シリンダー

三次元立体

シリンダー
高さh、直径d =2 rの直円筒
タイプ	滑らかな表面 代数面
オイラー文字。	2
対称群	O(2)×O(1)
表面積	2πr(r + h)
音量	πr 2時間

円筒（ギリシャ語のκύλινδρος （kúlindros）「ローラー、タンブラー」に由来）^[1]は、伝統的に三次元立体であり、最も基本的な曲線幾何学形状の一つである。初等幾何学では、円を底とする角柱とみなされる。  

円筒は、現代の幾何学や位相幾何学の様々な分野において、無限の曲面として定義されることもあります。基本的な意味の変化（固体と表面（固体球と球面など））により、用語に曖昧さが生じています。この2つの概念は、固体円筒と円筒面と呼ばれることで区別できます。文献では、簡素な「円筒」という用語は、これらのいずれかを指す場合もあれば、さらに特殊な物体である直円筒を指す場合もあります。

種類

円筒面は、与えられた直線に平行で、かつその直線に平行でない平面上の固定された平面曲線を通るすべての直線上の点すべてで構成される面です。この平行線族の任意の直線は、円筒面の要素と呼ばれます。 ^[2]運動学の観点から見ると、準線と呼ばれる平面曲線が与えられたとき、円筒面とは、準線の平面上になく、常に準線を通る、母線と呼ばれる線によって描かれる面です。母線の任意の特定の位置は、円筒面の要素です。

直角円筒と斜角円筒

円筒面と 2 つの平行平面で囲まれた立体を(立体)円筒といいます。円筒面の要素によって 2 つの平行平面の間に定められる線分を、円筒 の要素といいます。^[2]円筒 のすべての要素の長さは等しい。平行平面のいずれかで円筒面によって囲まれた領域を、円筒 の底といいます。円筒 の 2 つの底は合同な図形です。円筒 の要素が底を含む平面に垂直な場合、円筒 は直円筒と呼ばれ、そうでない場合は斜円筒と呼ばれます。底が円板(境界が円である領域) の場合、円筒 は円柱と呼ばれます。いくつかの基本的な取り扱いでは、円筒 とは常に円柱を意味します。^[3]開円筒は底のない円筒面です。^[要出典]

円柱の高さ（または高度）は、円柱の底面間の垂直距離です。

線分を、それと平行な固定線を中心に回転させて得られる円筒を回転円筒といいます。回転円筒は直円柱です。回転円筒の高さは、母線の長さです。回転の軸となる直線は円筒の軸と呼ばれ、2つの底の中心を通ります。

半径r、高さhの直円柱

直円筒

裸の円筒という用語は、軸に垂直な円形の両端を持つ中実の円筒、つまり図に示すように直円筒を指すことが多い。両端を除いた円筒面は開円筒と呼ばれる。直円筒の表面積と体積の公式は古代から知られていた。

直円柱は、長方形をその一辺を中心に回転させることによって生成される回転体と考えることもできます。これらの円柱は、回転体の体積を求める積分法（「円板法」）に用いられます。^[4]

高くて細いニードルシリンダーは高さが直径よりはるかに大きくなりますが、短くて幅の広いディスクシリンダーは直径が高さよりはるかに大きくなります。

プロパティ

円筒形断面

円筒断面

円筒断面は、円筒の表面と平面との交点である。これらは一般に曲線であり、平面断面の特殊な種類である。円筒の2つの要素を含む平面による円筒断面は平行四辺形である。^[5]このような直円筒の円筒断面は長方形である。^[5]

交差面が円筒のすべての要素と交差し、かつそれらに垂直である円筒断面は、直角断面と呼ばれます。^[6]円筒の直角断面が円である場合、その円筒は円柱です。より一般的には、円筒の直角断面が円錐断面（放物線、楕円、双曲線）である場合、その円筒はそれぞれ放物線、楕円、双曲面と呼ばれます。

