得られます。放物線の特殊なケースはこの例では現れていません。
（中心Oが球面上にある場合、円の像はすべて円または直線になります。立体投影を参照してください。）

円錐曲線は、円、楕円、放物線、双曲線の統一的な記述を提供することに加えて、観察されるシーンが円、またはより一般的には楕円で構成されている場合の遠近法の幾何学の自然なモデルとしても理解できます。観察者は通常、カメラまたは人間の目であり、シーンの像は像面への中心投影です。つまり、すべての投影光線は中心である固定点Oを通過します。レンズ面は、レンズOで像面と平行な平面です。

円cの像は

1. 円cが特別な位置、例えば像面と平行な場合など（ステレオ投影を参照）、円
2. 楕円、 cがレンズ面と共通の点を持たない場合
3. 放物線、cがレンズ面と共通の点を1つ持ち、
4. 双曲線、 cがレンズ面と共通の点を2つ持つ場合

（円平面が点Oを含む特別な位置は省略されています。）

これらの結果は、投影プロセスが2つのステップで見られることを認識すれば理解できます。1) 円cと点Oは円錐を生成し、2) 像面によって切断されて像が生成されます。

レンズ面によって切断された円の一部を目にするときはいつでも、双曲線が見えます。目に見える枝の腕をほとんど見ることができないことと、2番目の枝が完全に存在しないことが相まって、人間の視覚系が双曲線との関連を認識することは事実上不可能です。

応用

日時計の赤緯線としての双曲線

水平超音速航空機の衝撃波が平地（黄色）に接触する領域は、地面が円錐の軸と平行に交差するため、双曲線の一部となります

日時計

多くの日時計には双曲線が見られます。どの日でも、太陽は天球上を円を描いて回転し、日時計上の点に当たる光線は光の円錐を描きます。この円錐と地面の水平面の交点は円錐曲線を形成します。人口の多い緯度では、また一年を通してほとんどの時期において、この円錐曲線は双曲線です。実際には、棒の先端の影は一日を通して地面に双曲線を描きます（この軌跡は赤緯線と呼ばれます）。この双曲線の形状は地理的な緯度と一年の時期によって変化します。これらの要因は地平線に対する太陽光線の円錐に影響を与えるからです。特定の場所における一年間のこのような双曲線の集合は、両刃の斧に似ていることから、ギリシャ人によってペレキノンと呼ばれていました。

マルチラテレーション

双曲線は、マルチラテレーション問題、つまり与えられた点までの距離の差、あるいはそれと同等に、ある点と与えられた点との間の同期信号の到着時間の差から点の位置を特定する作業を解くための基礎です。このような問題は、特に水上での航行において重要です。船舶は、LORANまたはGPS送信機からの信号の到着時間の差から位置を特定できます。逆に、ホーミングビーコンまたは任意の送信機は、2つの別々の受信局への信号の到着時間を比較することで位置を特定できます。このような技術は、物体や人を追跡するために使用できます。特に、与えられた2点からの距離差が2aである点の可能な位置の集合は、与えられた2点を焦点とする頂点間隔2aの双曲線です。

粒子がたどる経路

古典的なケプラー問題において、任意の粒子がたどる経路は円錐曲線です。特に、粒子の全エネルギーEがゼロより大きい場合（つまり、粒子が束縛されていない場合）、そのような粒子の経路は双曲線になります。この性質は、高エネルギー粒子の散乱によって原子および亜原子レベルの力を研究するのに役立ちます。例えば、ラザフォードの実験は、金原子によるアルファ粒子の散乱を調べることで原子核の存在を実証しました。短距離の原子核相互作用を無視すると、原子核とアルファ粒子はクーロン反発力によってのみ相互作用し、これはケプラー問題の逆二乗則の要件を満たします。 ^[24]

コルテヴェーク・ド・フリース方程式

双曲型三角関数は、ソリトン波の運河内での運動を記述するコルテヴェク・ド・フリース方程式の解の1つとして現れます。 ${\displaystyle \operatorname {sech} \,x}$

角の三等分

離心率2の双曲線を用いた角（AOB）の三等分（黄色の曲線）

ペルガのアポロニウスによって初めて示されたように、双曲線は任意の角度を三等分するために使用できます。これは幾何学でよく研究されている問題です。角度が与えられたら、まずその頂点Oを中心とし、点Aと点Bで角の辺と交差する円を描きます。次に、端点Aと端点Bを結ぶ線分とその垂直二等分線を描きます。e =2の双曲線を準線、Bを焦点として描きます。Pを双曲線と円の交点（上）とします。角POBは角AOBを三等分します ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$

これを証明するには、線分OPを線分P'をPの像として得る直線について鏡映します。鏡映により線分AP'は線分BPと同じ長さになり、双曲線の離心率により線分PP'は線分BPと同じ長さになります。 ^[25] OA、OP'、OP、OBはすべて同じ円の半径（したがって同じ長さ）であるため、三角形OAP'、OPP'、OPBはすべて合同です。したがって、3× POB = AOBであるため、角度は3等分されています。^[26] ${\displaystyle \ell }$

効率的ポートフォリオフロンティア

ポートフォリオ理論において、平均分散効率の高いポートフォリオの軌跡（効率的フロンティアと呼ばれる）は、ポートフォリオのリターンの標準偏差を水平に、期待値を垂直にプロットした双曲線の東向きの枝の上半分です。この理論によれば、すべての合理的な投資家はこの軌跡上の点を特徴とするポートフォリオを選択するでしょう。

生化学

生化学と薬理学において、ヒルの式とヒル・ラングミュアの式はそれぞれ、生物学的反応とタンパク質-リガンド複合体の形成をリガンド濃度の関数として記述します。どちらも直角双曲線です。

