離散コサイン変換

Technique used in signal processing and data compression

離散コサイン変換( DCT ) は、有限のデータ ポイントのシーケンスを、異なる周波数で振動するコサイン関数の和として表現します。 DCT は、1972 年にNasir Ahmedが初めて提案し、信号処理およびデータ圧縮で広く使用されている変換手法です。デジタル画像( JPEGやHEIFなど)、デジタルビデオ( MPEGやH.26xなど)、デジタルオーディオ( Dolby Digital、MP3、AACなど)、デジタル テレビ ( SDTV、HDTV、VODなど)、デジタル ラジオ( AAC+やDAB+など)、音声符号化( AAC-LD、Siren、Opusなど) を含むほとんどのデジタル メディアで使用されています。 DCT は、デジタル信号処理、電気通信デバイス、ネットワーク帯域幅の使用量削減、偏微分方程式の数値解法に対するスペクトル法など、科学および工学における他の多数のアプリケーションでも重要です。

DCTは離散フーリエ変換（DFT）に似たフーリエ変換ですが、実数のみを使用します。DCTは通常、周期的かつ対称的に拡張されたシーケンスのフーリエ級数係数に関連付けられますが、DFTは周期的に拡張されたシーケンスのみのフーリエ級数係数に関連付けられます。DCTは長さが約2倍のDFTに相当し、実データに対して偶対称性（実数かつ偶数関数のフーリエ変換は実数かつ偶数であるため）で動作しますが、一部のバリアントでは、入力データまたは出力データがサンプルの半分だけシフトされます。

標準的な DCT の変種は 8 つあり、そのうち 4 つが一般的です。離散コサイン変換の最も一般的な変種はタイプ II DCT で、単にDCTと呼ばれることがよくあります。これは、Ahmed によって最初に提案されたオリジナルの DCT でした。その逆であるタイプ III DCT は、これに対応して単に逆 DCTまたはIDCTと呼ばれることがよくあります。関連する 2 つの変換は、実関数と奇関数の DFT に相当する離散正弦変換(DST)と、重複データの DCT に基づく修正離散コサイン変換 (MDCT) です。多次元 DCT (MD DCT) は、DCT の概念を多次元信号に拡張するために開発されました。DCT 実装の計算の複雑さを軽減するために、さまざまな高速アルゴリズムが開発されています。その1つが整数DCT（IntDCT）^[1]であり、標準DCTの整数近似値である[ 2 ^{] ：ix、xiii、1、141–304は、}いくつかのISO / IECおよびITU-T国際標準で使用されています。^{[1] [2]}

DCT圧縮はブロック圧縮とも呼ばれ、離散的なDCTブロックのセットでデータを圧縮します。^[3] DCTブロックのサイズは、標準DCTの8x8ピクセルと、4x4から32x32ピクセルまでのさまざまな整数DCTサイズを含みます。^{[1] [4]} DCTは強力なエネルギー圧縮特性を持ち、^{[5] [6]高い}データ圧縮率で高品質を実現できます。^{[7] [8]}ただし、DCT圧縮を強く適用すると 、ブロック状の圧縮アーティファクトが発生する可能性があります。

歴史

DCTは、カンザス州立大学で働いていたナシル・アーメドによって最初に考案されました。この概念は1972年に国立科学財団に提案されました。DCTはもともと画像圧縮を目的としていました。^{[9] [1]}アーメドは、 1973年にテキサス大学アーリントン校で博士課程の学生であるT. ラジ・ナタラジャンとKR ラオとともに実用的なDCTアルゴリズムを開発しました。 ^{[9]彼らはその結果を1974年1月の論文「}離散コサイン変換」で発表しました。^{[5] [6] [10]では、現在ではタイプII DCT（DCT-II） [2] : 51}と呼ばれているものや、タイプIII逆DCT（IDCT）^{[5]について説明しました。}

1974年の導入以来、DCTに関する研究は盛んに行われてきました。^[10] 1977年、ウェン・シウン・チェンはC.ハリソン・スミス、スタンレー・C.フラリックと共同で、高速DCTアルゴリズムを発表した論文を発表しました。^{[11] [10]}その後の開発としては、1978年にMJナラシンハとAMピーターソンによる論文、1984年にBGリーによる論文が発表されました。^{[10]これらの研究論文は、1974年のアーメドの論文と1977年のチェンの論文とともに、1992年に}JPEGの非可逆画像圧縮アルゴリズムの基礎として合同写真専門家グループによって引用されました。^{[10] [12]}

離散正弦変換（DST）は、DCTからx=0におけるノイマン条件をディリクレ条件に置き換えることで導出された。^{[2] : 35-36} DSTは、1974年のDCT論文でAhmed、Natarajan、Raoによって記述された。^[5]タイプI DST（DST-I）は、1976年にAnil K. Jainによって記述され、タイプII DST（DST-II）は、1978年にHB KekraとJK Solankaによって記述された。^[13]

1975年、ジョン・A・ローズとグナー・S・ロビンソンは、フレーム間 動き補償 ビデオ符号化にDCTを採用した。彼らはDCTと高速フーリエ変換（FFT）の実験を行い、両方に対応したフレーム間ハイブリッド符号化器を開発した。その結果、DCTは複雑さが少ないため最も効率的であり、ビデオ電話のシーンでは1ピクセルあたり0.25ビットまで画像データを圧縮でき、画質は1ピクセルあたり2ビットを必要とするフレーム内符号化器に匹敵することを発見した。 ^{[14] [15]} 1979年、アニル・K・ジェインとジャスワント・R・ジェインは、ブロック動き補償とも呼ばれる動き補償DCTビデオ圧縮をさらに開発しました^{[16] [17]}。^[17]これにより、チェンは1981年に動き補償DCTまたは適応シーン符号化と呼ばれる実用的なビデオ圧縮アルゴリズムを開発しました。^[17]動き補償DCTは、1980年代後半以降、ビデオ圧縮の標準的な符号化技術となりました。^{[18] [19]}

DCTの変種である修正離散コサイン変換（MDCT）は、1986年のプリンセンとブラッドリーによる先行研究に続き、1987年にサリー大学のジョン・P・プリンセン、AW・ジョンソン、アラン・B・ブラッドリーによって開発されました。 ^{[20] MDCT}は、ドルビーデジタル（AC-3）^{[22] 、 [23]} MP3（ハイブリッドDCT-FFTアルゴリズムを使用） [24] 高度オーディオ符号化（AAC）^{[25 ]}およびVorbis（Ogg ） ^{[26]などの}現代のほとんどのオーディオ圧縮形式で使用されています。

ナシル・アハメドは、1995年にニューメキシコ大学でギリダル・マンディヤムとニーラジ・マゴトラと共にロスレスDCTアルゴリズムを開発しました。これにより、DCT技術を画像のロスレス圧縮に使用できるようになりました。これは元のDCTアルゴリズムの改良版であり、逆DCTとデルタ変調の要素が組み込まれています。エントロピー符号化よりも効果的なロスレス圧縮アルゴリズムです。^[27]ロスレスDCTはLDCTとも呼ばれます。^[28]

アプリケーション

DCTは信号処理で最も広く使われている変換技術であり、^[29]データ圧縮では圧倒的に最も広く使われている線形変換です。^[30]非圧縮デジタルメディアもロスレス圧縮もメモリと帯域幅の要件が高いですが、DCT非可逆圧縮技術によって大幅に削減されます。^{[7] [8]}スタジオ品質に近い場合は8:1から14:1、^{[7]許容品質の}コンテンツの場合は最大100:1のデータ圧縮率を達成できます。^[8] DCT圧縮規格は、デジタル画像、デジタル写真、^{[31] [32]}デジタルビデオ、^{[18] [33]}ストリーミングメディア、^[34]デジタルテレビ、ストリーミングテレビ、ビデオオンデマンド（VOD）、^[8]デジタルシネマ、^[22]高精細ビデオ（HDビデオ）、高精細テレビ（HDTV）などのデジタルメディア技術で使用されています。^{[7] [35]}

DCT、特にDCT-IIは、強力なエネルギー圧縮特性を持つため、信号処理や画像処理、特に非可逆圧縮においてよく用いられます。^{[5] [6]}典型的な応用では、信号情報の大部分はDCTの少数の低周波成分に集中する傾向があります。強い相関を持つマルコフ過程の場合、DCTはカルーネン・レーブ変換（非相関の意味で最適）の圧縮効率に近づくことができます。後述するように、これはコサイン関数に暗黙的に含まれる境界条件に起因します。

DCT は、偏微分方程式をスペクトル法で解く際に広く利用されています。DCT のさまざまなバリエーションは、配列の両端のわずかに異なる偶数境界条件と奇数境界条件に対応します。

DCT はチェビシェフ多項式と密接な関係があり、高速 DCT アルゴリズム (下記) は、クレンショウ・カーティス積分法などのチェビシェフ多項式級数による任意関数のチェビシェフ近似に使用されます。