直円筒の円筒断面

直円柱の場合、平面が円柱と交わる方法はいくつかあります。まず、底辺と最大 1 点で交わる平面です。平面が円柱と 1 つの要素で交わる場合、その平面は円柱に接します。直断面は円で、その他の平面はすべて楕円で円柱面と交わります。^[7]平面が円柱の底辺とちょうど 2 点で交わる場合、これらの点を結ぶ線分は円柱断面の一部です。このような平面が 2 つの要素を含む場合、その平面の円柱断面は長方形になり、そうでない場合は円柱断面の辺は楕円の一部になります。最後に、平面が底辺の 3 点以上を含む場合、その平面には底辺全体が含まれ、円柱断面は円になります。

円筒断面が楕円形の直円筒の場合、円筒断面の離心率 eと円筒断面の長半径 a は、円筒の半径rと、割線平面と円筒軸の間の角度αによって次のように決まります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}e&=\cos \alpha ,\\[1ex]a&={\frac {r}{\sin \alpha }}.\end{aligned}}}$$

音量

円柱の底面の半径が rで高さがhの場合、その体積は次のように表される。 $${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$$

この式は円柱が直円柱であるかどうかに関わらず成り立ちます。^[8]

この式は、カヴァリエリの原理を使用して確立できます。

底楕円の半軸がaとbで高さがhである立体楕円直柱

より一般的には、同じ原理により、あらゆる円柱の体積は底面積と高さの積で表されます。例えば、底辺の長半径が a、短半径がb、高さがhの楕円柱の体積はV = Ahです。ここで、Aは底辺の楕円の面積（= π ab）です。直楕円柱の場合、この結果は積分によっても得られます。ここで、円柱の軸を正のx軸とし、各楕円の断面積をA ( x ) = Aとすると、次の式が成り立ちます。 $${\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}$$

円筒座標系を用いると、直円柱の体積は積分によって計算できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz\\[5mu]&=\pi \,r^{2}\,h.\end{aligned}}}$$

表面積

半径r、高度hを持ち、軸が垂直になるように配置された直円筒の表面積は、次の 3 つの部分から構成されます。

• 上底の面積: π r ²
• 底面積: π r ²
• 辺の面積: 2π rh

上底と下底の面積は同じで、底面積Bと呼ばれます。側面の面積は側面積Lと呼ばれます。

開いた円筒には上部要素も下部要素も含まれていないため、表面積（側面積）は $${\displaystyle L=2\pi rh}$$

直円柱の表面積は、上面、底面、側面の3つの要素の合計です。したがって、その表面積はd = 2 r で、rは円柱の上部または下部の直径です。 $${\displaystyle A=L+2B=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(h+r)=\pi d(r+h)}$$

与えられた体積に対して、表面積が最小の直円柱はh = 2 rとなる。同様に、与えられた表面積に対して、体積が最大の直円柱はh = 2 rとなる。つまり、この円柱は、辺の長さ = 高度（ = 底円の直径）の立方体にぴったり収まる。^[9]

円筒（必ずしも直円筒である必要はない）の側面積Lは、より一般的には次のように表される。 ここでeは要素の長さ、pは円筒の直断面の周囲長である。^[10]これにより、円筒が直円筒である場合の側面積の前述の式が得られる。 $${\displaystyle L=e\times p,}$$

直円筒形中空円筒（円筒殻）

中空円筒

直円筒（または円筒殻）は、図に示すように、同じ軸を持つ 2 つの直円筒と、円筒の共通軸に垂直な 2 つの平行な環状底面によって囲まれた 3 次元領域です。

高さをh、内半径をr、外半径をRとします。体積は、外側の円筒の体積から内側の仮想円筒（つまり中空空間）の体積を差し引くことで求められます。 したがって、円筒形の殻の体積は2π ×平均半径×高さ×厚さ に等しくなります 。^[11] $${\displaystyle V=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(R-r).}$$  

上面と底面を含む表面積は次のように与えられます。円筒殻は回転体の体積を求めるための一般的な積分法で使用されます。^[12] $${\displaystyle A=2\pi \left(R+r\right)h+2\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$$

