Type of generalized function
数学 において 、 超関数（ハイパーファンクション） とは、境界においてある 正則関数 から別の正則関数への「ジャンプ」として関数を一般化したものを指し、非公式には無限階の超 関数と考えることができる。超関数は、 ローラン・シュワルツ 、 グロタンディーク ら
による初期の研究を基に、1958年に 佐藤幹夫 によって日本語で（英語では1959年、1960年に） 導入された。
実数直線上の超関数は、 上半平面上で定義された正則関数と下半平面上で定義された別の正則関数の「差」として考えることができます。つまり、超関数は ( f , g ) のペアで指定されます。ここで f は上半平面上の正則関数であり、 g は下半平面上の正則関数です。
非公式には、超関数とは実数直線自体における 差のことです。この差は f と g の 両方に同じ正則関数を加えても影響を受けません。したがって、 h が 複素平面 全体における正則関数である場合 、超関数 ( f , g ) と ( f + h , g + h ) は同値であると定義されます。 f − g {\displaystyle f-g}
1次元での定義 この動機は、層コホモロジー の考え方を用いて具体的に実現できる 。 を 上の 正則関数 の 層とし 、 実数直線 上の超関数を 第一 局所コホモロジー 群として定義する。 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} C . {\displaystyle \mathbb {C} .}
B ( R ) = H R 1 ( C , O ) . {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )=H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}}).} 具体的には、 上半平面 と 下半平面 をそれぞれとし ます 。すると 、 C + {\displaystyle \mathbb {C} ^{+}} C − {\displaystyle \mathbb {C} ^{-}} C + ∪ C − = C ∖ R {\displaystyle \mathbb {C} ^{+}\cup \mathbb {C} ^{-}=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} }
H R 1 ( C , O ) = [ H 0 ( C + , O ) ⊕ H 0 ( C − , O ) ] / H 0 ( C , O ) . {\displaystyle H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}})=\left[H^{0}(\mathbb {C} ^{+},{\mathcal {O}})\oplus H^{0}(\mathbb {C} ^{-},{\mathcal {O}})\right]/H^{0}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}}).} 任意の層のゼロ次コホモロジー群は単にその層のグローバルセクションであるため、ハイパー関数は、全正則関数を法として、上部複素半平面と下部複素半平面上に 1 つずつ存在する 1 組の正則関数であることが分かります。
より一般的には、 任意の開集合 の 商を として定義することができます。 ここで、は を満たす 任意 の開集合 です 。この定義は、超関数を正則関数の「境界値」と考える別の理由を与えるという選択に依存しないことを示すことができます 。 B ( U ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(U)} U ⊆ R {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} } H 0 ( U ~ ∖ U , O ) / H 0 ( U ~ , O ) {\displaystyle H^{0}({\tilde {U}}\setminus U,{\mathcal {O}})/H^{0}({\tilde {U}},{\mathcal {O}})} U ~ ⊆ C {\displaystyle {\tilde {U}}\subseteq \mathbb {C} } U ~ ∩ R = U {\displaystyle {\tilde {U}}\cap \mathbb {R} =U} U ~ {\displaystyle {\tilde {U}}}
例 f が 複素平面全体の任意の正則関数である 場合、 実軸への fの制限は超関数であり、( f , 0) または (0, − f ) のいずれかで表されます。 ヘヴィ サイドのステップ関数は、 z の 複素対数の主値 として 表す ことができます 。 H ( x ) = ( 1 − 1 2 π i log ( z ) , − 1 2 π i log ( z ) ) . {\displaystyle H(x)=\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log(z),-{\frac {1}{2\pi i}}\log(z)\right).} log ( z ) {\displaystyle \log(z)} ディラック のデルタ「関数」 は次のように表されます。これは実際には コーシーの積分公式 の言い換えです。これを検証するには 、実数直線のすぐ下で f の積分を計算し、実数直線のすぐ上で gの積分を減算します。どちらも左から右へ計算します。この超関数は、たとえ成分が同じ関数の 解析接続 であっても、自明ではない場合があることに注意してください 。また、これはヘヴィサイド関数を微分することで簡単に確認できます。 ( 1 2 π i z , 1 2 π i z ) . {\displaystyle \left({\dfrac {1}{2\pi iz}},{\dfrac {1}{2\pi iz}}\right).} g が実数直線上の 連続関数 （より一般的には 超関数 ）で、台が有界区間 I に含まれる場合 、 g は 超関数 ( f , − f ) に対応します。ここで fは I の補関数上の正則関数で、次 のように定義されます。 この関数 fは、点 x で実軸と交差するときに 値が g ( x ) だけ変化します。 f の式は、 前の例から、 g を ディラックのデルタ関数との 畳み込み として表すことで得られます。 f ( z ) = 1 2 π i ∫ x ∈ I g ( x ) 1 z − x d x . {\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{x\in I}g(x){\frac {1}{z-x}}\,dx.