超弾性材料

Constitutive model for ideally elastic material

さまざまな超弾性材料モデルの応力-ひずみ曲線。

超弾性材料またはグリーン弾性材料^[1]は、応力-ひずみ関係がひずみエネルギー密度関数から導かれる理想弾性材料の構成モデルの一種である。超弾性材料はコーシー弾性材料の特殊なケースである。

多くの材料では、線形弾性モデルは観察される材料挙動を正確に記述しません。この種の材料の最も一般的な例はゴムであり、その応力-ひずみ関係は非線形弾性、等方性、非圧縮性と定義できます。超弾性は、このような材料の応力-ひずみ挙動をモデル化する手段を提供します。^{[2]充填されていない}加硫 エラストマーの挙動は、多くの場合、超弾性の理想化に密接に従います。充填されたエラストマーや生物組織^{[3] [4]}もまた、超弾性の理想化によってモデル化されることがよくあります。超弾性材料は、物理材料のモデル化に使用されるだけでなく、例えば第三媒質接触法などの架空媒質としても使用されます。

ロナルド・リブリンとメルビン・ムーニーは、最初の超弾性モデルであるネオ・フック固体とムーニー・リブリン固体を開発しました。その後、多くの超弾性モデルが開発されました。その他、広く使用されている超弾性材料モデルには、オグデンモデルとアルーダ・ボイスモデルがあります。

超弾性材料モデル

サン・ヴナン・キルヒホッフモデル

最も単純な超弾性材料モデルは、サン・ヴナン・キルヒホッフモデルです。これは、幾何学的に線形な弾性材料モデルを幾何学的に非線形な領域に拡張したものです。このモデルは、それぞれ一般形と等方形を持ちます。ここで、 はテンソル収縮、は2次ピオラ・キルヒホッフ応力、は4次の剛性テンソル、はラグランジュ・グリーンひずみで、はラメ定数、 は2次の単位テンソルです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}&={\boldsymbol {C}}:{\boldsymbol {E}}\\{\boldsymbol {S}}&=\lambda ~{\text{tr}}({\boldsymbol {E}}){\boldsymbol {\mathit {I}}}+2\mu {\boldsymbol {E}}{\text{.}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbin {:} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}\in \mathbb {R} ^{3\times 3\times 3\times 3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{\textsf {T}}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{\textsf {T}}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]\,\!}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathit {I}}}}$

サン・ヴナン・キルヒホッフモデルの単位体積あたりのひずみエネルギー密度（基準配置）関数は $${\displaystyle W({\boldsymbol {E}})={\frac {\lambda }{2}}[{\text{tr}}({\boldsymbol {E}})]^{2}+\mu {\text{tr}}{\mathord {\left({\boldsymbol {E}}^{2}\right)}}}$$

そして、第2のピオラ・キルヒホッフ応力は、次の関係から導かれる。 $${\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}~.}$$

超弾性材料モデルの分類

超弾性材料モデルは次のように分類できます。

1. 観察された行動の現象学的記述
   • フォン
   • ムーニー・リブリン
   • オグデン
   • 多項式
   • サン・ヴナン・キルヒホフ
   • ヨー
   • マーロウ
2. 物質の基礎構造に関する議論から導き出されたメカニズムモデル
   • アルーダ・ボイスモデル^[5]
   • ネオ・フックモデル^[1]
   • ブーシェ・シルバーシュタインモデル^[6]
3. 現象論的モデルと機械論的モデルのハイブリッド
   • ゲント
   • ファンデルワールス

一般に、超弾性モデルはドラッカーの安定基準を満たす必要があります。一部の超弾性モデルは、ひずみエネルギー関数が主伸張 の個別の関数の和に分離できるというヴァラニス-ランデル仮説を満たします。 ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$ $${\displaystyle W=f(\lambda _{1})+f(\lambda _{2})+f(\lambda _{3})\,.}$$

応力-ひずみ関係

圧縮性超弾性材料

第一ピオラ・キルヒホッフ応力

がひずみエネルギー密度関数である場合、超弾性材料の第1ピオラ・キルヒホッフ応力テンソルは、次のように計算できる 。ここで、は変形勾配である。ラグランジュ・グリーンひずみ（） と右コーシー・グリーン変形テンソル（）を用いて、 ${\displaystyle W({\boldsymbol {F}})}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{iK}={\frac {\partial W}{\partial F_{iK}}}.}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{iK}=F_{iL}~{\frac {\partial W}{\partial E_{LK}}}~.}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=2~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{iK}=2~F_{iL}~{\frac {\partial W}{\partial C_{LK}}}~.}$$

