双曲線関数

Collective name of 6 mathematical functions

数学において、双曲線関数は通常の三角関数に類似していますが、円ではなく双曲線を用いて定義されます。点(cos t , sin t )が単位半径の円を形成するのと同様に、点(cosh t , sinh t )は単位双曲線の右半分を形成します。また、 sin( t )とcos( t )の導関数がそれぞれcos( t )と–sin( t )であるのと同様に、 sinh( t )とcosh( t )の導関数はそれぞれcosh( t )とsinh( t )です。

双曲関数は、双曲幾何学において平行角を表すために使用されます。特殊相対論では、ローレンツブーストを双曲回転として表すために使用されます。また、多くの線形微分方程式（懸垂線を定義する方程式など）、3次方程式、および直交座標におけるラプラス方程式の解にも現れます。ラプラス方程式は、電磁気学、伝熱、流体力学など、物理学の多くの分野で重要です。

基本的な双曲線関数は以下の通りである: ^[1]

• 双曲線正弦" sinh " ( / ˈ s ɪ ŋ、ˈ s ɪ n tʃ、ˈ ʃ aɪ n / )、^[2]
• 双曲線余弦「cosh 」（/ ˈ kɒʃ 、 ˈ k oʊʃ /） 、^[3]

そこから派生したもの: ^[4]

• 双曲線正接" Tanh " ( / ˈ t æ ŋ、ˈ t æ n tʃ、ˈ θ æ n / )、^[5]
• 双曲余接「 coth 」（ / ˈkɒθ 、 ˈk oʊθ / ）、 [ 6 ^{] [7]}
• 双曲正割" sech " ( / ˈ s ɛ tʃ , ˈ ʃ ɛ k / )、^[8]
• 双曲線余割" csch " または " cosech " ( / ˈ k oʊ s ɛ tʃ , ˈ k oʊ ʃ ɛ k / ^[3] )

導出された三角関数に対応します。

逆双曲線関数は次のとおりです。

• 逆双曲線正弦「arsinh」（「sinh ⁻¹」、「asinh」、または「arcsinh」と表記されることもある）^{[9] [10] [11]}
• 逆双曲線余弦「arcosh」（「cosh ⁻¹」、「acosh」、または「arccosh」と表記されることもある）
• 逆双曲線正接「artanh」（「tanh ⁻¹」、「atanh」、または「arctanh」と表記されることもある）
• 逆双曲余接「アークス」（「アークス⁻¹」、「アークス」、あるいは「アークス」とも表記される）
• 逆双曲正割「arsech」（「sech ⁻¹」、「asech」、または「arcsech」と表記されることもある）
• 逆双曲余割「arcsch」（「arcosech」、「csch ⁻¹」、「cosech ⁻¹」、「acsch」、「acosech」、または「arccsch」や「arccosech」と表記されることもある）

単位双曲線x ² − y ² = 1を通る直線が点(cosh a , sinh a )を通過する。ここでa は直線、双曲線、x軸の間の面積の2倍である。x 軸より下の双曲線上の点については、面積は負とみなされる（三角関数（円関数）との比較を含むアニメーション版を参照）。

双曲関数は、双曲角と呼ばれる実 引数を取ります。双曲角の大きさは、xy = 1に対する双曲扇形の面積です。双曲関数は、この扇形を覆う直角三角形の辺によって定義できます。

複素解析において、通常の正弦関数と余弦関数を虚角に適用すると双曲関数が生じる。双曲正弦関数と双曲余弦関数は整関数である。その結果、他の双曲関数は複素平面全体において有理型となる。

リンデマン・ワイエルシュトラスの定理によれば、双曲関数は引数のゼロでない代数的値すべてに対して超越値を持つ。 ^[12]

歴史

双曲三角法の問題の計算は、1566年頃にメルカトル図法を発表したゲラルドゥス・メルカトルが初めて行ったとされています。この計算では、双曲関数を含む超越方程式の解を表にまとめる必要がありました。^[13]

円の扇形と双曲線の扇形の類似性を最初に示唆したのは、アイザック・ニュートンが1687年に著した『プリンキピア・マテマティカ』である。^[14]

ロジャー・コーツは、虚数単位 を使って三角関数を修正し、長楕円体から扁平楕円体を得ることを提案した。 ^[14] ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

双曲関数は1757年にヴィンチェンツォ・リカッティによって正式に導入されました。^{[14] [13] [15]}リカッティは円関数を表すためにSc.とCc.（正弦/余弦円）を使用し、双曲関数を表すためにSh.とCh.（正弦/余弦双曲^{）を使用しました。 [14]} 1759年には早くもダヴィエ・ド・フォンセネックスは虚数単位を使用して三角関数と双曲関数の互換性を示し、ド・モアブルの公式を双曲関数に拡張しました。^{[15] [14]}