} 単位分割 を用いると、任意の 連続関数（分布）を、コンパクト台を持つ関数（分布）の局所有限和として表すことができる。これを利用して、上記の埋め込みを埋め込みに拡張することができる。 D ′ ( R ) → B ( R ) . {\displaystyle \textstyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )\to {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).} f が0 における 本質的特異点 （例えば e 1/ z ） を除いてどこでも正則な関数である 場合、 は 台 が 0である超関数であり、超関数で はない。f が 0 において有限位数の極を持つ場合、 は超関数であるため、 f が 本質的特異点を持つ 場合 、 0 において「無限位数の超関数」のように見える。（超関数は常に任意の点で 有限 位数を持つことに注意。） ( f , − f ) {\displaystyle (f,-f)} ( f , − f ) {\displaystyle (f,-f)} ( f , − f ) {\displaystyle (f,-f)}
超関数の演算 任意の開部分集合とします 。 U ⊆ R {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }
定義により、 複素数の加算と乗算が明確に定義されるベクトル空間です。明示的には、 B ( U ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(U)} a ( f + , f − ) + b ( g + , g − ) := ( a f + + b g + , a f − + b g − ) {\displaystyle a(f_{+},f_{-})+b(g_{+},g_{-}):=(af_{+}+bg_{+},af_{-}+bg_{-})} 明らかな制限マップは 束 （実際には たるんでいる ） になります。 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 実解析関数による乗算 と微分は明確に定義されています。 これらの定義により、は D モジュール になり 、埋め込みは D モジュールのモルフィズムになります。 h ∈ O ( U ) {\displaystyle h\in {\mathcal {O}}(U)} h ( f + , f − ) := ( h f + , h f − ) d d z ( f + , f − ) := ( d f + d z , d f − d z ) {\displaystyle {\begin{aligned}h(f_{+},f_{-})&:=(hf_{+},hf_{-})\\[6pt]{\frac {d}{dz}}(f_{+},f_{-})&:=\left({\frac {df_{+}}{dz}},{\frac {df_{-}}{dz}}\right)\end{aligned}}} B ( U ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(U)} D ′ ↪ B {\displaystyle {\mathcal {D}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}} 点が の小さな近傍内の実解析関数に制限される 場合、その点 は の 正則点 と呼ばれます。が 2 つの正則点である 場合 、積分は明確に定義されます。 ここで 、 は任意の曲線です。上半平面と下半平面は 単に接続されて いるため、積分はこれらの曲線の選択に依存しません 。 a ∈ U {\displaystyle a\in U} f ∈ B ( U ) {\displaystyle f\in {\mathcal {B}}(U)} f {\displaystyle f} a . {\displaystyle a.} a ⩽ b {\displaystyle a\leqslant b} ∫ a b f := − ∫ γ + f + ( z ) d z + ∫ γ − f − ( z ) d z {\displaystyle \int _{a}^{b}f:=-\int _{\gamma _{+}}f_{+}(z)\,dz+\int _{\gamma _{-}}f_{-}(z)\,dz} γ ± : [ 0 , 1 ] → C ± {\displaystyle \gamma _{\pm }:[0,1]\to \mathbb {C} ^{\pm }} γ ± ( 0 ) = a , γ ± ( 1 ) = b . {\displaystyle \gamma _{\pm }(0)=a,\gamma _{\pm }(1)=b.} をコンパクト サポートを持つ超関数の空間とします。双線型形式により、 コンパクト サポートを持つ各超関数に 上の連続線型関数を関連付けます。 これにより、 との双対空間の同一視が誘導されます。考慮する価値の ある 特別なケースは、コンパクト サポートを持つ連続関数または超関数の場合です。上記の埋め込みにより (または ) を のサブセットと見なすと 、これはまさに従来のルベーグ積分を計算します。さらに、 がコンパクト サポートを持つ超関数の場合、 は実解析関数であり、 となります。 したがって、この積分の概念により、通常の意味では定義されていない などの形式表現に正確な意味が与えられます。 さらに 、実解析関数は で稠密であるため、 は のサブスペースです 。これは、同じ埋め込み の別の記述です 。 B c ( U ) {\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}(U)} { B c ( U ) × O ( U ) → C ( f , φ ) ↦ ∫ f ⋅ φ {\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {B}}_{c}(U)\times {\mathcal {O}}(U)\to \mathbb {C} \\(f,\varphi )\mapsto \int f\cdot \varphi \end{cases}}} O ( U ) . {\displaystyle {\mathcal {O}}(U).} O ′ ( U ) , {\displaystyle {\mathcal {O}}'(U),} B c ( U ) . {\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}(U).