一般的な用途

DCT は、次のような多くのアプリケーションで広く使用されています。

• 音声信号処理-音声符号化、音声データ圧縮（非可逆および可逆）、^[36] サラウンドサウンド、^[22] 音響エコーおよびフィードバックキャンセル、音素認識、時間領域エイリアシングキャンセル（TDAC）^[37]
  • デジタルオーディオ^[1]
  • デジタルラジオ-デジタルオーディオ放送（DAB+）^[38] HDラジオ^[39]
  • 音声処理-音声符号化^{[40] [41]} 音声認識、音声区間検出（VAD）^[37]
  • デジタル電話- VoIP（Voice over IP ） ^{[40] 、} 携帯電話、ビデオ電話、^{[41] 、} テレビ会議、ビデオ会議^[1]
• 生体認証-指紋の向き、顔認識システム、生体認証透かし、指紋ベースの生体認証透かし、手のひらの指紋識別/認識^[37]
  • 顔検出-顔認識^[37]
• コンピュータとインターネット-ワールドワイドウェブ、ソーシャルメディア、^{[31] [32]} インターネットビデオ^[42]
  • ネットワーク帯域幅の使用量削減^[1]
• 民生用電子機器^[37] —マルチメディアシステム、^[1]マルチメディア通信機器、^[1]民生用機器^[42]
• 暗号学—暗号化、ステガノグラフィー、著作権保護^[37]
• データ圧縮-変換符号​​化、非可逆圧縮、可逆圧縮^[36]
  • 符号化操作 -量子化、知覚重み付け、エントロピー符号化、可変ビットレート符号化^[1]
• デジタルメディア^[34] —デジタル配信^[43]
  • ストリーミングメディア^[34] —ストリーミングオーディオ、ストリーミングビデオ、ストリーミングテレビ、ビデオオンデマンド（VOD）^[8]
• 偽造検出^[37]
• 地球物理学的 過渡電磁気学（過渡電磁気学）^[37]
• 画像-アーティスト識別、^{[37] 、} 焦点とぼかしの測定、^[37]、 特徴抽出^[37]
  • 色のフォーマット -輝度と色の違い、カラーフォーマット（YUV444やYUV411など）、ディスプレイカラーフォーマット（ YIQ、YUV、RGB）間の逆演算などのデコード操作のフォーマット^[1]
  • デジタルイメージング-デジタル画像、デジタルカメラ、デジタル写真、^{[31] [32]} ハイダイナミックレンジイメージング（HDRイメージング）^[44]
  • 画像圧縮^{[37] [45]} —画像ファイル形式、^[46] マルチビュー画像圧縮、プログレッシブ画像伝送^[37]
  • 画像処理—デジタル画像処理、^[1] 画像解析、コンテンツベース画像検索、コーナー検出、方向性ブロック画像表現、エッジ検出、画像強調、画像融合、画像セグメンテーション、補間、画像ノイズレベル推定、ミラーリング、回転、JNDプロファイル、時空間マスキング効果、中心窩画像化^[37]
  • 画像品質評価 - DCTベースの品質劣化指標（DCT QM）^[37]
  • 画像再構成- 方向性テクスチャの自動検査、画像修復、インペインティング、視覚的回復^[37]
• 医療技術
  • 心電図（ECG）—ベクトル心電図（VCG）^[37]
  • 医用画像- 医用画像圧縮、画像融合、透かし、脳腫瘍 圧縮分類^[37]
• パターン認識^[37]
• 関心領域（ROI）抽出^[37]
• 信号処理—デジタル信号処理、デジタル信号プロセッサ（DSP）、DSPソフトウェア、多重化、シグナリング、制御信号、アナログ-デジタル変換（ADC）、^[1] 圧縮サンプリング、DCTピラミッドエラー隠蔽、ダウンサンプリング、アップサンプリング、信号対雑音比（SNR）推定、トランスマックス、ウィーナーフィルタ^[37]
  • 複素ケプストラム特徴分析^[37]
  • DCTフィルタリング^[37]
• 監視^[37]
• 車両イベントデータレコーダーカメラ^[37]
• ビデオ
  • デジタルシネマ^[45] —デジタル映画撮影、デジタル映画カメラ、ビデオ編集、映画編集、^{[47] [48]} ドルビーデジタルオーディオ^{[1] [22]}
  • デジタルテレビ（DTV）^[7] —デジタルテレビ放送、^[45] 標準精細度テレビ（SDTV）、高精細度テレビ（HDTV）、^{[7] [35]} HDTVエンコーダ/デコーダチップ、超高精細度テレビ（UHDTV）^[1]
  • デジタルビデオ^{[18] [33]} —デジタル多用途ディスク（DVD）^[45] 高精細（HD）ビデオ^{[7] [35]}
  • ビデオ符号化-ビデオ圧縮、^[1] ビデオ符号化規格、^[37] 動き推定、動き補償、フレーム間予測、動きベクトル、^[1] 3Dビデオ符号化、局所歪み検出確率（LDDP）モデル、移動物体検出、マルチビュービデオ符号化（MVC）^[37]
  • ビデオ処理-モーション解析、3D-DCTモーション解析、ビデオコンテンツ解析、データ抽出、^[37] ビデオブラウジング、^[49]プロフェッショナルビデオ制作^[50]
• 透かし—デジタル透かし、画像透かし、ビデオ透かし、3Dビデオ透かし、可逆データ隠蔽、透かし検出^[37]
• ワイヤレス技術
  • モバイル機器^[42] —携帯電話、スマートフォン、^[41] テレビ電話^[1]
  • 無線周波数（RF）技術 — RFエンジニアリング、アパーチャ アレイ、^[37] ビームフォーミング、デジタル 演算回路、方向検知、宇宙画像化^[51]
• 無線センサーネットワーク（WSN）—無線音響センサーネットワーク^[37]

視覚メディアの標準

DCT-IIは重要な画像圧縮技術です。JPEGなどの画像圧縮規格や、H.26x、MJPEG、MPEG、DV、Theora、Daalaなどの動画圧縮規格で使用されています。これらの規格では、ブロックの2次元DCT-IIが計算され、その結果は量子化され、エントロピー符号化されます。この場合、は通常8であり、DCT-IIの式はブロックの各行と各列に適用されます。結果は8×8の変換係数配列で、要素（左上）はDC（ゼロ周波数）成分であり、垂直および水平のインデックス値が増加するエントリは、より高い垂直および水平空間周波数を表します。 ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (0,0)}$

整数DCTはDCTの整数近似であり、^{[2] [1]}は、2003年に導入されたAdvanced Video Coding (AVC) ^{[52] [1]}と2013年に導入されたHigh Efficiency Video Coding (HEVC) ^{[4] [1]}で使用されています。整数DCTは、静止画のコーディングにHEVCビデオコーディング形式のサブセットを使用するHigh Efficiency Image Format (HEIF) でも使用されています。 ^[4] AVCは4 x 4と8 x 8のブロックを使用します。HEVCとHEIFは、4 x 4から32 x 32ピクセルまでのさまざまなブロックサイズを使用します。^{[4] [1]} 2019年現在、AVCはビデオコンテンツの録画、圧縮、配信に最も一般的に使用されている形式であり、ビデオ開発者の91%が使用しています。次にHEVCが43%の開発者によって使用されています。^[43][update]

画像形式

画像圧縮規格	年	一般的な用途
JPEG [1]	1992	最も広く使われている画像圧縮規格[53] [54]およびデジタル画像フォーマット。[46]
JPEG XR	2009	Open XML ペーパー仕様
ウェブP	2010	デジタル画像の非可逆圧縮をサポートするグラフィック形式。Google によって開発されました。
高効率画像フォーマット（HEIF）	2013	HEVC圧縮をベースにした画像ファイル形式。JPEGよりも圧縮率が高く[4]、アニメーションGIF形式よりもはるかに効率的な圧縮でアニメーションをサポートします。[55]
BPG	2014	HEVC圧縮に基づく
JPEG XL [56]	2020	非可逆圧縮と可逆圧縮の両方をサポートするロイヤリティフリーのラスター グラフィック ファイル形式。

ビデオ形式

ビデオコーディング規格	年	一般的な用途
H.261 [57] [58]	1988	ビデオ コーディング標準規格ファミリーの最初の規格。主に旧式のビデオ会議およびビデオ電話製品で使用されます。
モーションJPEG（MJPEG）[59]	1992	QuickTime、ビデオ編集、ノンリニア編集、デジタルカメラ
MPEG-1ビデオ[60]	1993	CDまたはインターネットビデオによるデジタルビデオ配信
MPEG-2ビデオ（H.262）[60]	1995	放送アプリケーション、デジタルテレビ、HDTV、ケーブル、衛星、高速インターネット、DVDビデオ配信におけるデジタル画像の保存と処理
暴力	1995	ビデオカメラ、デジタルカセット
H.263（MPEG-4パート2）[57]	1996	公衆交換電話網（PSTN）、H.320、総合デジタル通信網（ISDN）を介したビデオ電話[61] [62]
高度ビデオ符号化（AVC、H.264、MPEG-4）[1] [52]	2003	一般的なHDビデオ録画、圧縮、配信フォーマット、インターネットビデオ、YouTube、ブルーレイディスク、HDTV放送、ウェブブラウザ、ストリーミングテレビ、モバイルデバイス、コンシューマーデバイス、Netflix、[42] ビデオ電話、FaceTime [41]
テオラ	2004	インターネットビデオ、ウェブブラウザ
VC-1	2006	Windowsメディア、ブルーレイディスク
アップルプロRes	2007	プロフェッショナルなビデオ制作。[50]
VP9	2010	Googleが開発したビデオ コーデックで、HTML5のWebMコンテナ形式に使用されます。
高効率ビデオ符号化（HEVC、H.265）[1] [4]	2013	H.264規格の後継で、圧縮能力が大幅に向上しました。
ダーラ	2013	Xiph.orgによる研究ビデオ形式
AV1 [63]	2018	VP10（ VP9の内部後継）、Daala、Thorをベースにしたオープンソースフォーマット。YouTube[ 64 ] [65]やNetflix [66] [67]などのコンテンツプロバイダーで使用されている。

