アノソフ微分同相写像

Diffeomorphism that has a hyperbolic structure on the tangent bundle

数学、特に力学系と幾何学位相幾何学の分野において、多様体M上のアノソフ写像（Anosov map）とは、 MからM自身への写像の一種であり、局所的な「拡大」と「縮小」の方向が明確に示される。アノソフ系は公理A系の特殊なケースである。

アノソフ微分同相写像はドミトリ・ヴィクトロヴィチ・アノソフによって導入され、彼はその振る舞いが適切な意味でジェネリックであることを証明した（そもそもそれが存在する場合）。^[1]

概要

密接に関連する3つの定義を区別する必要があります

• M上の微分可能写像 fが接束 上で双曲的構造を持つ場合、それはアノソフ写像と呼ばれる。例としては、ベルヌーイ写像やアーノルドの猫写像などが挙げられる。
• 写像が微分同相写像である場合、それはアノソフ微分同相写像と呼ばれます。
• 多様体上の流れが接線バンドルを 3 つの不変サブバンドルに分割し、そのうち 1 つのサブバンドルが指数的に収縮し、1 つが指数的に拡大し、3 番目が拡大も収縮もしない 1 次元サブバンドル (流れの方向によって張られる) である場合、その流れはAnosov フローと呼ばれます。

アノソフ微分同相写像の典型的な例は、アーノルドの猫写像です。

アノソフは、アノソフ微分同相写像が構造的に安定しており、 C ¹トポロジを持つマッピング (フロー) のオープンサブセットを形成することを証明しました。

すべての多様体がアノソフ微分同相写像を許容するわけではない。例えば、球面上にはそのような微分同相写像は存在しない。アノソフ微分同相写像を許容するコンパクト多様体の最も単純な例はトーラスである。トーラスは、いわゆる線型アノソフ微分同相写像を許容する。これは、係数1の固有値を持たない同型写像である。トーラス上の他のアノソフ微分同相写像は、この種の アノソフ微分同相写像と位相的に共役であることが証明されている。

アノソフ微分同相写像を許容する多様体を分類する問題は非常に困難であることが判明し、2023年現在でも^[update]次元が3を超える場合の解答はありません。唯一知られている例はインフラニル多様体であり、それが唯一の例であると推測されています。

推移性の十分条件は、すべての点が非移動であることである。これは、次元1のアノソフ微分同相写像（すなわち、収縮または膨張部分束が1次元であるもの）^[2]と、次元が3より大きい多様体上​​の次元1のアノソフフロー^[3]、およびマザースペクトルが2つの十分に薄い環状体に含まれるアノソフフローにも当てはまる。^[4]アノソフ微分同相写像が推移的であるかどうかは分かっていない（インフラニル多様体上を除く）が、アノソフフローは位相的に推移的である必要はない。^[5] ${\displaystyle \Omega (f)=M}$

また、体積保存アノソフ微分同相写像がすべてエルゴード的であるかどうかは不明です。アノソフは仮定の下でこれを証明しました。これは体積保存アノソフ微分同相写像についても当てはまります。 ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{1+\alpha }}$

推移的アノソフ微分同相写像に対して、その流域が完全な体積となるような、 SRB測度（頭文字はシナイ、ルエル、ボーエンの略）が唯一存在し、 ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle f\colon M\to M}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B(\mu _{f})}$

${\displaystyle B(\mu _{f})=\left\{x\in M:{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\delta _{f^{k}x}\to \mu _{f}\right\}.}$

リーマン面（の接束）上のアノソフフロー

例として、このセクションでは、負の曲率のリーマン面の接線バンドル上のアノソフ フローの場合を展開します。このフローは、双曲幾何学のポアンカレ半平面モデルの接線バンドル上の流れとして理解できます。負の曲率のリーマン面は、フックス モデル、つまり、上半平面とフックス群の商として定義できます。以下では、H を上半平面、Γ をフックス群、M  =  H /Γ を、群 Γ の作用によるHの商としての負の曲率のリーマン面とし、を多様体M上の単位長ベクトルの接線バンドル、をH上の単位長ベクトルの接線バンドルとします。曲面上の単位長ベクトルのバンドルは、複素直線バンドルの主バンドルであることに注意してください。 ${\displaystyle T^{1}M}$ ${\displaystyle T^{1}H}$

リーベクトル場

まず、リー群PSL(2, R )と同型であることに注目する。この群は、上半平面の向きを保存する等長変換群である。PSL(2, R )のリー代数はsl(2, R )であり、行列で表される ${\displaystyle T^{1}H}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\\\end{pmatrix}}\qquad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

代数を持つ

${\displaystyle [J,X]=X\qquad [J,Y]=-Y\qquad [X,Y]=2J}$

指数マップ

${\displaystyle g_{t}=\exp(tJ)={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}^{*}=\exp(tX)={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}=\exp(tY)={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\\\end{pmatrix}}}$

は の多様体上の右不変フローを定義し、 も同様です。 と を定義すると、これらのフローはPとQ上のベクトル場を定義し、そのベクトルはTPとTQに存在します。これらはリー群の多様体上の標準的な通常のリーベクトル場であり、上記の表現はリーベクトル場の標準的な説明です。 ${\displaystyle T^{1}H=\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle T^{1}M}$ ${\displaystyle P=T^{1}H}$ ${\displaystyle Q=T^{1}M}$