} C c 0 ( U ) {\displaystyle C_{c}^{0}(U)} E ′ ( U ) {\displaystyle {\mathcal {E}}'(U)} B ( U ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(U)} u ∈ E ′ ( U ) {\displaystyle u\in {\mathcal {E}}'(U)} φ ∈ O ( U ) {\displaystyle \varphi \in {\mathcal {O}}(U)} supp ( u ) ⊂ ( a , b ) {\displaystyle \operatorname {supp} (u)\subset (a,b)} ∫ a b u ⋅ φ = ⟨ u , φ ⟩ . {\displaystyle \int _{a}^{b}u\cdot \varphi =\langle u,\varphi \rangle .} ∫ a b δ ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}\delta (x)\,dx} E ( U ) , E ′ ( U ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(U),{\mathcal {E}}'(U)} O ′ ( U ) {\displaystyle {\mathcal {O}}'(U)} E ′ ↪ B {\displaystyle {\mathcal {E}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}} が の開集合間の実解析写像である 場合 、 との合成はから へ の明確に定義された演算子です 。 Φ : U → V {\displaystyle \Phi :U\to V} R {\displaystyle \mathbb {R} } Φ {\displaystyle \Phi } B ( V ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(V)} B ( U ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(U)} f ∘ Φ := ( f + ∘ Φ , f − ∘ Φ ) {\displaystyle f\circ \Phi :=(f_{+}\circ \Phi ,f_{-}\circ \Phi )}
参照
参考文献 今井 功 (2012) [1992], 応用超関数理論 数学とその応用 (第8巻), Springer, ISBN 978-94-010-5125-5 。 金子 明 (1988) 『超関数論入門 数学とその応用』（日本語版第3巻）、シュプリンガー、 ISBN 978-90-277-2837-1 柏原正樹、河合 隆弘、木村達雄 (2017) [1986]、『代数解析の基礎』、プリンストン・レガシー・ライブラリー（Book 5158）、PMS-37巻、加藤五郎訳（復刻版）、プリンストン大学出版局、 ISBN 978-0-691-62832-5 小松彦三郎編（1973年）、超関数と擬微分方程式、堅田会議録、1971年、数学講義ノート287、シュプリンガー、 ISBN 978-3-540-06218-9 。 小松彦三郎「 微分方程式の解の層の相対コホモロジー」 、pp. 192– 261 。 佐藤幹雄；河合隆弘柏原正樹、 微関数と擬微分方程式 、 pp. 265–529 。 - SKKといいます。 マルティノー、アンドレ (1960–1961)、Les hyperfonctions de M.Sato、Séminaire Bourbaki、Tome 6 (1960–1961)、Exposé no. 214、 MR 1611794、 Zbl 0122.34902 。 森本光夫（1993）『 佐藤超関数入門』 アメリカ数学会訳（第129巻）、 ISBN 978-0-82184571-4 。 Pham, FL編 (1975), Hyperfunctions and Theoretical Physics, Rencontre de Nice, 1973年5月21-30日, Lecture Notes in Mathematics 449, Springer, ISBN 978-3-540-37454-1 。 セレッソ、A.ピリオウ、A. Chazarain, J.、 「超関数入門」 、 1 ～ 53ページ 。 佐藤幹夫 (1958) 「超関数の理論」, 数学 , 10 (1), 日本数学会: 1– 27, doi :10.11429/sugaku1947.10.1, ISSN 0039-470X 佐藤幹夫 (1959)「超関数論I」 東京大学理学部紀要. 第1節, 数学・天文学・物理学・化学 , 8 (1): 139– 193, hdl :2261/6027, MR 0114124 。 佐藤幹夫 (1960)「超関数論 II」 東京大学理学部紀要. 第1節 数学・天文学・物理学・化学 , 8 (2): 387– 437, hdl :2261/6031, MR 0132392 。 シャピラ、ピエール （1970）、超関数の理論、数学講義ノート126、シュプリンガー、 ISBN 978-3-540-04915-9 。 Schlichtkrull, Henrik (2013) [1984], Hyperfunctions and Harmonic Analysis on Symmetric Spaces, Progress in Mathematics (ソフトカバー版第1版復刻), Springer, ISBN 978-1-4612-9775-8
外部リンク
![{\displaystyle H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}})=\left[H^{0}(\mathbb {C} ^{+},{\mathcal {O}})\oplus H^{0}(\mathbb {C} ^{-},{\mathcal {O}})\right]/H^{0}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/973e93046c1d3bda18b6090c96598cde598a26a1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}h(f_{+},f_{-})&:=(hf_{+},hf_{-})\\[6pt]{\frac {d}{dz}}(f_{+},f_{-})&:=\left({\frac {df_{+}}{dz}},{\frac {df_{-}}{dz}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a14e67df7ebbd7d256cacbc70f335d997da735c)
![{\displaystyle \gamma _{\pm }:[0,1]\to \mathbb {C} ^{\pm }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca92246a71a816e569d9ea95e296d36ec391639d)