MDCTオーディオ規格

一般的なオーディオ

オーディオ圧縮規格	年	一般的な用途
ドルビーデジタル（AC-3）[22] [23]	1991	映画、デジタルシネマ、DVD、ブルーレイ、ストリーミングメディア、ビデオゲーム
適応変換音響符号化（ATRAC）[22]	1992	ミニディスク
MP3 [24] [1]	1993	デジタルオーディオ配信、MP3プレーヤー、ポータブルメディアプレーヤー、ストリーミングメディア
知覚音響符号化器（PAC）[22]	1996	デジタル音声ラジオサービス（DARS）
高度なオーディオコーディング（AAC / MP4オーディオ）[25] [22]	1997	デジタルオーディオ配信、ポータブルメディアプレーヤー、ストリーミングメディア、ゲームコンソール、モバイルデバイス、iOS、iTunes、Android、BlackBerry
高効率高度音声符号化（AAC+）[68] [38] : 478	1997	デジタルラジオ、デジタルオーディオ放送（DAB+）、[38] デジタルラジオモンディアル（DRM）
クックコーデック	1998	リアルオーディオ
ウィンドウズメディアオーディオ（WMA）[22]	1999	ウィンドウズメディア
ヴォルビス[26] [22]	2000	デジタルオーディオ配信、ラジオ局、ストリーミングメディア、ビデオゲーム、Spotify、Wikipedia
高精細符号化（HDC）[39]	2002	デジタルラジオ、HDラジオ
動的解像度適応（DRA）[22]	2008	中国国家音声規格、中国マルチメディアモバイル放送、DVB-H
作品[69]	2012	VoIP、[70]携帯電話、WhatsApp、[71] [72] [73] PlayStation 4 [74]
ドルビーAC-4 [75]	2015	ATSC 3.0、超高精細テレビ（UHD TV）
MPEG-H 3Dオーディオ[76]

音声符号化

音声符号化規格	年	一般的な用途
AAC-LD（LD-MDCT）[77]	1999	携帯電話、 VoIP（ボイスオーバーIP）、iOS、FaceTime [41]
サイレン[40]	1999	VoIP、広帯域オーディオ、G.722.1
G.722.1 [78]	1999	VoIP、広帯域オーディオ、G.722
G.729.1 [79]	2006	G.729、VoIP、広帯域オーディオ、[79] 携帯電話
EVRC-WB [38] : 31, 478]	2007	広帯域オーディオ
G.718 [80]	2008	VoIP、広帯域オーディオ、携帯電話
G.719 [38]	2008	電話会議、ビデオ会議、ボイスメール
ケルト人[81]	2011	VoIP、[82] [83]携帯電話
拡張音声サービス（EVS）[84]	2014	携帯電話、VoIP、広帯域オーディオ

多次元DCT

多次元DCT（MD DCT）には様々な用途があり、主に3次元DCTである3次元DCT-IIにはハイパースペクトル画像符号化システム、^[85]可変時間長3次元DCT符号化、^[86] ビデオ符号化アルゴリズム、 [ ^87]適応型ビデオ符号化^[88]および3次元圧縮^{[89]などの新しい用途があります。ハードウェア、ソフトウェアの機能強化、およびいくつかの高速アルゴリズムの導入により、MD DCTを使用する必要性が急速に高まっています。DCT-IVは、実数値多相フィルタリングバンク、 [90]}重ね合わせ直交変換^{[91] [92]}およびコサイン変調ウェーブレット基底^[93]の高速実装への応用で人気を博しています。

デジタル信号処理

DCTはデジタル信号処理、特にデータ圧縮において重要な役割を果たします。DCTはデジタル信号プロセッサ（DSP）やデジタル信号処理ソフトウェアに広く実装されています。多くの企業がDCT技術に基づいたDSPを開発しています。DCTは、エンコード、デコード、ビデオ、オーディオ、多重化、制御信号、シグナリング、アナログ-デジタル変換などのアプリケーションに広く使用されています。また、高精細テレビ（HDTV）エンコーダ/デコーダチップにも広く使用されています。^[1]

圧縮アーティファクト

デジタルメディアにおけるDCT圧縮の一般的な問題は、DCTブロックによって引き起こされるブロック状の圧縮アーティファクト^[94]です。 ^[3] DCTアルゴリズムでは、画像（または画像シーケンス内のフレーム）が互いに独立して処理される正方形のブロックに分割され、各ブロック内のDCTブロックが取り出され、結果として得られるDCT係数が量子化されます。このプロセスは、主に高いデータ圧縮率でブロック状のアーティファクトを引き起こす可能性があります。^{[94]これは、}デジタルビデオでよく見られるモスキートノイズ効果を引き起こすこともあります。^[95]

DCTブロックはグリッチアートでよく使われます。^[3]アーティストのローザ・メンクマンは、DCTベースの圧縮アーティファクト、特にJPEGデジタル画像やMP3オーディオなどのほとんどのデジタルメディアフォーマットに見られるDCTブロックをグリッチアートで利用しています。 [ ^{96] [3]}もう1つの例は、ドイツの写真家トーマス・ルフによるJpegsで、意図的にJPEGアーティファクトを写真のスタイルの基礎として使用しています。^{[97] [98]}

非公式の概要

フーリエ変換と同様に、DCTは関数または信号を、異なる周波数と振幅を持つ正弦波の和として表現します。DFTと同様に、DCTは有限個の離散データポイントにおける関数を操作します。DCTとDFTの明らかな違いは、前者はコサイン関数のみを使用するのに対し、後者はコサインとサインの両方（複素指数の形式）を使用することです。しかし、この目に見える違いは、より深い違いの結果に過ぎません。DCTは、DFTやその他の関連変換とは異なる境界条件を暗示します。

DFT、DCT、フーリエ級数など、有限領域上の関数に作用するフーリエ関連変換は、その関数の領域外への拡張を暗黙的に定義するものと考えることができます。つまり、関数を正弦波の和として記述すれば、元の関数が指定されていない場合でも、任意の においてその和を評価できます。DFTは、フーリエ級数と同様に、元の関数の周期的拡張を意味します。DCTは、コサイン変換と同様に、元の関数の偶数的拡張を意味します。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

DCT入力データの暗黙的な偶数/奇数拡張の図解。N =11データポイント（赤い点）の場合、最も一般的な4種類のDCT（タイプI～IV）について示されています。データと拡張のインターフェースにおける微妙な違いに注意してください。DCT-IIとDCT-IVでは、拡張において両方のエンドポイントが複製されますが、DCT-IとDCT-IIIでは複製されません（DCT-IIIでは、符号反転拡張にゼロ点が挿入されます）。

ただし、DCT は有限の離散シーケンスに対して動作するため、連続コサイン変換には当てはまらない 2 つの問題が生じます。まず、関数がドメインの左境界と右境界の両方で偶数か奇数かを指定する必要があります (つまり、それぞれ以下の定義のmin- n境界と max- n境界)。次に、関数が偶数または奇数になるポイントを指定する必要があります。特に、等間隔に配置された 4 つのデータ ポイントのシーケンスabcd を検討し、左境界を偶数に指定したとします。2 つの合理的な可能性があります。データがサンプルa の周りで偶数である場合 (この場合、偶数拡張はdcbabcd )、またはデータがaと前のポイントの中間のポイントの周りで偶数である場合 (この場合、偶数拡張はdcbaabcd ( aが繰り返される))。

各境界は偶数または奇数（境界ごとに2つの選択肢）のいずれかとなり、データ点または2つのデータ点の中間点を中心として対称となる（境界ごとに2つの選択肢）ため、合計2 × 2 × 2 × 2 = 16通りの選択肢があります。これらの選択肢は、DCTの標準的なバリエーションすべてと離散正弦変換（DST）につながります。これらの選択肢の半分、つまり左境界が偶数となるものは8種類のDCTに対応し、残りの半分は8種類のDSTに対応します。

これらの異なる境界条件は、変換の適用に大きな影響を与え、さまざまなDCTタイプに固有の有用な特性をもたらします。最も直接的には、フーリエ変換を使用してスペクトル法で偏微分方程式を解く場合、境界条件は解く問題の一部として直接指定されます。また、MDCT（タイプIV DCTに基づく）の場合、境界条件は、時間領域エイリアシングキャンセルというMDCTの重要な特性に深く関わっています。より微妙な形では、境界条件は、 DCTを画像や音声の圧縮に有用にするエネルギーコンパクト化特性に関係しています。これは、境界がフーリエ級数の収束速度に影響を及ぼすためです。

特に、関数に不連続性があるとフーリエ級数の収束速度が低下し、所定の精度で関数を表すために必要な正弦波の数が増えることはよく知られています。信号圧縮における DFT やその他の変換の有用性にも同様の原理が当てはまります。関数が滑らかであればあるほど、DFT や DCT で関数を正確に表現するために必要な項は少なくなり、圧縮率も高くなります。^[a]しかし、DFT の暗黙的な周期性により、通常は境界で不連続性が生じます。つまり、信号の任意のランダム セグメントが左右の境界の両方で同じ値を持つことはほとんどありません。^{[b]対照的に、}両方の境界が偶数である DCT では、境界で常に連続的な拡張が生成されます (ただし、傾きは一般に不連続です)。これが、DCT、特にタイプ I、II、V、および VI (2 つの境界が偶数であるタイプ) の DCT が、信号圧縮において DFT や DST よりも優れたパフォーマンスを発揮する理由です。実際には、計算上の利便性などの理由から、このようなアプリケーションでは、通常、タイプ II DCT が好まれます。

正式な定義

正式には、離散コサイン変換は線形の可逆関数 （ここで は実数集合 を表す）、または同値なN × N正方行列である。DCT には、定義が若干変更されたいくつかの変種が存在する。N 個の実数は、以下のいずれかの式に従ってN個の実数に変換される。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle ~x_{0},\ \ldots \ x_{N-1}~}$ ${\displaystyle X_{0},\,\ldots ,\,X_{N-1}}$

