超八面体群

n次元超立方体の対称群

C 2基は、この円に示されているように、8の位数を持っています。

C 3 ( O h ) 基は、これらの球面三角形の反射ドメインで示されるように、順序 48 です。

超八面体群は、超立方体または交差多面体の対称性の群として生じる数学的群の一種です。1930年にアルフレッド・ヤングによって命名されました。このタイプの群は、超立方体の次元を表す パラメータnによって識別されます。

コクセター群としてはB _n = C _n型であり、ワイル群としてはシンプレクティック群および奇数次元の直交群に関連付けられている。花輪積としてはであり、 S _{n は}次数nの対称群である。順列群としては、すべての iに対して⁠ ⁠となるような、集合⁠ ⁠または集合⁠ ⁠の順列 πの符号付き対称群である。行列群としては、すべての要素が整数であるn × n直交行列の群として記述できる。同様に、これは0、1、または −1 のみの要素を持ち、逆行列であり、各行または各列に 0 以外の要素が 1 つだけあるn × n行列の集合である。超八面体群の表現論は、(Kerber 1971、p. 2) に従って (Young 1930) によって記述された。 ${\displaystyle S_{2}\wr S_{n}}$ ${\displaystyle \{-n,-n+1,\cdots ,-1,1,2,\cdots ,n\}}$ ${\displaystyle \{-n,-n+1,\cdots ,n\}}$ ${\displaystyle \pi (i)=-\pi (-i)}$

3 次元では、超八面体群はO × S ₂として知られています。ここで、O ≅ S ₄は八面体群であり、S ₂は位数 2 の対称群 (ここでは巡回群) です。この対称群を持つ 3 次元の幾何学的図形は、正八面体、または 3-正方格子にちなんで、八面体対称性を持つと言われています。4 次元では、正16 セル、または 4-正方格子にちなんで、十六面体対称性と呼ばれます。2 次元では、超八面体群構造は位数 8 の抽象的な二面体群であり、正方形、または 2-正方格子の対称性を記述します。

次元別

正方形の8つの順列はD _{4を形成する}

立方体の48通りの順列のうち8通り、O _{hを形成する}

番目の次元の超八面体群は（リース積を表す）と同型であり、 B _n、括弧記法、またはコクセター群グラフとして命名できる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{2}\wr S_{n}}$ ${\displaystyle \wr }$

n	対称 群	B n	コクセター記法		注文	ミラー	構造	関連する正多面体
2	D 4 (*4•)	B2​	[4]		2 2 2! = 8	4	${\displaystyle Dih_{4}}$ ${\displaystyle \cong S_{2}\wr S_{2}}$	四角
3	ああ（ * 432）	B3​	[4,3]		2 3 3! = 48	3+6	${\displaystyle S_{4}\times S_{2}}$ ${\displaystyle \cong S_{2}\wr S_{3}}$	立方体、八面体
4	± 1 / 6 [OxO].2 [1] (O/V;O/V) * [2]	B4​	[4,3,3]		2 4 4! = 384	4+12	${\displaystyle S_{2}\wr S_{4}}$	テッセラクト、16セル
5		B5​	[4,3,3,3]		2 5 5! = 3840	5+20	${\displaystyle S_{2}\wr S_{5}}$	5キューブ、5オルソプレックス
6		B6​	[4,3 4 ]		2 6 6! = 46080	6+30	${\displaystyle S_{2}\wr S_{6}}$	6キューブ、6オルソプレックス
...n		B n	[4,3 n−2 ]	...	2 n n ! =  (2 n )!!	n 2	${\displaystyle S_{2}\wr S_{n}}$	ハイパーキューブ、オーソプレックス

サブグループ

注目すべき指数 2 の部分群があり、これはコクセター群D _nと半超立方体 の対称性に対応しています。 花輪積として見ると、超八面体群から位数 2 の巡回群への自然な写像が 2 つあります。1 つは「 のn個のコピーの元のすべての符号を乗算する」ことから来る写像で、もう 1 つは置換の偶奇性から来る写像です。これらを乗算すると、3 番目の写像 が生成されます。最初の写像の核はコクセター群 です。符号付き置換を行列として考えると、この 3 番目の写像は単なる行列式であり、最初の 2 つは「非ゼロ要素の乗算」と「基になる (符号なし) 置換の偶奇性」に対応します。これらは一般に行列では意味がありませんが、 の場合は花輪積との一致により意味を持ちます。 ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle C_{n}\to \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle D_{n}.}$

これら 3 つの写像の核は、以下の H1: アーベル化で説明するように、すべて超八面体群の 3 つの指数 2 の部分群であり、それらの交差は指数 4 (クラインの 4 群の商) の導出部分群であり、これは半超立方体の回転対称性に対応します。

反対方向では、中心はスカラー行列のサブグループ{±1}です。幾何学的には、これをで割ることは射影直交群を通過することに相当します。

次元2において、これらの群は超八面体群を完全に記述する。超八面体群は位数8の二面体群Dih ₄であり、2.V（位数2の巡回群による4次元群の拡張）である。一般に、部分商（導来部分群、mod中心）への通過は、射影的半超立方体の対称群である。

3次元における正四面体対称性、順序24

超八面体部分群、次元によるD _{n ：}

n	対称 群	D n	コクセター記法		注文	ミラー	関連する多面体
2	D 2 (*2•)	D2​	[2] = [ ]×[ ]		4	2	矩形
3	T d ( *332 )	D3​	[3,3]		24	6	四面体
4	± 1 / 3 [Tx T ].2 [1] (T/V;T/V) − * [3]	D4​	[3 1,1,1 ]		192	12	16セル
5		D5​	[3 2,1,1 ]		1920	20	5デミキューブ
6		D6​	[3 3,1,1 ]		23040	30	6デミキューブ
...n		D n	[3 n−3,1,1 ]	...	2 n−1 n!	n(n−1)	デミハイパーキューブ

3次元におけるピリトヘドロン対称性、順序24

3次元における正八面体対称性、順序24

カイラル超八面体対称性は、超八面体対称性の指数 2 の直接部分群です。

n	対称 群	コクセター記法		注文
2	C 4 (4•)	[4] +		4
3	O ( 432 )	[4,3] +		24
4	1 / 6 [O×O].2 [1] (O/V;O/V) [4]	[4,3,3] +		192
5		[4,3,3,3] +		1920
6		[4,3,3,3,3] +		23040
...n		[4,(3 n−2 ) + ]	...	2 n−1 n!