二次曲面の平面切断としての双曲線

双曲線は、以下の二次曲線の平面切断として現れます。

• 楕円錐
• 双曲柱
• 双曲放物面
• 一枚双曲面
• 二枚双曲面

• 
  楕円円錐
• 
  双曲円柱
• 
  双曲放物面
• 
  一枚双曲面
• 
  二枚双曲面

関連項目

その他の円錐曲線

• 円
• 楕円
• 放物線
• 退化円錐

その他の関連トピック

• 楕円座標。楕円と双曲線の族に基づく直交座標系。
• 双曲的成長
• 双曲的偏微分方程式
• 双曲扇形
• 双曲面構造
• 双曲軌道
• 双曲面
• マルチラテレーション
• 軸の回転
• 軸の移動
• 単位双曲線

注釈

1. Oakley 1944, p. 17
2. ヒース、サー・トーマス・リトル（1896年）、「第1章 円錐曲線の発見。メナイクムス」『ペルガのアポロニウス：円錐曲線に関する論文と序論、この主題に関する初期の歴史に関するエッセイを含む』、ケンブリッジ大学出版局、pp.  xvii– xxx。
3. ボイヤー、カール・B.；メルツバッハ、ウタ・C.（2011年）『数学の歴史』、ワイリー、p. 73、ISBN 9780470630563これらの曲線に関連して「楕円」と「双曲線」という名前を導入したのは、おそらくアルキメデスの提案に従ったアポロニウスでした
4. イヴス、ハワード (1963)、『幾何学概論（第1巻）』 、アリン＆ベーコン、 30～ 31ページ 
5. Protter & Morrey 1970, 308–310ページ
6. Protter & Morrey 1970, 310ページ
7. Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012)、『幾何学の新たな地平』 、The Dolciani Mathematical Expositions #47、アメリカ数学協会、251ページ、ISBN 978-0-88385-354-2
8. この円のドイツ語はLeitkreisで、「Director circle」と翻訳できますが、英語文献では異なる意味を持ちます（ Director circleを参照）。
9. Frans van Schooten著『Mathematische Oeffeningen』、ライデン、1659年、327ページ
10. E. ハートマン著『平面円幾何学：メビウス平面、ラゲール平面、ミンコフスキー平面入門』、93ページ
11. W. Benz:代数幾何学入門、 Springer (1973)
12. 講義ノート『平面円幾何学：メビウス平面、ラゲール平面、ミンコフスキー平面入門』、33ページ（PDF; 757KB）
13. 講義ノート『平面円幾何学：メビウス平面、ラゲール平面、ミンコフスキー平面入門』、32ページ（PDF; 757KB）
14. Fanchi, John R. (2006). 科学者とエンジニアのための数学復習. John Wiley and Sons. 第3.2節、44～45ページ. ISBN 0-471-75715-2。
15. Korn, Granino A; Korn, Theresa M. (2000).科学者とエンジニアのための数学ハンドブック：定義、定理、公式の参照と復習（第2版）. Dover Publ. 40ページ.
16. Protter & Morrey 1970, pp. APP-29–APP-30.
17. Mitchell, Douglas W., "A property of hyperbolas and their asymptotes", Mathematical Gazette 96, July 2012, 299–301
18. JW Downs著『実用円錐曲線』、ドーバー出版、2003年（初版1993年）：26ページ
19. ジョン・ケイシー（1885年）「点、直線、円、円錐曲線の解析幾何学に関する論文。最新の拡張に関する説明と多数の例を含む」
20. Coffman, RT; Ogilvy, CS（1963年）「円錐曲線の『反射特性』」、Mathematics Magazine、36（1）：11-12、doi：10.1080/0025570X.1963.11975375、JSTOR  2688124
    フランダース、ハーレー (1968)、「円錐曲線の光学特性」、アメリカ数学月刊誌、75 (4): 399、doi :10.1080/00029890.1968.11970997、JSTOR  2313439

    ブロジンスキー、マイケル・K. (1984)、「楕円と双曲線の反射特性」、カレッジ数学ジャーナル、15 (2): 140–42、doi :10.1080/00494925.1984.11972763 (2025年7月1日休止)、JSTOR  2686519{{citation}}: CS1 maint: DOI inactive as of July 2025 (link)

21. 「双曲線」。Mathafou.free.fr 。 2016年3月4日にオリジナルからアーカイブ。 2018年8月26日閲覧。
22. 「双曲線の性質」。2017年2月2日にオリジナルからアーカイブ。 2011年6月22日閲覧。
23. Carlson, BC (2010)、「楕円積分」、Olver, Frank WJ、Lozier, Daniel M.、Boisvert, Ronald F.、Clark, Charles W.（編）、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
24. ハイルブロン、ジョン・L. (1968). 「α粒子とβ粒子の散乱とラザフォードの原子」.正確科学史アーカイブ. 4 (4): 247– 307. doi :10.1007/BF00411591. JSTOR  41133273.
25. PからPP'までの距離の2倍は、準線焦点の性質によりBPに等しいため ${\displaystyle \ell }$
26. アレクサンドリアのパップス（西暦300年頃）によるもので、証明はKazarinoff 1970、p.62に示されています。

参考文献

• Kazarinoff, Nicholas D. (1970), Ruler and the Round, Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-113-9
• Oakley, CO (1944), An Outline of the Calculus , New York: Barnes & Noble
• Protter, Murray H. ; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042

外部リンク

• 「双曲線」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• アポロニウスによる収束点における双曲線の導出
• Mathematische Oeffeningen、Frans van Schooten、1659
• Weisstein, Eric W.「双曲線」、MathWorld

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