放物面

Quadric surface with one axis of symmetry and no center of symmetry

回転放物面

幾何学において、放物面とは、対称軸を1つだけ持ち、対称中心を持たない二次曲面です。「放物面」という用語は、同様の対称性を持つ円錐曲線を指す放物線に由来しています。

対称軸に平行な平面によって作られる放物面のすべての平面断面は放物線です。放物面が双曲面であるのは、他のすべての平面断面が双曲線、または交差する2本の直線（接平面による断面の場合）である場合です。放物面が楕円面であるのは、他のすべての空でない平面断面が楕円、または1つの点（接平面による断面の場合）である場合です。放物面は楕円面または双曲面のいずれかです。

同様に、放物面は、円筒面ではない二次曲面であり、その2次部分を複素数で2つの異なる線形因子に因数分解できる暗黙方程式を持つものとして定義できます。因子が実数の場合、放物面は双曲面であり、因子が複素共役の場合、放物面は楕円面です。

楕円放物面は楕円形のカップのような形状で、軸が垂直のときに最大点または最小点を持ちます。x、y、zの3軸を持つ適切な座標系では、式^[1]で表すことができます。 ここで、aとbはそれぞれxz平面とyz平面における曲率の度合いを表す定数です。この位置では、楕円放物面は上向きに開きます。 $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}$$

双曲放物面

双曲放物面（双曲面と混同しないこと）は、鞍型の形状をした二重線条面である。適切な座標系において、双曲放物面は次式で表される。^{[2] [3]}この位置では、双曲放物面はx軸に沿って下向きに開き、 y軸に沿って上向きに開いている（つまり、x = 0平面上の放物面は上向きに開き、 y = 0平面上の放物面は下向きに開いている）。 $${\displaystyle z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.}$$

あらゆる放物面（楕円形または双曲形）は、2 番目の放物面によって方向付けられた移動する放物面によって生成できるため、並進面です。

特性と用途

楕円放物面

円形放物面のポリゴンメッシュ

円形放物面

適切な直交座標系では、楕円放物面は次の式で表される。 $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}$$

a = bの場合、楕円放物面は円放物面または回転放物面です。これは、放物線をその軸を中心に回転させることによって得られる回転面です。

円放物面には円が含まれています。これは一般的な場合にも同様です（円の項を参照）。

射影幾何学の観点から見ると、楕円放物面は無限遠平面に接する楕円体です。

平面断面

楕円放物面の平面断面は次のようになります。

• 放物線は、平面が軸に平行であれば、
• 平面が接平面である場合、点。
• それ以外の場合は、楕円または空になります。

パラボラ反射鏡

円放物面の軸上には焦点（または焦点）と呼ばれる点があり、放物面が鏡である場合、焦点にある点光源からの光（またはその他の波）は、放物面の軸に平行な平行光線に反射されます。これは逆の場合も同様で、放物面の軸に平行な平行光線は焦点に集中します。証明については、「放物面 § 反射性の証明 」を参照してください。

そのため、円形放物面の形状は天文学において放物面反射鏡やパラボラアンテナに広く使用されています。

回転する液体の表面も円形の放物面です。これは液体鏡望遠鏡や固体望遠鏡の鏡の製造に用いられます（回転炉を参照）。

• 
  円形放物面鏡に入射する平行光線は焦点Fに反射され、その逆も同様である。
• 
  パラボラ反射鏡
• 
  グラスの中の回転する水

双曲放物面

線を含む双曲放物面

プリングルスの揚げスナックは双曲放物面の形をしています。

双曲放物面は二重線条面であり、互いに斜めの線分が2つ存在します。それぞれの線分は共通平面に平行ですが、互いに平行ではありません。したがって、双曲放物面は円錐面です。

これらの特性は双曲放物面の特徴であり、双曲放物面の最も古い定義の 1 つに使用されています。双曲放物面は、固定された平面に平行で 2 つの固定された斜めの線と交差する移動線によって生成される表面です。