アノソフフロー

アノソフフローとの関連は、PとQ上の測地線フローが実現されていることから生じます。リーベクトル場は（定義により）群元の作用に対して不変であるため、これらの場は測地線フローの特定の元に対して不変であることが分かります。言い換えれば、空間TPとTQは3つの1次元空間、つまりサブバンドルに分割され、それぞれが測地線フローに対して不変です。最後に、1つのサブバンドルのベクトル場は拡大（指数関数的に拡大）、別のサブバンドルのベクトル場は変化せず、3つ目のサブバンドルのベクトル場は縮小（指数関数的に縮小）することに注目してください。 ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle g_{t}}$

より正確には、接束TQは直和として表される。

${\displaystyle TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}}$

あるいは、ある点において、直和 ${\displaystyle g\cdot e=q\in Q}$

${\displaystyle T_{q}Q=E_{q}^{+}\oplus E_{q}^{0}\oplus E_{q}^{-}}$

はそれぞれリー代数生成子Y、J、Xに対応し、群元gの左作用によって原点eから点qまで運ばれます。つまり、と が成り立ちます。これらの空間はそれぞれ部分束であり、測地線フローの作用、つまり群元 の作用によって保存されます（不変です） 。 ${\displaystyle E_{e}^{+}=Y,E_{e}^{0}=J}$ ${\displaystyle E_{e}^{-}=X}$ ${\displaystyle g=g_{t}}$

異なる点qにおけるベクトルの長さを比較するには、計量が必要である。における任意の内積はP上の左不変リーマン計量に拡張され、したがってQ上のリーマン計量に拡張される。ベクトルの長さはの作用により exp(t) のように指数的に拡大する。ベクトルの長さはの作用により exp(-t) のように指数的に縮小する。 におけるベクトルは変化しない。これは、群の要素がどのように交換するかを調べることでわかる。測地線フローは不変である。 ${\displaystyle T_{q}Q}$ ${\displaystyle T_{e}P=sl(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle v\in E_{q}^{+}}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle v\in E_{q}^{-}}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle E_{q}^{0}}$

${\displaystyle g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}}$

しかし、他の 2 つは縮小したり拡大したりします。

${\displaystyle g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp(-s)}^{*}g_{s}}$

そして

${\displaystyle g_{s}h_{t}=h_{t\exp(s)}g_{s}}$

ここで、曲線のtに関する微分、つまり設定によって、接線ベクトルが与えられることを思い出してください ${\displaystyle E_{q}^{+}}$ ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle t=0}$

アノソフ流の幾何学的解釈

上半平面上の点に作用する場合、は点 を通る上半平面上の測地線に対応する。この作用は、上半平面上のSL(2, R )の標準的なメビウス変換作用であるので、 ${\displaystyle z=i}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle z=i}$

${\displaystyle g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp(t/2)&0\\0&\exp(-t/2)\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp(t)}$

一般的な測地線は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp(t)={\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}}}$

ここで、 a、b、c、dはそれぞれ実数、である。曲線はホロサイクルと呼ばれる。ホロサイクルは、上半平面におけるホロスフィアの法線ベクトルの運動に対応する。 ${\displaystyle ad-bc=1}$ ${\displaystyle h_{t}^{*}}$ ${\displaystyle h_{t}}$

参照

• エルゴードフロー
• モース・スメール系
• 擬アノソフ写像

注釈

1. Dmitri V. Anosov ,負の曲率を持つ閉リーマン多様体上の測地線流, (1967) Proc. Steklov Inst. Mathematics . 90
2. ニューハウス、シェルドン・E. (1970). 「余次元1のアノソフ微分同相写像について」アメリカ数学誌. 92 : 761–770 . doi :10.2307/2373372.
3. アルベルト、ヴェルジョフスキー (1974)。 「コディメンションワン アノソフが流れる」。ボレティン・デ・ラ・ソシエダ・マテマティカ・メキシカーナ。セグンダ セリエ。19 (2): 49–77 .
4. ミシガン州ブリン (1977)。 「アノソフ微分同相写像の非放浪点」。アステリスク。49：11～ 18。
5. Béguin, François; Bonatti, Christian; Yu, Bin (2017). 「3次元多様体上のAnosovフローの構築」. Geometry & Topology . 21 (3): 1837– 1930. arXiv : 1408.3951 . doi :10.2140/gt.2017.21.1837.

参考文献

• 「Yシステム、Uシステム、Cシステム」、数学百科事典、EMSプレス、2001年 [1994]
• アンソニー・マニング著『負の定曲率面上の測地線およびホロサイクル流のダイナミクス』（1991年）第3章、ティム・ベッドフォード、マイケル・キーン、キャロライン・シリーズ編『エルゴード理論、記号力学、双曲空間』オックスフォード大学出版局（1991年）。ISBN 0-19-853390-X （ SL(2, R )上のアノソフフローの解説的な入門書です。）
• この記事にはPlanetMathの Anosov 微分同相写像からの資料が組み込まれており、これはCreative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされています。
• 砂田敏一,リーマン面上の磁気流, KAIST数学ワークショップ論文集 (1993), 93–108.

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