第二ピオラ・キルヒホッフ応力

が第2 ピオラ-キルヒホッフ応力テンソルである場合、ラグランジュ グリーンひずみに関して、 右コーシー-グリーン変形テンソルに関して、上記の関係は、物質構成におけるドイル-エリクセンの式としても知られています。 ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\qquad {\text{or}}\qquad S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}{\frac {\partial W}{\partial F_{kJ}}}~.}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\qquad {\text{or}}\qquad S_{IJ}={\frac {\partial W}{\partial E_{IJ}}}~.}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=2~{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\qquad {\text{or}}\qquad S_{IJ}=2~{\frac {\partial W}{\partial C_{IJ}}}~.}$$

コーシーストレス

同様に、コーシー応力は次のように表される。ラグランジュ・グリーンひずみに関して、右コーシー・グリーン変形テンソルに関して。上記の式は異方性媒質に対しても有効である（この場合、ポテンシャル関数は初期の繊維配向などの参照方向量に暗黙的に依存すると理解される）。等方性の特殊なケースでは、コーシー応力は左コーシー・グリーン変形テンソルを用いて次のように表される。 ^[7] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{J}}~{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}~;~~J:=\det {\boldsymbol {F}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {1}{J}}~{\frac {\partial W}{\partial F_{iK}}}~F_{jK}~.}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {1}{J}}~F_{iK}~{\frac {\partial W}{\partial E_{KL}}}~F_{jL}~.}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {2}{J}}~F_{iK}~{\frac {\partial W}{\partial C_{KL}}}~F_{jL}~.}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {B}}}}\cdot ~{\boldsymbol {B}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {2}{J}}~B_{ik}~{\frac {\partial W}{\partial B_{kj}}}~.}$$

非圧縮性超弾性材料

非圧縮性材料の場合、非圧縮性制約は となる。超弾性材料の非圧縮性を保証するために、ひずみエネルギー関数は次のように表すことができる。ここで、静水圧は非圧縮性制約を強制するラグランジュ乗数として機能し、第1ピオラ・キルヒホッフ応力は次のようになる。この応力テンソルは、その後、コーシー応力テンソルなどの他の従来の応力テンソルに変換することができる。コーシー応力テンソルは、次の ように表される。 ${\displaystyle J:=\det {\boldsymbol {F}}=1}$ ${\displaystyle J-1=0}$ $${\displaystyle W=W({\boldsymbol {F}})-p~(J-1)}$$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=-p~J{\boldsymbol {F}}^{-{\textsf {T}}}+{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}=-p~{\boldsymbol {F}}^{-{\textsf {T}}}+{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}=-p~{\boldsymbol {F}}^{-{\textsf {T}}}+2~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}~.}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {P}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}~.}$$

コーシーストレスの表現

圧縮性等方性超弾性材料

等方性超弾性材料の場合、コーシー応力は左コーシー・グリーン変形テンソル（または右コーシー・グリーン変形テンソル）の不変量で表すことができます。ひずみエネルギー密度関数がの場合、（これらの記号の定義については、左コーシー・グリーン変形テンソルのページを参照してください）。 $${\displaystyle W({\boldsymbol {F}})={\hat {W}}(I_{1},I_{2},I_{3})={\bar {W}}({\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J)={\tilde {W}}(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\frac {2}{\sqrt {I_{3}}}}\left[\left({\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2{\sqrt {I_{3}}}~{\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\\[5pt]&={\frac {2}{J}}\left[{\frac {1}{J^{2/3}}}\left({\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\frac {1}{J^{4/3}}}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial J}}-{\frac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\\[5pt]&={\frac {2}{J}}\left[\left({\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\bar {\boldsymbol {B}}}-{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}\right]+\left[{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial J}}-{\frac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\\[5pt]&={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~{\frac {\partial {\tilde {W}}}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~{\frac {\partial {\tilde {W}}}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~{\frac {\partial {\tilde {W}}}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\end{aligned}}}$$