球と円柱について

球の体積と表面積は、その底面を含めた外接円筒の2/3である。

紀元前 225年頃に書かれたこの名の論文で、アルキメデスは彼が最も誇りに思う成果、すなわち、球と、同じ高さと直径を持つその外接直円柱との関係を利用して、球の体積と表面積の公式を得たという成果を得ました。球の体積は外接円柱の3分の2、表面積は 円柱（底辺を含む）の3分の2です。円柱の値は既にわかっていたため、彼は初めて球の対応する値を得ました。半径rの球の体積は⁠ 4/3⁠ π r ³ = ⁠2/3⁠ (2 π r ³ )。この球の表面積は4 π r ² = ⁠です。2/3⁠ (6 π r ² )。アルキメデスの要請により、彫刻された球体と円筒が彼の墓に置かれました。

円筒面

幾何学と位相幾何学の一部の分野では、円筒という用語は円筒面と呼ばれるものを指します。円筒は、与えられた直線に平行で、かつ与えられた直線に平行でない平面内の固定された平面曲線を通るすべての直線上のすべての点で構成される面として定義されます。^{[13]このような円筒は、}一般化円筒と呼ばれることもあります。一般化円筒の各点には、円筒に含まれる唯一の直線が通っています。^{[14]したがって、この定義は、円筒とは 1 つのパラメータを持つ平行線族が張る}任意の線織面であると言い換えることができます。

断面が楕円、放物線、双曲線である円柱は、それぞれ楕円柱、放物線柱、双曲線柱 と呼ばれます。これらは退化した二次曲面です。^[15]

放物面円筒

二次曲面の主軸が参照フレームと一致している場合（二次曲面では必ず可能）、3次元における二次曲面の一般的な方程式は次のように表される。ここで、係数は実数であり、 A、B、Cのすべてが0になるわけではない。方程式に少なくとも1つの変数が現れない場合、二次曲面は退化している。もし1つの変数が欠けている場合、適切な軸回転によって変数zが現れないと仮定することができ、このタイプの退化した二次曲面の一般的な方程式は次のように表される^[16]。ここで $${\displaystyle f(x,y,z)=Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dx+Ey+Gz+H=0,}$$ $${\displaystyle A\left(x+{\frac {D}{2A}}\right)^{2}+B\left(y+{\frac {E}{2B}}\right)^{2}=\rho ,}$$ $${\displaystyle \rho =-H+{\frac {D^{2}}{4A}}+{\frac {E^{2}}{4B}}.}$$

楕円柱

AB > 0の場合、これは楕円柱の方程式です。^[16]軸の平行移動とスカラー乗算によってさらに簡略化できます。が係数AおよびBと同じ符号を持つ場合、楕円柱の方程式は直交座標で次のように書き直すことができます。 この楕円柱の方程式は、通常の円柱( a = b ) の方程式を一般化したものです。楕円柱はシリンドロイドとも呼ばれますが、この名称は曖昧で、プルッカー円錐体を指すこともあります。 ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$

が係数と異なる符号を持つ場合、実数点を持たない虚数楕円柱が得られます。 (は単一の実数点を与えます。) ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1,}$$ ${\displaystyle \rho =0}$

双曲円筒

AとB が異なる符号を持ち、である場合、双曲円筒形が得られ、その方程式は次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle \rho \neq 0}$ $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$

放物面円筒

最後に、AB = 0の場合には、一般性を失うことなく、B = 0、A = 1と仮定して、次のように書ける方程式で放物面円筒を得る。^[17] $${\displaystyle x^{2}+2ay=0.}$$

射影幾何学では、円柱は頂点が無限遠にある円錐であり、視覚的には遠近法で空に向かう円錐のように見える円柱に対応します。

射影幾何学

射影幾何学において、円柱とは、頂点（頂点）が無限遠平面上にある円錐のことである。円錐が二次円錐の場合、（頂点を通る）無限遠平面は、2本の実数直線、1本の実数直線（実際には一致する2本の直線）、あるいは頂点のみで円錐と交わる。これらの場合、それぞれ双曲円柱、放物円柱、楕円円柱となる。^[18]