DCT-I

${\displaystyle X_{k}={\frac {1}{2}}(x_{0}+(-1)^{k}x_{N-1})+\sum _{n=1}^{N-2}x_{n}\cos \left[\,{\tfrac {\ \pi }{\,N-1\,}}\,n\,k\,\right]\qquad {\text{ for }}~k=0,\ \ldots \ N-1~.}$

著者によっては、さらに、項と項を乗算し、それに応じて、項と項を乗算します。これにさらに全体のスケール係数を乗算すると、DCT-I 行列は直交しますが、実数-偶数DFTとの直接的な対応が失われます。 ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{N-1}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2\,}}\,}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X_{N-1}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\,}}\,}$ ${\textstyle {\sqrt {{\tfrac {2}{N-1\,}}\,}}}$

DCT-Iは、偶数対称性の実数のDFTと完全に等価です（全体のスケール係数が2まで）。例えば、実数のDCT-Iは、 8つの実数（偶数対称性）のDFTを2で割ったものと完全に等価です。（対照的に、DCTタイプII～IVでは、等価なDFTにおいて半サンプルシフトが発生します。） ${\displaystyle 2(N-1)}$ ${\displaystyle N=5}$ ${\displaystyle a\ b\ c\ d\ e}$ ${\displaystyle a\ b\ c\ d\ e\ d\ c\ b}$

ただし、DCT-I は2 未満では定義されませんが、他のすべての DCT タイプは任意の正の に対して定義されていることに注意してください。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

したがって、DCT-I は境界条件に対応します。 はの周りで偶数であり、 の周りで偶数です。 についても同様です。 ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle n=N-1}$ ${\displaystyle X_{k}}$

DCT-II

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cos \left[\,{\tfrac {\,\pi \,}{N}}\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)k\,\right]\qquad {\text{ for }}~k=0,\ \dots \ N-1~.}$

DCT-IIはおそらく最も一般的に使用されている形式で、単にDCTと呼ばれることが多い。^{[5] [6]}

この変換は、偶数インデックス要素がゼロである、偶数対称の実数入力のDFTと（全体のスケール係数が2になるまで）全く等価です。つまり、、、の場合、 となる入力のDFTの半分です。DCT-II変換は、信号に続いて半シフトを乗算することでも可能です。これはMakhoulによって実証されています。^[要出典] ${\displaystyle 4N}$ ${\displaystyle 4N}$ ${\displaystyle y_{n},}$ ${\displaystyle y_{2n}=0}$ ${\displaystyle y_{2n+1}=x_{n}}$ ${\displaystyle 0\leq n<N}$ ${\displaystyle y_{2N}=0}$ ${\displaystyle y_{4N-n}=y_{n}}$ ${\displaystyle 0<n<2N}$ ${\displaystyle 2N}$

著者によっては、さらに項を で乗算し、行列の残りの部分に全体のスケール係数 を乗算する（DCT-IIIにおける対応する変化については下記を参照）。これによりDCT-II行列は直交するが、半シフト入力の実偶数DFTとの直接的な対応が崩れる。これはMatlabで使用される正規化である。^[99] JPEGなどの多くのアプリケーションでは、スケール係数を後続の計算ステップ（例えば、JPEGの量子化ステップ^[100]）と組み合わせることができるため、スケーリングは任意であり、より少ない乗算でDCTを計算できるようなスケーリングを選択できる。^{[101] [102]} ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {N\,}}\,}$ ${\textstyle {\sqrt {{2}/{N}}}}$

DCT-II は、境界条件として、の周りで偶数かつ の周りで偶数、の周りで偶数かつ の周りで奇数を意味します。 ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n=-1/2}$ ${\displaystyle n=N-1/2\,}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle k=N}$

DCT-III

${\displaystyle X_{k}={\tfrac {1}{2}}x_{0}+\sum _{n=1}^{N-1}x_{n}\cos \left[\,{\tfrac {\,\pi \,}{N}}\left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)n\,\right]\qquad {\text{ for }}~k=0,\ \ldots \ N-1~.}$

これはDCT-IIのスケール係数（下記参照）の逆であるため、単に逆DCT（IDCT）と呼ばれることもあります。^[6]

一部の著者は、項を2で割る代わりに（全体の項となる）、その結果得られる行列に全体のスケール係数 を乗じます（DCT-IIにおける対応する変化については上記を参照）。これにより、DCT-IIとDCT-IIIは互いに転置関係になります。これによりDCT-III行列は直交しますが、半シフト出力の実偶数DFTとの直接的な対応は失われます。 ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle x_{0}/{\sqrt {2}}}$ ${\textstyle {\sqrt {2/N}}}$

DCT-IIIは境界条件を意味します:は偶数で、 は奇数で、は偶数で、 は偶数です ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle n=N;}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle k=-1/2}$ ${\displaystyle k=N-1/2.}$

DCT-IV

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cos \left[\,{\tfrac {\,\pi \,}{N}}\,\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)\,\right]\qquad {\text{ for }}k=0,\ \ldots \ N-1~.}$

DCT-IV行列は、全体のスケール係数をさらに乗じると直交行列（したがって、明らかに対称なので、それ自身の逆行列）になる。 ${\textstyle {\sqrt {2/N}}.}$

DCT-IVの変形で、異なる変換からのデータが重ね合わされるものは、修正離散コサイン変換（MDCT）と呼ばれます。^[103]

DCT-IV は境界条件を意味します:は の周りで偶数で、 の周りで奇数です。 についても同様です。 ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n=-1/2}$ ${\displaystyle n=N-1/2}$ ${\displaystyle X_{k}}$

DCT V-VIII

タイプI～IVのDCTは、対称点に関して両方の境界を一貫して扱います。つまり、両方の境界においてデータ点の周囲で境界が偶数または奇数となるか、両方の境界において2つのデータ点の中間で境界が偶数または奇数となるかのいずれかです。対照的に、タイプV～VIIIのDCTは、一方の境界においてデータ点の周囲で境界が偶数または奇数となり、もう一方の境界において2つのデータ点の中間で境界が偶数または奇数となることを暗示します。

言い換えれば、DCTタイプI～IVは、偶数次実偶数DFT（が偶数か奇数かに関わらず）と等価です。これは、対応するDFTの長さが（DCT-Iの場合）または（DCT-IIとIIIの場合）または（DCT-IVの場合）であるためです。追加の4種類の離散コサイン変換^[104]は、本質的に論理的に奇数次の実偶数DFTに対応し、コサイン引数の分母にの因子を持ちます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 2(N-1)}$ ${\displaystyle 4N}$ ${\displaystyle 8N}$ ${\displaystyle N\pm {1}/{2}}$

しかし、これらのバリエーションは実際にはほとんど使用されていないようです。その理由の一つは、奇数長DFTのFFTアルゴリズムは、偶数長DFTのFFTアルゴリズムよりも一般的に複雑であるためと考えられます（例えば、最も単純な基数2のアルゴリズムは偶数長のみに対応しています）。そして、この複雑さの増大は、後述するようにDCTにも引き継がれています。単純な実数偶数配列、つまり単一の数値の長さ1のDFT（奇数長）が、長さ のDCT-Vに対応するということではありません。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N=1}$

逆変換

上記の正規化規則を用いると、DCT-Iの逆変換はDCT-Iに2/( N −1)を掛けたものとなる。DCT-IVの逆変換はDCT-IVに2/ N を掛けたものとなる。DCT-IIの逆変換はDCT-IIIに2/ Nを掛けたものとなり、その逆も同様である。^[6]

DFTの場合と同様に、これらの変換定義の前にある正規化係数は単なる慣例であり、処理によって異なります。例えば、一部の著者は、逆変換に追加の乗法係数を必要としないように、変換に を乗じています。適切な係数√2 （上記参照）と組み合わせることで、変換行列を直交 にすることができます。 ${\textstyle {\sqrt {2/N}}}$

多次元DCT

さまざまな DCT タイプの多次元バリアントは、1 次元の定義から直接導かれます。つまり、それらは単に各次元に沿った DCT の分離可能な積 (つまり、合成) です。

MD DCT-II

例えば、画像または行列の2次元DCT-IIは、上記の1次元DCT-IIを行方向、次に列方向（あるいはその逆）に実行しただけです。つまり、2次元DCT-IIは次の式で表されます（上記のように正規化やその他のスケール係数は省略します）。

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{k_{1},k_{2}}&=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\left(\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}x_{n_{1},n_{2}}\cos \left[{\frac {\pi }{N_{2}}}\left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)k_{2}\right]\right)\cos \left[{\frac {\pi }{N_{1}}}\left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)k_{1}\right]\\&=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}x_{n_{1},n_{2}}\cos \left[{\frac {\pi }{N_{1}}}\left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)k_{1}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{2}}}\left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)k_{2}\right].\end{aligned}}}$

多次元 DCT の逆は、対応する 1 次元 DCT の逆の分離可能な積です (上記参照)。たとえば、行-列アルゴリズムで一度に 1 つの次元に沿って適用される 1 次元の逆などです。

3次元DCT-IIは2次元DCT-IIを3次元空間に拡張したもので、数学的には次の式で計算できる。

${\displaystyle X_{k_{1},k_{2},k_{3}}=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}\sum _{n_{3}=0}^{N_{3}-1}x_{n_{1},n_{2},n_{3}}\cos \left[{\frac {\pi }{N_{1}}}\left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)k_{1}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{2}}}\left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)k_{2}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{3}}}\left(n_{3}+{\frac {1}{2}}\right)k_{3}\right],\quad {\text{for }}k_{i}=0,1,2,\dots ,N_{i}-1.}$