証明1

超弾性材料の 2 番目の Piola–Kirchhoff 応力テンソルは、次のように定義されます。ここで、は右 Cauchy–Green 変形テンソル、は変形勾配です。Cauchy応力は、次のように定義されます。ここで、 を 3 つの主な不変量とします。すると 、対称テンソルの不変量の導関数は、次のようになります。この式を Cauchy 応力の式に代入すると 、次のようになります。左 Cauchy–Green 変形テンソルを使用し、 とすると、次の式を作成できます 。非圧縮性材料の場合は となり、したがって となります。すると、したがって、Cauchy 応力は次のように定義されます 。ここで、は未定圧力であり、非圧縮性制約を強制するラグランジュ乗数として機能します。 $${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=2~{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\frac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$$ ${\displaystyle J=\det {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}~.}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}~;~~{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}=I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {C}}~;~~{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}=\det({\boldsymbol {C}})~{\boldsymbol {C}}^{-1}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}})+{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~I_{3}~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~.}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~\left[{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}-{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T})+{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~I_{3}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\right]}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$ ${\displaystyle I_{3}=J^{2}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{\sqrt {I_{3}}}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2~{\sqrt {I_{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}$$ ${\displaystyle I_{3}=1}$ ${\displaystyle W=W(I_{1},I_{2})}$ $${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}})}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}$$ ${\displaystyle p}$

さらに、 ならば、となり、したがって、その場合、コーシー応力は次のように表される。 ${\displaystyle I_{1}=I_{2}}$ ${\displaystyle W=W(I_{1})}$ $${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}$$

証明2

等容積変形勾配は と定義され、その結果、等容積変形勾配の行列式は1となる。つまり、体積伸縮は発生しない。これを用いて、等容積左コーシー・グリーン変形テンソル を定義できる。 の不変量はである。変形挙動を定義するために使用される不変量集合は、等容積左コーシー・グリーン変形テンソルの最初の2つの不変量（これらは右コーシー・グリーン伸縮テンソルの不変量と同一）であり、これらが体積挙動を記述するために加わる。 ${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {F}}}:=J^{-1/3}{\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}:={\bar {\boldsymbol {F}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {F}}}^{T}=J^{-2/3}{\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {I}}_{1}&={\text{tr}}({\bar {\boldsymbol {B}}})=J^{-2/3}{\text{tr}}({\boldsymbol {B}})=J^{-2/3}I_{1}\\{\bar {I}}_{2}&={\frac {1}{2}}\left({\text{tr}}({\bar {\boldsymbol {B}}})^{2}-{\text{tr}}({\bar {\boldsymbol {B}}}^{2})\right)={\frac {1}{2}}\left(\left(J^{-2/3}{\text{tr}}({\boldsymbol {B}})\right)^{2}-{\text{tr}}(J^{-4/3}{\boldsymbol {B}}^{2})\right)=J^{-4/3}I_{2}\\{\bar {I}}_{3}&=\det({\bar {\boldsymbol {B}}})=J^{-6/3}\det({\boldsymbol {B}})=J^{-2}I_{3}=J^{-2}J^{2}=1\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle J}$

コーシー応力を不変量で表すには、次の式を思い出してください。微分連鎖律は次式を与えます。コーシー応力は次式で与えられます。不変量を用いると、次式を得られます。 の微分方程式を について代入すると、次式を得られます。の偏差項を用いると、次式を得られます 。非圧縮性物質の場合はとなります。したがって となります。コーシー応力は次式で与えられます 。ここでは未定の圧力のようなラグランジュ乗数項です。さらに の場合は となり、したがってコーシー応力は次式で表されます。 ${\displaystyle {\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J}$ $${\displaystyle {\bar {I}}_{1}=J^{-2/3}~I_{1}=I_{3}^{-1/3}~I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}=J^{-4/3}~I_{2}=I_{3}^{-2/3}~I_{2}~;~~J=I_{3}^{1/2}~.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}&={\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}~{\frac {\partial {\bar {I}}_{1}}{\partial I_{1}}}+{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\frac {\partial {\bar {I}}_{2}}{\partial I_{1}}}+{\frac {\partial W}{\partial J}}~{\frac {\partial J}{\partial I_{1}}}\\&=I_{3}^{-1/3}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}=J^{-2/3}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}\\{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}&={\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}~{\frac {\partial {\bar {I}}_{1}}{\partial I_{2}}}+{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\frac {\partial {\bar {I}}_{2}}{\partial I_{2}}}+{\frac {\partial W}{\partial J}}~{\frac {\partial J}{\partial I_{2}}}\\&=I_{3}^{-2/3}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}=J^{-4/3}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\\{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}&={\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}~{\frac {\partial {\bar {I}}_{1}}{\partial I_{3}}}+{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\frac {\partial {\bar {I}}_{2}}{\partial I_{3}}}+{\frac {\partial W}{\partial J}}~{\frac {\partial J}{\partial I_{3}}}\\&=-{\frac {1}{3}}~I_{3}^{-4/3}~I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}-{\frac {2}{3}}~I_{3}^{-5/3}~I_{2}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}+{\frac {1}{2}}~I_{3}^{-1/2}~{\frac {\partial W}{\partial J}}\\&=-{\frac {1}{3}}~J^{-8/3}~J^{2/3}~{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}-{\frac {2}{3}}~J^{-10/3}~J^{4/3}~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}+{\frac {1}{2}}~J^{-1}~{\frac {\partial W}{\partial J}}\\&=-{\frac {1}{3}}~J^{-2}~\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}~J^{-1}~{\frac {\partial W}{\partial J}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{\sqrt {I_{3}}}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2~{\sqrt {I_{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}$$ ${\displaystyle {\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+J^{2/3}~{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2~J~{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}$$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\frac {2}{J}}~\left[\left(J^{-2/3}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+J^{-2/3}~{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-J^{-4/3}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\\&\qquad 2~J~\left[-{\frac {1}{3}}~J^{-2}~\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}~J^{-1}~{\frac {\partial W}{\partial J}}\right]~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\frac {2}{J}}~\left[{\frac {1}{J^{2/3}}}~\left({\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {1}{J^{4/3}}}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]\\&\qquad +\left[{\frac {\partial W}{\partial J}}-{\frac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\frac {2}{J}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}\right]\\&\qquad +\left[{\frac {\partial W}{\partial J}}-{\frac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle J=1}$ ${\displaystyle W=W({\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2})}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2\left[\left({\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}\right]-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\bar {I}}_{1}={\bar {I}}_{2}}$ ${\displaystyle W=W({\bar {I}}_{1})}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}$$