1760年代、ヨハン・ハインリヒ・ランベルトは関数の使用を体系化し、指数表現を様々な出版物で提供した。^{[14] [15]}ランベルトは関数の用語と名前をリカッチに帰したが、略語を今日使用されているものに変更した。^{[15] [16]}

表記

定義

sinhとcoshに比例する脚を持つ直角三角形

双曲線角 uでは、双曲線関数 sinh と cosh は指数関数e ^uで定義できます。^{[1] [4]}図では。 ${\displaystyle A=(e^{-u},e^{u}),\ B=(e^{u},\ e^{-u}),\ OA+OB=OC}$

指数関数の定義

sinh xはe ^xとe ^{− x}の差の半分である。

cosh xはe ^xとe ^{− x}の平均である。

• 双曲線正弦：指数関数の奇数部、つまり $${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$$
• 双曲線余弦：指数関数の偶数部、つまり $${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$$

sinh、cosh、tanh

csch、sech、coth

• 双曲線正接: $${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.}$$
• 双曲余接：x ≠0の場合、 $${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.}$$
• 双曲正割: $${\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.}$$
• 双曲余割: x ≠ 0の場合、 $${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.}$$

微分方程式の定義

双曲線関数は、微分方程式の解として定義できます。双曲線正弦と双曲線余弦は、初期条件を持つシステムの解( s、c )です。初期条件により、解は一意になります。初期条件がなければ、どの関数のペアも解にはなりません。 $${\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x),\\s'(x)&=c(x),\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle s(0)=0,c(0)=1.}$ ${\displaystyle (ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})}$

sinh( x )とcosh( x )は方程式f  ″( x ) = f  ( x )の唯一の解でもあり、双曲線余弦の場合はf  (0) = 1、f  ′(0) = 0となり、双曲線正弦の場合はf  (0) = 0、f  ′(0) = 1 となります。

複雑な三角関数の定義

双曲線関数は、複素引数を持つ三角関数から推定することもできます。

• 双曲線正弦: ^[1] $${\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix).}$$
• 双曲線余弦: ^[1] $${\displaystyle \cosh x=\cos(ix).}$$
• 双曲線正接: $${\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix).}$$
• 双曲線余接: $${\displaystyle \coth x=i\cot(ix).}$$
• 双曲正割: $${\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix).}$$
• 双曲線余割: $${\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix).}$$

ここで、iは虚数単位で、i ² = −1です。

上記の定義は、オイラーの公式を介して指数定義と関連しています（以下の§複素数の双曲線関数を参照）。

特性評価

双曲線余弦

双曲余弦曲線の下の面積（有限区間）は常にその区間に対応する弧の長さに等しいことが示される：^[17] $${\displaystyle {\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}}$$

双曲線正接

双曲正接は、微分方程式 f  ′ = 1 − f  ²（f  (0) = 0 ）の（唯一の）解である。^{[18] [19]}

有用な関係

双曲関数は多くの恒等式を満たし、それらはすべて三角関数の恒等式と形が似ています。実際、オズボーンの定理^[20]（ジョージ・オズボーンにちなんで名付けられました）によれば、、、またはに対する任意の三角関数の恒等式（4次正弦および暗黙の正弦を除く）は、次のように双曲関数の恒等式に変換できます。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\theta }$ ${\displaystyle 3\theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$

1. これを正弦と余弦の積分乗で完全に拡張すると、
2. 正弦をsinhに、余弦をcoshに変更し、
3. 2 つの sinh の積を含むすべての項の符号を切り替えます。

奇数関数と偶数関数: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}}$$

したがって: $${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}$$

したがって、cosh xとsech xは偶関数であり、その他は奇関数です。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}}$$

双曲線正弦と双曲線余弦は次を満たします。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\end{aligned}}}$$

これはオイラーの公式に類似しており、

$${\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}$$

これはピタゴラスの三角関数の恒等式に類似しています。

また、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}}$$

その他の機能については。

引数の合計

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$$特に $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}$$

また： $${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$$

製品配合

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x\,\cosh y&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\cosh(x+y)+\cosh(x-y){\bigr )}\\[5mu]\sinh x\,\sinh y&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\cosh(x+y)-\cosh(x-y){\bigr )}\\[5mu]\sinh x\,\cosh y&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\sinh(x+y)+\sinh(x-y){\bigr )}\\[5mu]\cosh x\,\sinh y&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\sinh(x+y)-\sinh(x-y){\bigr )}\\[5mu]\end{aligned}}}$$

引き算の公式

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$$

また：^[21] $${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$$

半引数式

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}$$

ここで、sgnは符号関数です。

x ≠0の場合、^[22]

$${\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}$$

平方公式

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x-1)\\\cosh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x+1)\end{aligned}}}$$