3次元DCT-IIの逆は3次元DCT-IIIであり、次式で与えられる。

${\displaystyle x_{n_{1},n_{2},n_{3}}=\sum _{k_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{N_{2}-1}\sum _{k_{3}=0}^{N_{3}-1}X_{k_{1},k_{2},k_{3}}\cos \left[{\frac {\pi }{N_{1}}}\left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)k_{1}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{2}}}\left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)k_{2}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{3}}}\left(n_{3}+{\frac {1}{2}}\right)k_{3}\right],\quad {\text{for }}n_{i}=0,1,2,\dots ,N_{i}-1.}$

技術的には、各次元に沿った一連の 1 次元 DCT によって 2 次元、3 次元 (または多次元) DCT を計算することを、行-列アルゴリズムと呼びます。ただし、多次元 FFT アルゴリズムと同様に、計算を異なる順序で実行しながら同じことを計算する他の方法も存在します (つまり、異なる次元のアルゴリズムをインターリーブ/組み合わせる)。 3-D DCT に基づくアプリケーションの急速な成長により、3-D DCT-II の計算用にいくつかの高速アルゴリズムが開発されています。ベクトル基数アルゴリズムは、MD DCT の計算に適用され、計算の複雑さを軽減し、計算速度を向上させます。3-D DCT-II を効率的に計算するために、高速アルゴリズムである周波数におけるベクトル基数デシメーション (VR DIF) アルゴリズムが開発されました。

3D DCT-II VR DIF

VR DIFアルゴリズムを適用するには、入力データを以下のように定式化し、並べ替える必要があります。^{[105] [106]}変換サイズN×N×Nは2と仮定します。

VR DIF アルゴリズムを使用して 3-D DCT-II を計算する 4 つの基本的な段階。

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\tilde {x}}(n_{1},n_{2},n_{3})=x(2n_{1},2n_{2},2n_{3})\\{\tilde {x}}(n_{1},n_{2},N-n_{3}-1)=x(2n_{1},2n_{2},2n_{3}+1)\\{\tilde {x}}(n_{1},N-n_{2}-1,n_{3})=x(2n_{1},2n_{2}+1,2n_{3})\\{\tilde {x}}(n_{1},N-n_{2}-1,N-n_{3}-1)=x(2n_{1},2n_{2}+1,2n_{3}+1)\\{\tilde {x}}(N-n_{1}-1,n_{2},n_{3})=x(2n_{1}+1,2n_{2},2n_{3})\\{\tilde {x}}(N-n_{1}-1,n_{2},N-n_{3}-1)=x(2n_{1}+1,2n_{2},2n_{3}+1)\\{\tilde {x}}(N-n_{1}-1,N-n_{2}-1,n_{3})=x(2n_{1}+1,2n_{2}+1,2n_{3})\\{\tilde {x}}(N-n_{1}-1,N-n_{2}-1,N-n_{3}-1)=x(2n_{1}+1,2n_{2}+1,2n_{3}+1)\\\end{array}}}$

どこ ${\displaystyle 0\leq n_{1},n_{2},n_{3}\leq {\frac {N}{2}}-1}$

隣の図は、VR DIFアルゴリズムを用いた3次元DCT-II計算における4つの段階を示しています。第1段階は、上記の式で示したインデックスマッピングを用いた3次元並べ替えです。第2段階はバタフライ計算です。各バタフライは、すぐ下の図に示すように、8つの点をまとめて計算します。 ${\displaystyle c(\varphi _{i})=\cos(\varphi _{i})}$

オリジナルの3D DCT-IIは次のように書ける。

${\displaystyle X(k_{1},k_{2},k_{3})=\sum _{n_{1}=1}^{N-1}\sum _{n_{2}=1}^{N-1}\sum _{n_{3}=1}^{N-1}{\tilde {x}}(n_{1},n_{2},n_{3})\cos(\varphi k_{1})\cos(\varphi k_{2})\cos(\varphi k_{3})}$

どこ ${\displaystyle \varphi _{i}={\frac {\pi }{2N}}(4N_{i}+1),{\text{ and }}i=1,2,3.}$

とととの偶数部と奇数部を考慮すると、3次元DCT-IIの計算の一般的な式は次のように表すことができます。 ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$ ${\displaystyle k_{3}}$

VR DIF アルゴリズムの単一のバタフライ ステージ。

${\displaystyle X(k_{1},k_{2},k_{3})=\sum _{n_{1}=1}^{{\tfrac {N}{2}}-1}\sum _{n_{2}=1}^{{\tfrac {N}{2}}-1}\sum _{n_{1}=1}^{{\tfrac {N}{2}}-1}{\tilde {x}}_{ijl}(n_{1},n_{2},n_{3})\cos(\varphi (2k_{1}+i)\cos(\varphi (2k_{2}+j)\cos(\varphi (2k_{3}+l))}$

どこ

${\displaystyle {\tilde {x}}_{ijl}(n_{1},n_{2},n_{3})={\tilde {x}}(n_{1},n_{2},n_{3})+(-1)^{l}{\tilde {x}}\left(n_{1},n_{2},n_{3}+{\frac {n}{2}}\right)}$

${\displaystyle +(-1)^{j}{\tilde {x}}\left(n_{1},n_{2}+{\frac {n}{2}},n_{3}\right)+(-1)^{j+l}{\tilde {x}}\left(n_{1},n_{2}+{\frac {n}{2}},n_{3}+{\frac {n}{2}}\right)}$

${\displaystyle +(-1)^{i}{\tilde {x}}\left(n_{1}+{\frac {n}{2}},n_{2},n_{3}\right)+(-1)^{i+j}{\tilde {x}}\left(n_{1}+{\frac {n}{2}}+{\frac {n}{2}},n_{2},n_{3}\right)}$

${\displaystyle +(-1)^{i+l}{\tilde {x}}\left(n_{1}+{\frac {n}{2}},n_{2},n_{3}+{\frac {n}{3}}\right)}$

${\displaystyle +(-1)^{i+j+l}{\tilde {x}}\left(n_{1}+{\frac {n}{2}},n_{2}+{\frac {n}{2}},n_{3}+{\frac {n}{2}}\right){\text{ where }}i,j,l=0{\text{ or }}1.}$

算術計算量

3次元DCTの計算には段階が必要であり、各段階にはバタフライ演算が含まれる。3次元DCTの計算にはバタフライ演算が必要となる。各バタフライ演算は、7回の実数乗算（自明な乗算を含む）と24回の実数加算（自明な加算を含む）を必要とする。したがって、この段階に必要な実数乗算の総数は、バタフライ演算段階の直後またはビット反転演算段階の後に計算できる後置加算（再帰加算）を含めた実数加算の総数は、次式で表される^[106]。 ${\displaystyle ~[\log _{2}N]~}$ ${\displaystyle ~{\tfrac {1}{8}}\ N^{3}~}$ ${\displaystyle ~\left[{\tfrac {1}{8}}\ N^{3}\log _{2}N\right]~}$ ${\displaystyle ~\left[{\tfrac {7}{8}}\ N^{3}\ \log _{2}N\right]~,}$ ${\displaystyle ~\underbrace {\left[{\frac {3}{2}}N^{3}\log _{2}N\right]} _{\text{Real}}+\underbrace {\left[{\frac {3}{2}}N^{3}\log _{2}N-3N^{3}+3N^{2}\right]} _{\text{Recursive}}=\left[{\frac {9}{2}}N^{3}\log _{2}N-3N^{3}+3N^{2}\right]~.}$

MD-DCT-IIを計算する従来の方法は、Row-Column-Frame（RCF）アプローチを用いていますが、これは計算が複雑で、最新のハードウェアプラットフォームでは生産性が低いです。VR DIFアルゴリズムの計算に必要な乗算回数は、RCFアルゴリズムと比較してかなり少なくなります。RCFアプローチに必要な乗算回数と加算回数は、それぞれ と で与えられます。表1から、合計回数は次のようになります。 ${\displaystyle ~\left[{\frac {3}{2}}N^{3}\log _{2}N\right]~}$ ${\displaystyle ~\left[{\frac {9}{2}}N^{3}\log _{2}N-3N^{3}+3N^{2}\right]~,}$

表1 3D-DCT-IIを計算するためのVR DIFとRCFアルゴリズムの比較

変換サイズ	3D VR マルチ	RCFマルチ	3D VR追加	RCFが追加
8×8×8	2.625	4.5	10.875	10.875
16×16×16	3.5	6	15.188	15.188
32×32×32	4.375	7.5	19.594	19.594
64 × 64 × 64	5.25	9	24.047	24.047

3-D DCT VRアルゴリズムに関連する乗算回数は、RCFアプローチに関連する乗算回数よりも40%以上少なくなります。さらに、RCFアプローチでは、新しいVRアルゴリズムよりも行列転置と、より多くのインデックス作成およびデータスワップが行われます。これにより、3-D DCT VRアルゴリズムはより効率的であり、ビデオ圧縮やその他の3D画像処理アプリケーションなど、3-D DCT-IIを使用する3Dアプリケーションに適しています。

高速アルゴリズムを選択する際の主な考慮事項は、計算と構造の複雑さを回避することです。コンピュータとDSPの技術が進歩するにつれて、算術演算（乗算と加算）の実行時間は非常に高速になり、規則的な計算構造が最も重要な要素になります。^[107]そのため、上記で提案された3D VRアルゴリズムは、乗算回数の理論的な下限を達成していませんが、^[108]他の3D DCTアルゴリズムと比較して計算構造が単純です。単一のバタフライを使用して実装でき、 3DでCooley-Tukey FFTアルゴリズムの特性を備えています。したがって、3D VRは、バタフライスタイルのCooley-Tukey FFTアルゴリズムの特徴である単純な構造を維持しながら、3D DCT-IIの計算における算術演算を削減するための良い選択肢となります。