証明3

コーシー応力を伸縮 で表すには、次のことを思い出してください。連鎖律は次式を与えます。コーシー応力は次式で与えられます。の導関数の式を代入すると 、次の式になります。のスペクトル分解を使用すると、次の式が得られ ます。また、次の式にも注意してください 。したがって、コーシー応力の式は、次のように書くことができます。非圧縮性材料の場合は であり、したがって です。Ogden ^[1] p. 485に従って、次のように書くことができます。この段階では注意が必要です。固有値が繰り返される場合、一般にはガトー微分 のみ可能で、フレシェ微分 は不可能です。^{[8] [9]}厳密なテンソル微分は、別の固有値問題を解くことによってのみ見つけることができます。 ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \lambda _{i}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {1}{2\lambda _{i}}}~{\boldsymbol {R}}^{T}\cdot (\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})\cdot {\boldsymbol {R}}~;~~i=1,2,3~.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}&={\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~{\frac {\partial \lambda _{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~{\frac {\partial \lambda _{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~{\frac {\partial \lambda _{3}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\\&={\boldsymbol {R}}^{T}\cdot \left[{\frac {1}{2\lambda _{1}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\frac {1}{2\lambda _{2}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\frac {1}{2\lambda _{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\right]\cdot {\boldsymbol {R}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\frac {2}{J}}~({\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {R}})\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot ({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {V}})}$$ ${\displaystyle W}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~{\boldsymbol {V}}\cdot \left[{\frac {1}{2\lambda _{1}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\frac {1}{2\lambda _{2}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\frac {1}{2\lambda _{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\right]\cdot {\boldsymbol {V}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {V}}\cdot (\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})\cdot {\boldsymbol {V}}=\lambda _{i}^{2}~\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}~;~~i=1,2,3.}$$ $${\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})=\det({\boldsymbol {V}})\det({\boldsymbol {R}})=\det({\boldsymbol {V}})=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}~.}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~\left[\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda _{2}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\right]}$$ ${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1}$ ${\displaystyle W=W(\lambda _{1},\lambda _{2})}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda _{2}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~}$$

応力を成分間の差で表すと、非圧縮性に加えて、問題に対する可能な解決策は、応力差を次のように表すことができる。 $${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}}$$ ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{11}=\sigma _{22}}$ $${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}}$$

非圧縮性等方性超弾性材料

非圧縮性等方性超弾性材料の場合、ひずみエネルギー密度関数は である。コーシー応力は で与えられる。ここでは未定圧力である。応力差の観点から、に加えて であれば、 であれば、 ${\displaystyle W({\boldsymbol {F}})={\hat {W}}(I_{1},I_{2})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2\left[\left({\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]\\&=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2\left[\left({\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}\right]\\&=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda _{2}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}}$$ ${\displaystyle I_{1}=I_{2}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}$$ ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}}$ $${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}}$$

線形弾性との一貫性

線形弾性との整合性は、超弾性材料モデルのいくつかのパラメータを決定する際にしばしば用いられます。これらの整合性条件は、フックの法則と微小ひずみにおける線形化された超弾性を比較することで見つけることができます。