不平等

次の不等式は統計学で有用である: ^[23] $${\displaystyle \operatorname {cosh} (t)\leq e^{t^{2}/2}.}$$

これは、2 つの関数のテイラー級数を各項ごとに比較することによって証明できます。

逆関数を対数として表す

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

デリバティブ

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

2次導関数

各関数sinhとcosh はその2 次導関数に等しくなります。つまり、次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.}$$

この性質を持つすべての関数はsinhとcoshの線形結合であり、特に指数関数とがそれに該当します。^[24] ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle e^{-x}}$

標準積分

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{-1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}}$$

次の積分は双曲置換法を使って証明できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}$$

ここで、Cは積分定数です。

テイラー級数表現

上記の関数のゼロにおけるテイラー級数（関数がゼロで定義されていない場合はローラン級数）を明示的に表現することができます。

$${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$$この級数はxの任意の複素数値に対して収束します。関数sinh xは奇数なので、テイラー級数に はxの奇指数のみが現れます。

$${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$$この級数はxの任意の複素数値に対して収束します。関数cosh x は偶数なので、テイラー級数にはxの偶数指数のみが含まれます。

sinh 級数と cosh 級数の和は、指数関数の無限級数表現です。

次の級数の後には、その収束領域のサブセットの説明が続きます。ここで、級数は収束し、その和は関数に等しくなります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}}$$

どこ：

• ${\displaystyle B_{n}}$n番目のベルヌーイ数である
• ${\displaystyle E_{n}}$n番目のオイラー数である

無限積と連分数

複素平面全体では次のような展開が有効です。

${\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}}$

円関数との比較

(1, 1)における円と双曲線の接線は、円弧面積uに基づく円関数と、双曲線面積uに依存する双曲線関数の幾何学を表示します。

双曲線関数は、円関数を超えた三角法の拡張を表します。どちらの関数も、円角または双曲線角のいずれかの引数に依存します。

半径r、角度u (ラジアン)の扇形の面積はr 2 ^u / 2なので、 r = √ 2のとき、面積はuと等しくなります。図では、このような円は(1, 1)において双曲線xy = 1に接しています。黄色の扇形は面積と角度の大きさを表しています。同様に、黄色と赤色の領域は、面積が双曲線の角度の大きさに対応する双曲扇形を表しています。

角度を定義する放射状の斜辺を持つ2 つの直角三角形の脚の長さは、円関数と双曲線関数 の√ 2倍です。

双曲角は、円角が回転に対して不変であるのと同様に、スクイーズ写像に関して不変の測度である。^[25]

グーデルマン関数は、複素数を含まない円関数と双曲線関数の間の直接的な関係を与えます。

関数⁠ ⁠のグラフは ${\displaystyle a\cosh(x/a)}$懸垂線、つまり均一な重力下にある 2 つの固定点の間に自由に垂れ下がった均一で柔軟な鎖によって形成される曲線です。

指数関数との関係

指数関数を偶数部と奇数部に分解すると、恒等式と が得られます。これをオイラーの公式と組み合わせると、一般的な複素指数関数が得られ ます。 $${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x,}$$ $${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.}$$ $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$ $${\displaystyle e^{x+iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)}$$

さらに、 $${\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}$$

複素数の双曲線関数

複素平面上の双曲線関数

${\displaystyle \sinh(z)}$	${\displaystyle \cosh(z)}$	${\displaystyle \tanh(z)}$	${\displaystyle \coth(z)}$	${\displaystyle \operatorname {sech} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {csch} (z)}$

指数関数は任意の複素引数に対して定義できるため、双曲関数の定義を複素引数に拡張することもできます。この場合、関数sinh zとcosh zは正則関数となります。

通常の三角関数との関係は、複素数のオイラーの公式によって与えられます。 つまり、 $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(x+iy)&={\frac {\tanh(x)+i\tan(y)}{1+i\tanh(x)\tan(y)}}\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}$$

したがって、双曲線関数は虚数成分に関して周期的であり、周期は（双曲線正接と双曲線余接の場合）です。 ${\displaystyle 2\pi i}$ ${\displaystyle \pi i}$

参照

• e（数学定数）
• sinhに基づく等しい内接円定理
• 双曲線関数
• 双曲線成長
• 逆双曲線関数
• 双曲線関数の積分一覧
• ポアンソの螺旋
• シグモイド関数
• ソボレバ修正双曲線正接
• 三角関数

参考文献

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外部リンク

• 「双曲関数」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• PlanetMathの双曲線関数
• GonioLab: 単位円、三角関数、双曲線関数の可視化 ( Java Web Start )
• 双曲線関数のWebベースの計算機

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