もう一つの注目すべき指数2のサブグループは次元によって超ピリトヘドラル対称性と呼ぶことができます: ^[5]これらのグループはn次元にn個の直交ミラーを持ちます。

n	対称 群	コクセター記法		注文	ミラー	関連する多面体
2	D 2 (*2•)	[4,1 + ]=[2]		4	2	矩形
3	（3 * 2）	[4,3 + ]		24	3	スナブ八面体
4	± 1 / 3 [T×T].2 [1] (T/V;T/V) * [6]	[4,(3,3) + ]		192	4	スナブ24セル
5		[4,(3,3,3) + ]		1920	5
6		[4,(3,3,3,3) + ]		23040	6
...n		[4,(3 n−2 ) + ]	...	2 n−1 n!	n

相同性

超八面体群の群ホモロジーは対称群の群ホモロジーと類似しており、安定ホモトピー理論の意味で安定化を示す。

H₁: アーベル化

最初のホモロジー群はアーベル化と一致し、クラインの 4 元群で安定し、次のように与えられます。

${\displaystyle H_{1}(C_{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n=0\\\mathbf {Z} /2&n=1\\\mathbf {Z} /2\times \mathbf {Z} /2&n\geq 2\end{cases}}.}$

これは直接簡単に確認できます。元は 2 次（ では空でない）で、すべて共役であり、 の転置も同様です（ では空でない）ので、これらは 2 つの別々のクラスです。これらの元は群を生成するので、非自明なアーベル化は 2 群へのものだけであり、これらのクラスはそれぞれ 2 つの別々のクラスなので、独立に に送ることができます。写像は、「 のn個のコピーにおけるすべての元の符号の積」と置換の符号として明示的に与えられます。これらを掛け合わせると、3 つ目の非自明な写像（これらのクラスの両方を に送る行列式の行列式）が得られ、自明な写像と合わせて 4 群を形成します。 ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle -1\in \{\pm 1\},}$ ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle -1}$

H₂: シューア乗数

2番目のホモロジー群は、古典的にはシュアー乗数として知られており、(Ihara & Yokonuma 1965)で計算されました。

彼らです：

${\displaystyle H_{2}(C_{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n=0,1\\\mathbf {Z} /2&n=2\\(\mathbf {Z} /2)^{2}&n=3\\(\mathbf {Z} /2)^{3}&n\geq 4\end{cases}}.}$

注記

1. コンウェイ＆スミス 2003
2. デュ・ヴァル 1964、#47
3. デュ・ヴァル 1964、#42
4. デュ・ヴァル 1964、#27
5. Coxeter 1999, p. 121、エッセイ5正多面体
6. デュ・ヴァル 1964、#41

参考文献

• ミラー, GA (1918). 「特殊行列によって形成される群」. Bull. Am. Math. Soc . 24 (4): 203–6 . doi : 10.1090/S0002-9904-1918-03043-7 .
• デュ・ヴァル、P. (1964). ホモグラフィ、四元数、回転. オックスフォード数学モノグラフ. クラレンドン・プレス. OCLC  904102141.
• 井原 真一郎; 横沼 武夫 (1965)「有限鏡映群の第二コホモロジー群（シュール乗数）について」東京大学理学部紀要第1部数学編、11 : 155–171、ISSN  0040-8980、MR  0190232
• ケルバー、アダルベルト（1971）、順列群の表現 I、数学講義ノート、第240巻、シュプリンガー・フェアラーク、doi :10.1007/BFb0067943、ISBN 978-3-540-05693-5、MR  0325752
• ケルバー、アダルベルト（1975）、順列群の表現 II、数学講義ノート、第495巻、シュプリンガー・フェアラーク、doi :10.1007/BFb0085740、ISBN 978-3-540-07535-6、MR  0409624
• ヤング、アルフレッド（1930）、「定量的代入分析について5」、ロンドン数学会誌、シリーズ2、31 ： 273-288 、 doi ： 10.1112/plms/s2-31.1.273、ISSN  0024-6115、JFM  56.0135.02
• Coxeter, HSM; Moser, WOJ (2013) [1980]. 離散群の生成元と関係（第4版）. Springer. p. 92 §7.4 線型分数群、p. 122 §9.3 有限群. ISBN 978-3-662-21943-0。
• Baake, M. (1984). 「超八面体群の構造と表現」. J. Math. Phys . 25 (11): 3171. Bibcode :1984JMP....25.3171B. doi :10.1063/1.526087.
• Stembridge, John R. (1992). 「超八面体群の射影表現」. J. Algebra . 145 (2): 396– 453. doi :10.1016/0021-8693(92)90110-8. hdl : 2027.42/30235 .
• コクセター、HSM（1999年）『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー、ISBN 0-486-40919-8。LCCN  99035678。
• コンウェイ、ジョン・H.、スミス、デレク・A. (2003). 『四元数と八元数について』CRC Press. ISBN 978-1-000-68777-4。

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