JPEG DCTからの2次元DCT周波数

右の図は、8×8の 2次元DCTにおける水平周波数と垂直周波数の組み合わせを示しています。左から右、上から下への各ステップは、周波数が半周期ずつ増加します。例えば、左上の正方形から右に1つ移動すると、水平周波数が半周期増加します。さらに右に移動すると、半周期が2つ増加します。下に移動すると、水平方向に半周期が2つ、垂直方向に半周期が1つ増加します。ソースデータ（8×8）は、これらの64個の周波数正方形の線形結合に変換されます。 ${\displaystyle (~N_{1}=N_{2}=8~)}$

MD-DCT-IV

MD DCT-IVは、1次元DCT-IVをM次元領域に拡張したものです 。行列または画像の2次元DCT-IVは次のように表されます。

${\displaystyle X_{k,\ell }=\sum _{n=0}^{N-1}\;\sum _{m=0}^{M-1}\ x_{n,m}\cos \left(\ {\frac {\,(2m+1)(2k+1)\ \pi \,}{4N}}\ \right)\cos \left(\ {\frac {\,(2n+1)(2\ell +1)\ \pi \,}{4M}}\ \right)~,}$

および​ ${\displaystyle ~~k=0,\ 1,\ 2\ \ldots \ N-1~~}$ ${\displaystyle ~~\ell =0,\ 1,\ 2,\ \ldots \ M-1~.}$

MD DCT-IVは、通常の行・列法を用いて計算することも、高速かつ効率的な計算のために多項式変換法^[109]を用いることもできます。このアルゴリズムの主なアイデアは、多項式変換を用いて多次元DCTを一連の1次元DCTに直接変換することです。MD DCT-IVは、様々な分野で応用されています。

計算

これらの式を直接適用するには演算が必要になりますが、高速フーリエ変換（FFT）と同様に計算を因数分解することで、複雑さのみで同じ計算を行うことができます。また、FFTと前処理および後処理を組み合わせることで、DCTを計算することもできます。一般的に、DCTを計算する方法は高速コサイン変換（FCT）アルゴリズムとして知られています。 ${\displaystyle ~{\mathcal {O}}(N^{2})~}$ ${\displaystyle ~{\mathcal {O}}(N\log N)~}$ ${\displaystyle ~{\mathcal {O}}(N)~}$ ${\displaystyle ~{\mathcal {O}}(N\log N)~}$

最も効率的なアルゴリズムは、原則として、通常のFFTに特別な演算を加えるのではなく、DCTに直接特化したアルゴリズムです（例外については後述）。しかし、「特化した」DCTアルゴリズム（少なくとも2のべき乗のサイズにおいて、既知の演算回数が最も少ないものすべてを含む）でさえ、通常はFFTアルゴリズムと密接に関連しています。DCTは本質的に実数偶数データのDFTであるため、FFTを用いてこの対称性に起因する冗長な演算を排除することで、高速なDCTアルゴリズムを設計できます。これは自動的に行うことも可能です（Frigo & Johnson 2005）。Cooley -Tukey FFTアルゴリズムに基づくアルゴリズムが最も一般的ですが、他のFFTアルゴリズムも適用可能です。例えば、Winograd FFTアルゴリズムは、一般的に加算回数が増えるという欠点はあるものの、DFTの乗算が最小限のアルゴリズムを実現します。同様のアルゴリズムは、Feig & Winograd 1992aによってDCT向けに提案されています。 DFT、DCT、および類似の変換のアルゴリズムはすべて密接に関連しているため、1 つの変換のアルゴリズムを改善すると、理論的には他の変換にもすぐに効果が現れます (Duhamel & Vetterli 1990)。 ${\displaystyle ~{\mathcal {O}}(N)~}$

修正されていないFFTを使用するDCTアルゴリズムは、最良の特殊DCTアルゴリズムと比較して理論的なオーバーヘッドが多少あることが多いものの、明確な利点もあります。高度に最適化されたFFTプログラムが広く入手可能なためです。そのため、実際には、一般的な長さNに対しては、FFTベースのアルゴリズムの方が高いパフォーマンスを得るのが容易な場合が多いです。^[c]一方、特殊DCTアルゴリズムは、 JPEG圧縮で使用される8×8 DCT-IIや、オーディオ圧縮で一般的に使用される小型DCT（またはMDCT）など、固定サイズの小さな変換に広く使用されています。（組み込み機器アプリケーションでは、コードサイズの削減も特殊DCTを使用する理由の1つです。）

実際、通常のFFTを用いたDCTアルゴリズムでさえ、実対称データのより大きなFFTから冗長な演算を刈り込むことと同等になる場合があり、演算カウントの観点からは最適となることさえあります。例えば、タイプII DCTは、偶数インデックス要素がゼロである、実偶数対称サイズのDFTと同等です。これをFFTで計算する最も一般的な方法の1つ（例えば、FFTPACKやFFTWで使用される方法）は、Narasimha & Peterson (1978)とMakhoul (1980)によって説明されており、この方法は、DCT-IIに対応する「論理的」な実偶数DFTに適用される基数4の時間間引きCooley-Tukeyアルゴリズムの1つのステップと見なすことができます。^[d]偶数インデックス要素がゼロであるため、この基数4のステップは分割基数ステップと全く同じです。後続のサイズの実数データFFTも実数データ分割基数アルゴリズム（Sorensenら（1987）のように）によって実行される場合、結果として得られるアルゴリズムは、実際には2の累乗DCT-II（実数演算^[e] ）に対して長い間公表されていた最も低い演算カウントと一致します。 ${\displaystyle ~4N~}$ ${\displaystyle ~N~}$ ${\displaystyle ~2N\log _{2}N-N+2~}$

最近、演算回数を削減した実数データFFTも使用しています。^[110]そのため、算術的な観点から見ると、FFTを介してDCTを計算することに本質的に問題はありません。対応するFFTアルゴリズムが最適であるかどうかという問題に過ぎない場合があります。（実際問題として、別のFFTルーチンを呼び出す際の関数呼び出しのオーバーヘッドは、小規模な場合にはかなり大きくなる可能性がありますが、これはアルゴリズムの問​​題ではなく実装の問題であり、アンロールまたはインライン展開によって解決できます。） ${\displaystyle ~{\tfrac {17}{9}}N\log _{2}N+{\mathcal {O}}(N)}$ ${\displaystyle ~N~,}$

IDCTの例

DCT スペクトル (右上) を各フィルターで乗算して、テスト イメージ (左上) に 8 つの異なるフィルターを適用した例。

大文字の A の8 × 8 グレースケール画像を検討してください。

元のサイズ、10 倍に拡大（最近傍）、10 倍に拡大（双線形）。

対応する係数を持つ離散コサイン変換の基底関数（この画像に固有）。
画像のDCT = 。 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}6.1917&-0.3411&1.2418&0.1492&0.1583&0.2742&-0.0724&0.0561\\0.2205&0.0214&0.4503&0.3947&-0.7846&-0.4391&0.1001&-0.2554\\1.0423&0.2214&-1.0017&-0.2720&0.0789&-0.1952&0.2801&0.4713\\-0.2340&-0.0392&-0.2617&-0.2866&0.6351&0.3501&-0.1433&0.3550\\0.2750&0.0226&0.1229&0.2183&-0.2583&-0.0742&-0.2042&-0.5906\\0.0653&0.0428&-0.4721&-0.2905&0.4745&0.2875&-0.0284&-0.1311\\0.3169&0.0541&-0.1033&-0.0225&-0.0056&0.1017&-0.1650&-0.1500\\-0.2970&-0.0627&0.1960&0.0644&-0.1136&-0.1031&0.1887&0.1444\\\end{bmatrix}}}$

各基底関数にその係数を乗算し、その積を最終画像に加算します。

左側が最終画像です。中央は最終画像に加算される重み付け関数（係数を乗じたもの）です。右側は現在の関数と対応する係数です。画像は（双線形補間を使用して）10倍に拡大縮小されています。

参照

• 離散ウェーブレット変換
• JPEG  - 離散 コサイン 変換 -  DCT変換のより理解しやすい例が含まれています
• フーリエ関連変換の一覧
• 修正離散コサイン変換

注記

1. ここでは、関数の滑らかさについて話すために、DFT または DCT をそれぞれ関数のフーリエ級数または余弦級数の近似として考えます。
2. DST でも同様の問題が発生します。DST では、奇数左境界条件により、その境界でゼロにならない関数の不連続性が示されます。
3. 現代のハードウェアにおけるアルゴリズムのパフォーマンスは、通常、単純な算術カウントによって主に決まるわけではなく、最適化には、その固有の制限内で利用可能な組み込みハードウェア最適化を最大限に活用するための多大なエンジニアリング努力が必要です。
4. 基数4のステップにより、 DFTのサイズは実数データの4つのDFTに縮小されます。そのうち2つはゼロで、残りの2つは偶対称性によって互いに等しくなります。したがって、自明な部分や重複部分が除去および/または統合されると、実数データの1つのFFTとバタフライが得られます。 ${\displaystyle ~4N~}$ ${\displaystyle ~N~}$ ${\displaystyle ~N~}$ ${\displaystyle ~{\mathcal {O}}(N)~}$
5. 実数演算の正確な回数、特に実数乗算の回数は、変換定義のスケーリングに多少依存します。ここで示す回数はDCT-II定義の場合です。変換を全体係数でスケーリングすれば、乗算を2回削減できます。Arai、Agui、Nakajima (1988) がJPEGで使用されるサイズ8の場合に示したように、変換の出力を個別に再スケーリングできれば、さらに乗算を削減できます。 ${\displaystyle ~2N\log _{2}N-N+2~}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