この特性により、コンクリート屋根からスナック食品まで、様々な材料から様々な用途で双曲放物面を容易に製造できます。特に、プリングルスのフライドスナックは、切頂双曲放物面の形状に似ています。^[4]

双曲放物面は、ガウス曲率がすべての点で負であるため、鞍面である。したがって、線織面であるにもかかわらず、展開可能ではない。

射影幾何学の観点から見ると、双曲放物面は無限遠平面に接する一枚の双曲面です。

またはの方程式の双曲放物面(これは軸の回転まで同じ)は、直角双曲面との類推により、直角双曲放物面と呼ばれることがあります。 ${\displaystyle z=axy}$ ${\displaystyle z={\tfrac {a}{2}}(x^{2}-y^{2})}$

平面断面

双曲線と放物線を持つ双曲放物面

双曲放物面の平面断面は、 方程式 $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$$

• 平面がz軸に平行で、方程式が次の形式である場合、直線となる。 ${\displaystyle bx\pm ay+b=0}$
• 放物線、平面がZ軸に平行で、断面が直線でない場合、
• 平面が接平面である場合、交差する直線のペア
• そうでなければ双曲線。

STL双曲放物面モデル

建築における例

鞍型屋根は、直線状の材料から簡単に作れるため、双曲放物面形状になることが多いです。以下に例を挙げます。

• フィリップス・パビリオン・エキスポ'58、ブリュッセル（1958年）
• IITデリー- ドグラホールの屋根
• 東京カテドラル聖マリア大聖堂（1964年）
• イギリス、ロンドン、ハムにあるセント・リチャード教会（1966年）
• アメリカ合衆国カリフォルニア州サンフランシスコの聖マリア被昇天大聖堂（1971年）
• カナダ、アルバータ州カルガリーのサドルドーム（1983年）
• スウェーデン、ヨーテボリのスカンジナビアム(1971)
• ロセアノグラフィック、スペイン、バレンシア (2003)
• ロンドン・ヴェロパーク、イギリス（2011年）
• ウォーターワールド レジャー＆アクティビティ センター、レクサム、ウェールズ (1970)
• マークハム・ムーア・サービスステーションの屋上、A1（南行き）、ノッティンガムシャー、イングランド
• カフェ「コメタ」、ロシア、モスクワのソコル地区（1960年）。建築家 V.ヴォロディン、エンジニア N.ドロズドフ。取り壊されました。

• 
  ワルシャワ・オホタ駅、双曲放物面構造の例
• 
  双曲放物面を示す表面
• 
  Restaurante Los Maniales、ソチミルコ、メキシコ
• 
  スペイン、バレンシアのL'Oceanogràficにある双曲放物面薄殻屋根（2019 年撮影）
• 
  ノッティンガムシャー州マーカム・ムーア・サービスステーションの屋根（2009年撮影）

楕円放物面と双曲放物面の束の間の円筒

楕円放物面、放物柱、双曲放物面

楕円放物面の束 と双曲放物面の束は 、 同じ面 、つまり放物面円筒に近づきます(図を参照)。 $${\displaystyle z=x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$$ $${\displaystyle z=x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$$ $${\displaystyle z=x^{2}}$$ ${\displaystyle b\rightarrow \infty }$

曲率

楕円放物面は、ガウス曲率と平均曲率が両方とも常に正の値を 持ち、原点で最大値を持ち、表面上の点が原点から離れるにつれて小さくなり、その点が原点から無限に離れるにつれて漸近的にゼロに近づきます。 $${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle K(u,v)={\frac {4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$$ $${\displaystyle H(u,v)={\frac {a^{2}+b^{2}+{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}}$$

双曲放物面^[2]は、 ガウス曲率と平均曲率 を持つようにパラメータ化されると、 $${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}-{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle K(u,v)={\frac {-4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$$ $${\displaystyle H(u,v)={\frac {-a^{2}+b^{2}-{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}.}$$

