4-dimensional figure
球面円錐の母線（赤）、 緯線（緑）、および上経線（青）の ステレオ投影。ステレオ投影の 等角 性により 、曲線は4次元と同様に互いに直交（黄色の点）します。すべての曲線は円または直線です。母線と緯線は3次元の双円錐を生成します。上経線は同心球の集合を生成します。 幾何学 において 、 超円錐 （または 球面円錐 ）は、4次元 ユークリッド空間 内の次の式で表される
図形である。
x 2 + y 2 + z 2 − w 2 = 0. {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-w^{2}=0.} これは 二次 曲面であり、 3次元 円錐面 の4次元版 である3次元多様体の一つです。w 軸 に垂直な 超平面との交点が 球面 となるため、「球面円錐」とも呼ばれます 。4次元 直角超円錐は 、単一の点源から膨張を開始し、中心が固定されたまま時間とともに膨張する球面と考えることができます。 斜角超円錐は 、やはり点源から膨張を開始し、中心が等速度で移動しながら時間とともに膨張する球面です。
直球面超円錐は関数
σ → ( ϕ , θ , t ) = ( t s cos θ cos ϕ , t s cos θ sin ϕ , t s sin θ , t ) {\displaystyle {\vec {\sigma }}(\phi ,\theta ,t)=(ts\cos \theta \cos \phi ,ts\cos \theta \sin \phi ,ts\sin \theta ,t)} 頂点が原点にあり、膨張速度が s です 。
半径r 、高さ h の直球面超円錐は、 次の関数で表すことができます。
σ → ( ϕ , θ , t ) = ( t cos ϕ sin θ , t sin ϕ sin θ , t cos θ , h r t ) {\displaystyle {\vec {\sigma }}(\phi ,\theta ,t)=\left(t\cos \phi \sin \theta ,t\sin \phi \sin \theta ,t\cos \theta ,{\frac {h}{r}}t\right)} 斜球面超円錐は次のような関数で記述できる。
σ → ( ϕ , θ , t ) = ( v x t + t s cos θ cos ϕ , v y t + t s cos θ sin ϕ , v z t + t s sin θ , t ) {\displaystyle {\vec {\sigma }}(\phi ,\theta ,t)=(v_{x}t+ts\cos \theta \cos \phi ,v_{y}t+ts\cos \theta \sin \phi ,v_{z}t+ts\sin \theta ,t)} ここで、 は膨張する球の中心の3次元速度です。このような円錐の例としては、 移動する基準系から見た膨張する 音波が挙げられます。例えば、ジェット機自身の基準系から見た ジェット機 の音波などが挙げられます。 ( v x , v y , v z ) {\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})}
上記の 3D サーフェスは、 4D ハイパーボリューム (つまり 4 つの円錐) を囲んでいることに注意してください。
幾何学的解釈 球面円錐は、原点で交わる2つの無限 ナップ から構成され、3次元円錐面のナップに類似しています。 上側のナップは正の w 座標を持つ半分に対応し 、 下側のナップは負の w 座標を持つ半分に対応します 。
もしそれが、ある非零の rに対して w = 0 と w = r の 超平面の間に制限されているならば、それは (0,0,0, r ) を中心とする半径 rの 三次元球体 によって閉じられ 、有限の4次元体積を囲む。この体積は、以下の式で与えられる 。 1 / 3 π r 4であり、 円錐 の4次元版です 。球体は4次元円錐のナップの底部にある「蓋」と考えることができ、原点は円錐の「頂点」になります。
この図形は、 様々な方法で3次元空間に 投影 できます。xyz 超 平面 に投影した場合、その像は 球体 になります。xyw、xzw、またはyzw超平面に投影した場合 、 その 像 は 立体円錐になります 。 斜超平面に投影した場合、その像は 楕円体 、または楕円体底面を持つ立体円錐（ アイスクリームコーン に似た形状）になります。これらの像は、立体円錐を2次元に投影した場合に考えられる像の類似物です。
工事 （半）超円錐は、三次元円錐の構築に類似した方法で構築できます。三次元円錐は、徐々に小さくなる円板を積み重ね、最終的に尖端に向かって細くなるようにしたものと考えることができます。あるいは、三次元円錐は、直立した 二等辺三角形 が底辺を中心に回転する際に広がる体積と考えることもできます。
4D 超円錐も同様に構築できます。つまり、徐々に小さくなるボールを 4 番目の方向に積み重ねて、先端が細くなるまで積み重ねるか、または 4 番目の方向に直立した四面体が、その上にある 3D 超平面の底面の周りを自由に回転するときに広がる超体積を取ることによって構築できます。
測定
ハイパーボリューム 4次元ピラミッドと円錐の超体積は
H = 1 4 V h {\displaystyle H={\frac {1}{4}}Vh} ここで、 V は底面積、 h は高さ（底面積の中心と頂点の間の距離）である。底面積が の球面円錐の場合 、超体積は V = 4 3 π r 3 {\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}
H = 1 4 V h = 1 4 ( 4 3 π r 3 ) h = 1 3 π r 3 h {\displaystyle H={\frac {1}{4}}Vh={\frac {1}{4}}\left({\frac {4}{3}}\pi r^{3}\right)h={\frac {1}{3}}\pi r^{3}h}
表面体積 直球面錐の側面積は です。 ここで は球面底の半径、 は円錐の斜高（球面の2次元面と頂点の間の距離）です。球面底の表面積は、どの球面の場合でも同じです 。したがって、直球面錐の全表面積は次のように表すことができます。 L S V = 4 3 π r 2 l {\textstyle LSV={\frac {4}{3}}\pi r^{2}l} r {\displaystyle r} l {\displaystyle l} 4 3 π r 3 {\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}
4 3 π r 3 + 4 3 π r 2 r 2 + h 2 {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}+{\frac {4}{3}}\pi r^{2}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}
（底面の体積と側面の3D表面の体積の合計。この項 は斜高です） r 2 + h 2 {\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}
4 3 π r 2 ( r + r 2 + h 2 ) {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{2}\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}
ここで は半径、 は 高さです。 r {\displaystyle r} h {\displaystyle h}
4 3 π r 3 + 4 3 π r 2 l {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}+{\frac {4}{3}}\pi r^{2}l}
4 3 π r 2 ( r + l ) {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{2}\left(r+l\right)}
ここで 、 は半径、 は 斜面の高さです。 r {\displaystyle r} l {\displaystyle l}
1 3 A r + 1 3 A l {\displaystyle {\frac {1}{3}}Ar+{\frac {1}{3}}Al}
1 3 A ( r + l ) {\displaystyle {\frac {1}{3}}A\left(r+l\right)}
ここで 、 は底面積、 は半径、 は 斜高です。 A {\displaystyle A} r {\displaystyle r} l {\displaystyle l}
時間的解釈 球面円錐の方程式のw 座標を距離 ct（ t は 座標 時間 、 c は 光速 （定数））と解釈する と、それは 特殊相対論 における 光円錐 の形状となります。この場合、方程式は通常次のように表されます。
x 2 + y 2 + z 2 − ( c t ) 2 = 0 , {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}=0,} これは光の球面波面 の式でもある 。 [1] 上側のナップは 未来光円錐 、下側のナップは 過去光円錐 である。 [2]
参照
参考文献 
