双曲的平衡点

力学系の研究において、双曲的平衡点または双曲的不動点とは、中心多様体を持たない不動点のことである。双曲的点の近傍では、2次元の非散逸系の軌道は双曲線に似ている。しかし、これは一般には成立しない。 ストロガッツは「双曲的というのは不都合な名称だ。本来は『鞍点』を意味するように聞こえるが、今ではそれが標準となっている」と指摘している。^[1]双曲的点の近傍には、いくつかの性質が成り立つ。特に^[2]

双曲型平衡の例である、2 次元の鞍点付近の軌道。

• 安定多様体と不安定多様体が存在する。
• シャドウイングが発生し、
• 不変集合上の力学は記号力学によって表現できる。
• 自然な尺度は定義できる。
• システムは構造的に安定しています。

地図

がC ¹マップであり、pが不動点である場合、ヤコビ行列が複素単位円上に固有値を持たないとき、 p は双曲不動点であると言われます。 ${\displaystyle T\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {D} T(p)}$

唯一の固定点が双曲的な写像の一例としては、アーノルドの猫写像が挙げられます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}}}$

固有値は次のように与えられるので

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$

リャプノフ指数は次のようになります。

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\ln(3+{\sqrt {5}})}{2}}>1}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\ln(3-{\sqrt {5}})}{2}}<1}$

したがって、それは鞍点です。

フロー

を臨界点pを持つC ¹ベクトル場、すなわちF ( p ) = 0 とし、J をpにおけるFのヤコビ行列とする。行列J が実部がゼロの固有値を持たない場合、pは双曲型と呼ばれる。双曲型不動点は、双曲型臨界点または基本臨界点とも呼ばれる。^[3] ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

ハートマン・グロブマン定理は、双曲型平衡点の近傍における力学系の軌道構造は、線形化された力学系の軌道構造と位相的に等価であることを述べています。

例

非線形システムを考える

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y,\\[5pt]{\frac {dy}{dt}}&=-x-x^{3}-\alpha y,~\alpha \neq 0\end{aligned}}}$

(0, 0) は唯一の平衡点である。平衡点における線形化のヤコビ行列は

${\displaystyle J(0,0)=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\-1&-\alpha \end{array}}\right].}$

この行列の固有値は です。α ≠ 0のすべての値に対して、固有値の実部は非ゼロです。したがって、この平衡点は双曲型平衡点です。線形化されたシステムは、  (0, 0) 付近の非線形システムと同様に振舞います。α  = 0 のとき、システムは (0, 0) で非双曲型平衡点を持ちます。 ${\displaystyle {\frac {-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4}}}{2}}}$

コメント

無限次元システム（例えば時間遅延を伴うシステム）の場合、「スペクトルの双曲線部分」という概念は上記の特性を指します。

参照

• アノソフフロー
• 双曲集合
• 通常双曲不変多様体

注記

1. ストロガッツ、スティーブン（2001年）『非線形ダイナミクスとカオス』ウェストビュー・プレス、ISBN 0-7382-0453-6。
2. オット、エドワード（1994年）『動的システムにおけるカオス』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-43799-7。
3. アブラハム、ラルフ; マースデン、ジェロルド・E. (1978). 『力学の基礎』リーディング・マサチューセッツ: ベンジャミン/カミングス. ISBN 0-8053-0102-X。

参考文献

• ユージン・M・イジケヴィッチ（編）「平衡」Scholarpedia。

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