参考文献

1. Stanković, Radomir S.; Astola, Jaakko T. (2012). 「DCT初期の研究の回想：KR Rao氏へのインタビュー」（PDF） .情報科学黎明期の再録. 60.タンペレ国際信号処理センター. ISBN 978-952-15-2818-7. ISSN  1456-2774. 2021年12月30日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF）。2021年12月30日閲覧– ETHW経由。
2. Britanak, Vladimir; Yip, Patrick C.; Rao, KR (2006年11月6日). 『離散コサイン変換とサイン変換：一般的な特性、高速アルゴリズム、整数近似』Academic Press . ISBN 978-0-12-373624-6。LCCN  2006931102。OCLC 220853454。OL  18495589M 。 ​ S2CID  118873224。
3. Alikhani, Darya (2015年4月1日). 「Beyond resolution: Rosa Menkman's glitch art」. POSTmatter . 2019年10月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年10月19日閲覧。
4. Thomson, Gavin; Shah, Athar (2017). 「HEIFとHEVCの紹介」(PDF) . Apple Inc. 2019年8月5日閲覧。
5. アーメド、ナシル;ナタラジャン、T. ラジ; KR、ラオ（1974 年 1 月 1 日）。 「離散コサイン変換」。コンピュータ上の IEEE トランザクション。C-23 (1)。 IEEE コンピュータ協会: 90 ～ 93。doi : 10.1109/TC.1974.223784。eISSN  1557-9956。ISSN  0018-9340。LCCN  75642478。OCLC 1799331。S2CID 206619973  。 ​
6. Rao, K. Ramamohan ; Yip, Patrick C. (1990年9月11日).離散コサイン変換：アルゴリズム、利点、応用. 信号、画像、音声処理. Academic Press . arXiv : 1109.0337 . doi :10.1016/c2009-0-22279-3. ISBN 978-0-12-580203-1。LCCN  89029800。OCLC 1008648293。OL  2207570M 。 ​ S2CID  12270940。
7. Barbero, M.; Hofmann, H.; Wells, ND (1991年11月14日). 「DCTソースコーディングとHDTVの現在の実装」. EBU技術レビュー(251).欧州放送連合: 22–33 . 2019年11月4日閲覧。
8. Lea, William (1994). 「ビデオ・オン・デマンド：研究論文94/68」.英国下院図書館. 2019年9月20日閲覧。
9. Ahmed, Nasir (1991年1月). 「離散コサイン変換の考案過程」(PDF) .デジタル信号処理. 1 (1): 4– 5. Bibcode :1991DSP.....1....4A. doi :10.1016/1051-2004(91)90086-Z.
10. 「T.81 – 連続階調静止画像のデジタル圧縮および符号化 – 要件とガイドライン」（PDF）。CCITT。1992年9月。 2019年7月12日閲覧。
11. Chen, Wen-Hsiung; Smith, CH; Fralick, SC (1977年9月). 「離散コサイン変換のための高速計算アルゴリズム」. IEEE Transactions on Communications . 25 (9): 1004– 1009. doi :10.1109/TCOM.1977.1093941.
12. Smith, C.; Fralick, S. (1977). 「離散コサイン変換のための高速計算アルゴリズム」. IEEE Transactions on Communications . 25 (9): 1004– 1009. doi :10.1109/TCOM.1977.1093941. ISSN  0090-6778.
13. Dhamija, Swati; Jain, Priyanka (2011年9月). 「ノイズ推定に適した手法としての離散正弦変換の比較分析」. IJCSI International Journal of Computer Science . 8 (5, No. 3): 162–164 (162) . 2019年11月4日閲覧。
14. Huang, TS (1981). 画像シーケンス解析. Springer Science & Business Media . p. 29. ISBN 978-3-642-87037-8。
15. Roese, John A.; Robinson, Guner S. (1975年10月30日). Tescher, Andrew G. (編). 「デジタル画像シーケンスの空間的および時間的複合符号化」.画像情報の効率的伝送. 0066.国際光学・光子学会誌: 172– 181. Bibcode :1975SPIE...66..172R. doi :10.1117/12.965361. S2CID  62725808.
16. Cianci, Philip J. (2014). 『高精細テレビ：HDTV技術の創造、開発、そして実装』マクファーランド社. p. 63. ISBN 978-0-7864-8797-4。
17. 「ビデオ圧縮の歴史」。ITU -T。ISO /IEC MPEGとITU-T VCEGの合同ビデオチーム（JVT）（ISO/IEC JTC1/SC29/WG11およびITU-T SG16 Q.6）。2002年7月。pp. 11, 24–9 , 33, 40–1 , 53–6。2019年11月3日閲覧。
18. Ghanbari, Mohammed (2003). 標準コーデック：画像圧縮から高度なビデオ符号化まで.工学技術研究所. pp.  1– 2. ISBN 978-0-85296-710-2。
19. Li, Jian Ping (2006). Proceedings of the International Computer Conference 2006 on Wavelet Active Media Technology and Information Processing: Chongqing, China, 2006年8月29日～31日. World Scientific . p. 847. ISBN 978-981-270-999-8。
20. Princen, John P.; Johnson, AW; Bradley, Alan B. (1987). 「時間領域エイリアシング除去に基づくフィルタバンク設計を用いたサブバンド/変換符号化」. ICASSP '87. IEEE 国際音響・音声・信号処理会議. 第12巻. pp.  2161– 2164. doi :10.1109/ICASSP.1987.1169405. S2CID  58446992.
21. Princen, J.; Bradley, A. (1986). 「時間領域エイリアシング除去に基づく解析/合成フィルタバンク設計」IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 34 (5): 1153– 1161. doi :10.1109/TASSP.1986.1164954.
22. Luo, Fa-Long (2008). モバイルマルチメディア放送規格：技術と実践. Springer Science & Business Media . p. 590. ISBN 978-0-387-78263-8。
23. Britanak, V. (2011). 「ドルビーデジタル（プラス）AC-3オーディオ符号化規格におけるフィルタバンクの特性、関係、および簡略化された実装について」IEEE Transactions on Audio, Speech, and Language Processing . 19 (5): 1231– 1241. Bibcode :2011ITASL..19.1231B. doi :10.1109/TASL.2010.2087755. S2CID  897622.
24. Guckert, John (2012年春). 「MP3オーディオ圧縮におけるFFTとMDCTの利用」(PDF) .ユタ大学. 2019年7月14日閲覧.
25. Brandenburg, Karlheinz (1999). 「MP3とAACの説明」(PDF) . 2017年2月13日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。
26. Xiph.Org Foundation (2009-06-02). 「Vorbis I 仕様 - 1.1.2 分類」 Xiph.Org Foundation . 2009年9月22日閲覧。
27. Mandyam, Giridhar D. ; Ahmed, Nasir; Magotra, Neeraj (1995年4月17日). Rodriguez, Arturo A.; Safranek, Robert J.; Delp, Edward J. (編). 「DCTベースのロスレス画像圧縮方式」. Digital Video Compression: Algorithms and Technologies 1995 . 2419 . International Society for Optics and Photonics: 474– 478. Bibcode :1995SPIE.2419..474M. doi :10.1117/12.206386. S2CID  13894279.
28. 小松 功; 瀬崎 薫 (1998). 「可逆離散コサイン変換」. 1998 IEEE 国際音響・音声・信号処理会議 ICASSP '98 講演論文集 (Cat. No.98CH36181) . 第3巻. pp. 1769–1772. doi :10.1109/ICASSP.1998.681802. ISBN 0-7803-4428-6. S2CID  17045923。
29. Muchahary, D.; Mondal, AJ; Parmar, RS; Borah, AD; Majumder, A. (2015). 「DCTの効率的な計算のための簡略化された設計アプローチ」. 2015年第5回国際通信システム・ネットワーク技術会議. pp.  483– 487. doi :10.1109/CSNT.2015.134. ISBN 978-1-4799-1797-6. S2CID  16411333。
30. チェン、ワイ・カイ (2004). 電気工学ハンドブック.エルゼビア. p. 906. ISBN 978-0-08-047748-0。
31. 「JPEGとは何か？ 毎日目にする目に見えない物体」The Atlantic、2013年9月24日。 2019年9月13日閲覧。
32. ペッシーナ、ローレ＝アン (2014 年 12 月 12 日)。 「JPEGは私たちの世界を変えました」。EPFL ニュース。エコール・ポリテクニック連邦ローザンヌ校。2019 年9 月 13 日に取得。
33. Lee, Ruby Bei-Loh; Beck, John P.; Lamb, Joel; Severson, Kenneth E. (1995年4月). 「マルチメディア強化PA 7100LCプロセッサにおけるリアルタイムソフトウェアMPEGビデオデコーダ」(PDF) . Hewlett-Packard Journal . 46 (2). ISSN  0018-1153.
34. Lee, Jack (2005). スケーラブルな連続メディアストリーミングシステム：アーキテクチャ、設計、分析、実装. John Wiley & Sons . p. 25. ISBN 978-0-470-85764-9。
35. 宍喰 良明; 中西 宏; 今泉 博之 (1993年10月26日～28日). 「適応次元DCTを用いたHDTV符号化方式」. HDTV信号処理.エルゼビア. pp.  611– 618. doi :10.1016/B978-0-444-81844-7.50072-3. ISBN 978-1-4832-9851-1。
36. Ochoa-Dominguez, Humberto; Rao, KR (2019). 離散コサイン変換 第2版. CRC Press . pp.  1– 3, 129. ISBN 978-1-351-39648-6。
37. Ochoa-Dominguez, Humberto; Rao, KR (2019). 離散コサイン変換 第2版. CRC Press . pp.  1– 3. ISBN 978-1-351-39648-6。