等方性超弾性モデルの整合性条件

等方性超弾性材料が等方性線形弾性と整合するためには、微小ひずみ極限において応力-ひずみ関係が以下の形をとる必要がある。ここで、はラメ定数である。上記の関係に対応するひずみエネルギー密度関数は^[1]である。 非圧縮性材料の場合、およびは、 以下の式で表される。微小ひずみにおいて、任意のひずみエネルギー密度関数が上記の形に縮約されるためには、以下の条件を満たす必要がある^[1]。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda ~\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$$ ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ $${\displaystyle W={\tfrac {1}{2}}\lambda ~[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{2}+\mu ~\mathrm {tr} {\mathord {\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2}\right)}}}$$ ${\displaystyle \mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=0}$ $${\displaystyle W=\mu ~\mathrm {tr} {\mathord {\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2}\right)}}}$$ ${\displaystyle W(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&W(1,1,1)=0~;~~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}(1,1,1)=0\\&{\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{i}\partial \lambda _{j}}}(1,1,1)=\lambda +2\mu \delta _{ij}\end{aligned}}}$$

材料が非圧縮性の場合、上記の条件は以下の形式で表すことができます。これらの条件は、与えられた超弾性モデルのパラメータとせん断弾性率および体積弾性率との関係を求めるために使用できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&W(1,1,1)=0\\&{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}(1,1,1)={\frac {\partial W}{\partial \lambda _{j}}}(1,1,1)~;~~{\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{i}^{2}}}(1,1,1)={\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{j}^{2}}}(1,1,1)\\&{\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{i}\partial \lambda _{j}}}(1,1,1)=\mathrm {independentof} ~i,j\neq i\\&{\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{i}^{2}}}(1,1,1)-{\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{i}\partial \lambda _{j}}}(1,1,1)+{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}(1,1,1)=2\mu ~~(i\neq j)\end{aligned}}}$$

非圧縮性の一貫性条件私₁ベースゴム材料

多くのエラストマーは、 のみに依存するひずみエネルギー密度関数によって適切にモデル化されます。このような材料では、 が成り立ちます。 に対する非圧縮性材料の整合性条件は、次のように表すことが できます。上記の2番目の整合性条件は、 であることに注意することで導き出すことができます。 これらの関係は、等方性非圧縮性超弾性材料の整合性条件に代入できます。 ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle W=W(I_{1})}$ ${\displaystyle I_{1}=3,\lambda _{i}=\lambda _{j}=1}$ $${\displaystyle \left.W(I_{1})\right|_{I_{1}=3}=0\quad {\text{and}}\quad \left.{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}\right|_{I_{1}=3}={\frac {\mu }{2}}\,.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}{\frac {\partial I_{1}}{\partial \lambda _{i}}}=2\lambda _{i}{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{i}\partial \lambda _{j}}}=2\delta _{ij}{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+4\lambda _{i}\lambda _{j}{\frac {\partial ^{2}W}{\partial I_{1}^{2}}}\,.}$$

参考文献

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3. Gao, H; Ma, X; Qi, N; Berry, C; Griffith, BE; Luo, X (2014). 「流体構造相互作用を考慮した有限ひずみ非線形ヒト僧帽弁モデル」. Int J Numer Methods Biomed Eng . 30 (12): 1597– 613. doi :10.1002/cnm.2691. PMC 4278556. PMID 25319496  . 
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5. Arruda, EM; Boyce, MC (1993). 「ゴム弾性材料の大伸長挙動に関する3次元モデル」(PDF) . J. Mech. Phys. Solids . 41 : 389– 412. doi :10.1016/0022-5096(93)90013-6. S2CID  136924401.
6. Buche, MR; Silberstein, MN (2020). 「ポリマーネットワークの統計力学的構成理論：分布、挙動、そしてアンサンブル間の切っても切れない関係」. Phys. Rev. E. 102 ( 1) 012501. arXiv : 2004.07874 . Bibcode :2020PhRvE.102a2501B. doi :10.1103/PhysRevE.102.012501. PMID:  32794915. S2CID  : 215814600.
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9. Friswell MI.重複固有値の導関数とそれに関連する固有ベクトル. Journal of Vibration and Acoustics (ASME) 1996; 118:390–397.

参照

• コーシー弾性材料
• 連続体力学
• 変形（力学）
• 有限ひずみ理論
• オグデン・ロックスバラモデル
• ゴム弾性
• ストレス対策
• 応力（力学）

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