掛け算表の幾何学的表現

双曲放物面を角度 ⁠ 回転させると、 $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$$π/4⁠ + z方向（右手の法則に従ってに、結果は表面であり、 a = bの場合は、これは次のように簡略化されます。最後に、 a = √ 2とすると、双曲放物面は、掛け算表の幾何学的表現（いわば3 次元のノモグラフ）と考えることができる 表面と合同であることがわかります。 $${\displaystyle z=\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}-{\frac {1}{b^{2}}}\right)+xy\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle z={\frac {2xy}{a^{2}}}.}$$ $${\displaystyle z={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}.}$$ $${\displaystyle z=xy}$$

2つの放物面R ² → R関数と調和共役であり、一緒に解析関数を形成します。 これはR → R放物面関数f ( x ) = ⁠の解析接続です。 $${\displaystyle z_{1}(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}}$$ $${\displaystyle z_{2}(x,y)=xy}$$ $${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}}{2}}=f(x+yi)=z_{1}(x,y)+iz_{2}(x,y)}$$× ²/2⁠。

放物面皿の寸法

対称放物面皿の寸法は、 Fが焦点距離、Dが皿の深さ（対称軸に沿って頂点から縁の平面まで測定）、Rが縁の半径である式 で表されます。これらはすべて同じ長さの単位で表されます。これら3つの長さのうち2つが分かっている場合、この式を使って残りの長さを計算できます。 $${\displaystyle 4FD=R^{2},}$$

皿の表面に沿って測定された直径を求めるには、より複雑な計算が必要です。これは「線径」と呼ばれることもあり、皿を作るために切断・曲げるのに適した大きさの平らな円形の材料（通常は金属）の板の直径に相当します。計算には、2つの中間結果が役立ちます。P = 2 F（または同等の値：P = ⁠R2^​/2次元⁠）であり、 Q = √ P ² + R ²で表されます。ここで、 F、 D、 Rは上記のように定義されています。皿の表面に沿って測った直径は、次のように表されます。ここで、 ln xはxの自然対数、つまりeを底とする対数です。 $${\displaystyle {\frac {RQ}{P}}+P\ln \left({\frac {R+Q}{P}}\right),}$$

皿の容積、つまり縁が水平で頂点が底にある場合に皿に保持できる液体の量（例えば、放物面状の中華鍋の容量）は、記号が上記のように定義されている場合、次のように表されます 。これは、円柱（π R ² D）、半球（⁠）の容積の公式と比較できます。 $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}R^{2}D,}$$2π/3⁠ R ² D（ただしD = R）と円錐（ ⁠π/3⁠ R ² D）。π R 2^はパラボラアンテナの開口面積、つまり縁で囲まれた面積で、反射パラボラアンテナが捉えられる太陽光の量に比例します。パラボラアンテナの表面積は、回転面の面積 $${\displaystyle A={\frac {\pi R\left({\sqrt {(R^{2}+4D^{2})^{3}}}-R^{3}\right)}{6D^{2}}}.}$$

参照

• 数学ポータル

• 楕円体 – 変形した球面のような二次曲面
• 双曲面 – 無限大の二次曲面
• パラボラスピーカー - コヒーレントな平面波を生成するパラボラ型スピーカー
• パラボラ反射鏡 – 放物面の形状を持つ反射鏡

参考文献

1. Thomas, George B.; Maurice D. Weir; Joel Hass ; Frank R. Giordiano (2005). Thomas' Calculus 11th ed . Pearson Education, Inc. p. 892. ISBN 0-321-18558-7。
2. Weisstein, Eric W. 「双曲放物面」 MathWorld（Wolfram Webリソース）より http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicParaboloid.html
3. Thomas, George B.; Maurice D. Weir; Joel Hass; Frank R. Giordiano (2005). Thomas' Calculus 11th ed . Pearson Education, Inc. p. 896. ISBN 0-321-18558-7。
4. ジル、デニス・G.、ライト、ウォーレン・S.（2011）、微積分：初期超越関数、ジョーンズ＆バートレット出版社、p.649、ISBN 9781449644482。

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズの放物面関連メディア

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