この概念は、円筒円錐曲線を含む可能性のある退化した円錐曲線を検討するときに役立ちます。

プリズム

コペンハーゲンのティコ・ブラーエ・プラネタリウムは、切頂円筒の例です。

円柱は、nが無限大に近づくにつれて、n角柱の極限ケースとみなすことができます。この密接な関係のため、多くの初期の幾何学の教科書では、角柱と円柱を一緒に扱っています。円柱の表面積と体積の標準的な公式は、内接角柱と外接角柱を考慮し、辺の数が無限に増加するにつれて極限をとることで、角柱の対応する公式から導き出すことができます。^[19]

古典的な扱いにおいて円柱に焦点が当てられるのは、円形の底面を持つ平面図形だけが、微積分に頼ることなく初等的な手法を用いてこの極限論を行うことができるという事実に由来する。円柱と角柱は平行な用語も共有している。例えば、切頂角柱とは、底面が平行な平面上にない角柱のことである。同様に、底面が平行でない立体円柱は切頂角柱と呼ばれる。

多面体の観点から見ると、円柱は双円錐の双対として見られ、無限の辺を持つ両錐体として解釈されることもあります。

均一な n角柱の族 v t e
プリズム名	二角柱	（三角柱） 三角柱	（正方晶） 四角柱	五角柱	六角柱	七角柱	八角柱	正七角柱	十角柱	12角柱	十二角柱	...	非等角プリズム
多面体画像												...
球面タイリング画像												平面タイリング画像
頂点構成。	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	∞.4.4
コクセター図												...

参照

• 図形のリスト
• シュタインメッツ立体、2つまたは3つの垂直な円筒の交差

注記

1. κύλινδρος 2013 年 7 月 30 日にウェイバック マシンにアーカイブ、ヘンリー ジョージ リデル、ロバート スコット、ギリシャ語-英語辞書、ペルセウスについて
2. ウェントワース＆スミス 1913年、353ページより。
3. ジェイコブス、ハロルド・R.（1974）、幾何学、WHフリーマンアンドカンパニー、p.607、ISBN 0-7167-0456-0
4. スウォコウスキー1983年、283ページ。
5. ウェントワース＆スミス 1913年、354ページより。
6. ウェントワース＆スミス 1913年、357ページ。
7. 「円筒断面」、MathWorld
8. ウェントワース＆スミス 1913年、359ページ。
9. Lax, Peter D. ; Terrell, Maria Shea (2013)、Calculus With Applications、Springer、p. 178、ISBN 9781461479468。
10. ウェントワース＆スミス 1913年、358ページ。
11. スウォコウスキー1983年、292ページ。
12. スウォコウスキー1983年、291ページ。
13. アルバート 2016、43ページ。
14. アルバート 2016、49頁。
15. ブラナン、デヴィッド A.;エスプレン、マシュー F.グレイ、ジェレミー J. (1999)、『幾何学』、ケンブリッジ大学出版局、p. 34、ISBN 978-0-521-59787-6
16. アルバート 2016、74ページ。
17. アルバート 2016、75ページ。
18. ペドー、ダン（1988）[1970]、幾何学総合講座、ドーバー、p.398、ISBN 0-486-65812-0
19. Slaught, HE ; Lennes, NJ (1919). Solid Geometry with Problems and Applications (PDF) (改訂版). Allyn and Bacon. pp.  79– 81.

参考文献

• アルバート、エイブラハム・エイドリアン（2016）[1949]、『立体解析幾何学』、ドーバー、ISBN 978-0-486-81026-3
• スウォコウスキー、アール・W.（1983年）、解析幾何学と微積分（別版）、プリンドル、ウェーバー＆シュミット、ISBN 0-87150-341-7
• ウェントワース、ジョージ; スミス、デイヴィッド・ユージーン (1913)、『平面および立体幾何学』、ギン・アンド・カンパニー。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「シリンダー」。マスワールド。
• MATHguideの円柱の表面積
• MATHguideの円柱の体積

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