38. Britanak, Vladimir; Rao, KR (2017). コサイン/サイン変調フィルタバンク：一般的な特性、高速アルゴリズム、整数近似. Springer. p. 478. ISBN 978-3-319-61080-1。
39. Jones, Graham A.; Layer, David H.; Osenkowsky, Thomas G. (2013). 全米放送事業者協会エンジニアリングハンドブック: NABエンジニアリングハンドブック. Taylor & Francis . pp.  558–9 . ISBN 978-1-136-03410-7。
40. ヘルセント、オリヴィエ、プティ、ジャン＝ピエール、グルル、デイヴィッド（2005年）。『VoIPプロトコルを超えて：IPテレフォニーのための音声技術とネットワーク技術の理解』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、p.55、ISBN 978-0-470-02363-1。
41. Daniel Eran Dilger (2010年6月8日). 「iPhone 4の中身：FaceTimeビデオ通話」AppleInsider . 2010年6月9日閲覧。
42. Netflix Technology Blog (2017年4月19日). 「Netflixダウンロードのためのより効率的なモバイルエンコード」. Medium.com . Netflix . 2019年10月20日閲覧。
43. 「ビデオ開発者レポート2019」（PDF） . Bitmovin . 2019年. 2019年11月5日閲覧。
44. Ochoa-Dominguez, Humberto; Rao, KR (2019). 離散コサイン変換 第2版. CRC Press. p. 186. ISBN 978-1-351-39648-6。
45. マッカーナン、ブライアン (2005). デジタルシネマ：映画撮影、ポストプロダクション、配給における革命.マグロウヒル. p. 58. ISBN 978-0-07-142963-4DCTは、Moving Picture Experts Group（MPEG）が標準化した圧縮方式のほとんどに使用されており、画像圧縮の主流技術となっています。特に、DVDやデジタルテレビ放送に使用されているMPEG-2の中核技術であり、デジタルシネマの多くの実験にも利用されています。
46. Baraniuk, Chris (2015年10月15日). 「コピープロテクションがJPegに導入される可能性」. BBCニュース. BBC . 2019年9月13日閲覧。
47. アッシャー、スティーブン、ピンカス、エドワード (2012). 『映画製作者のハンドブック：デジタル時代の包括的ガイド：第5版』ペンギン社. pp.  246–7 . ISBN 978-1-101-61380-1。
48. ベルタルミオ、マルセロ (2014).映画用の画像処理。CRC を押します。 p. 95.ISBN​ 978-1-4398-9928-1。
49. Zhang, HongJiang (1998). 「コンテンツベースのビデオブラウジングと検索」. Furht, Borko (編). インターネットおよびマルチメディアシステムとアプリケーションのハンドブック. CRC Press . pp. 83–108 (89). ISBN 978-0-8493-1858-0。
50. 「Apple ProRes 422コーデックファミリー」アメリカ議会図書館. 2014年11月17日. 2019年10月13日閲覧。
51. Potluri, US; Madanayake, A.; Cintra, RJ; Bayer, FM; Rajapaksha, N. (2012年10月17日). 「RFマルチビームデジタルアパーチャアレイ空間イメージングおよび方向センシングのための乗算器フリーDCT近似」.計測科学技術. 23 (11) 114003. doi :10.1088/0957-0233/23/11/114003. ISSN  0957-0233. S2CID  119888170.
52. Wang, Hanli; Kwong, S.; Kok, C. (2006). 「H.264 /AVC最適化のための整数DCT係数の効率的な予測アルゴリズム」. IEEE Transactions on Circuits and Systems for Video Technology . 16 (4): 547– 552. Bibcode :2006ITCSV..16..547W. doi :10.1109/TCSVT.2006.871390. S2CID  2060937.
53. ハドソン、グレアム;レジェ、アラン。ニス、ビルガー。セベスティエン、イシュトヴァーン;ヴァーベン、ヨルゲン（2018年8月31日）。 「JPEG-1 標準 25 年: 過去、現在、未来の成功の理由」。電子画像ジャーナル。27 (4): 1.土井: 10.1117/1.JEI.27.4.040901。
54. 「JPEG画像フォーマットの説明」BT.com、BTグループ、2018年5月31日。 2019年8月5日閲覧。
55. 「HEIF比較 - 高効率画像ファイルフォーマット」Nokia Technologies . 2019年8月5日閲覧。
56. Alakuijala, Jyrki; Sneyers, Jon; Versari, Luca; Wassenberg, Jan (2021年1月22日). 「JPEG XL ホワイトペーパー」(PDF) . JPEG Org . 2021年5月2日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2022年1月14日閲覧.可変サイズDCT（2x2から256x256までの正方形または長方形）は、最適な非相関変換の高速近似として機能します。
57. Wang, Yao (2006). 「ビデオコーディング標準：パートI」（PDF） . 2013年1月23日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。
58. Wang, Yao (2006). 「ビデオ符号化規格：パートII」（PDF） . 2013年1月23日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。
59. ホフマン、ロイ (2012). デジタルシステムにおけるデータ圧縮.シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 255. ISBN 978-1-4615-6031-9。
60. Rao, KR ; Hwang, JJ (1996年7月18日).画像、ビデオ、オーディオ符号化の技術と標準. Prentice Hall. JPEG: 第8章; H.261 : 第9章; MPEG-1: 第10章; MPEG-2: 第11章. ISBN 978-0-13-309907-2。LCCN  96015550. OCLC  34617596. OL  978319M. S2CID  56983045。
61. Davis, Andrew (1997年6月13日). 「H.320勧告の概要」. EE Times . 2019年11月7日閲覧。
62. IEEE WESCANEX 97: 通信、電力、コンピューティング: 会議議事録. マニトバ大学、ウィニペグ、マニトバ州、カナダ:電気電子学会. 1997年5月22～23日. p. 30. ISBN 978-0-7803-4147-0H.263はH.261に似ていますが、より複雑です。現在、ISDN（総合デジタルサービス網）電話回線におけるビデオ電話用の最も広く使用されている国際的なビデオ圧縮規格です。
63. Peter de Rivaz、Jack Haughton (2018). 「AV1 ビットストリームとデコードプロセス仕様」(PDF) . Alliance for Open Media . 2022年1月14日閲覧。
64. YouTube Developers (2018年9月15日). 「AV1ベータ版リリースプレイリスト」. YouTube . 2022年1月14日閲覧。YouTubeのAV1トランスコードに対応する最初の動画。
65. Brinkmann, Martin (2018年9月13日). 「YouTubeでAV1サポートを有効にする方法」 . 2022年1月14日閲覧。
66. Netflixテクノロジーブログ (2020年2月5日). 「Netflix、AndroidでAV1をストリーミング配信開始」 . 2022年1月14日閲覧。
67. Netflixテクノロジーブログ (2021年11月9日). 「NetflixメンバーのテレビにAV1ストリーミングを提供」 . 2022年1月14日閲覧。
68. Herre, J.; Dietz, M. (2008). 「MPEG-4 高効率AACコーディング [Standards in a Nutshell]」. IEEE Signal Processing Magazine . 25 (3): 137– 142. Bibcode :2008ISPM...25..137H. doi :10.1109/MSP.2008.918684.
69. Valin, Jean-Marc; Maxwell, Gregory; Terriberry, Timothy B.; Vos, Koen (2013年10月). Opusコーデックによる高品質・低遅延音楽コーディング. 第135回AESコンベンション.オーディオエンジニアリング協会. arXiv : 1602.04845 .
70. 「Opus Codec」. Opus (ホームページ). Xiph.org Foundation . 2012年7月31日閲覧。
71. レイデン、ジョン（2015年10月27日）「WhatsAppの実態が明らかに：情報吸い上げアプリの実態が明らかに」The Register 。 2019年10月19日閲覧。
72. ハズラ、スディップ;マテティ、プラバーカー（2017年9月13～16日）。 「Android フォレンジックの課題」。タンピにて、サブ M.ペレス、グレゴリオ・マ​​ルティネス。ウェストファル、カルロス・ベッカー。胡建君。ファン、チュンアイ。マルモル、フェリックス・ゴメス（編）。コンピューティングと通信におけるセキュリティ: 第 5 回国際シンポジウム、SSCC 2017。スプリンガー。 286–299ページ（290）。土井：10.1007/978-981-10-6898-0_24。ISBN 978-981-10-6898-0。
73. Srivastava, Saurabh Ranjan; Dube, Sachin; Shrivastaya, Gulshan; Sharma, Kavita (2019). 「スマートフォンが引き起こすセキュリティ上の課題 - 問題点、事例研究、そして予防策」 Le, Dac-Nhuong; Kumar, Raghvendra; Mishra, Brojo Kishore; Chatterjee, Jyotir Moy; Khari, Manju (編). 『並列・分散コンピューティングにおけるサイバーセキュリティ：概念、手法、応用、そして事例研究』 John Wiley & Sons. pp. 187–206 (200). doi :10.1002/9781119488330.ch12. ISBN 978-1-119-48805-7. S2CID  214034702。
74. 「PlayStation 4で使用されているオープンソースソフトウェア」。ソニー・インタラクティブエンタテインメント。 2017年12月11日閲覧。
75. 「Dolby AC-4: 次世代エンターテイメントサービス向けオーディオ配信」(PDF) .ドルビーラボラトリーズ. 2015年6月. 2019年5月30日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2019年11月11日閲覧。
76. Bleidt, RL; Sen, D.; Niedermeier, A.; Czelhan, B.; Füg, S.; et al. (2017). 「ATSC 3.0向けMPEG-H TVオーディオシステムの開発」(PDF) . IEEE Transactions on Broadcasting . 63 (1): 202– 236. Bibcode :2017ITB....63..202B. doi :10.1109/TBC.2017.2661258. S2CID  30821673.
77. Schnell, Markus; Schmidt, Markus; Jander, Manuel; Albert, Tobias; Geiger, Ralf; Ruoppila, Vesa; Ekstrand, Per; Bernhard, Grill (2008年10月). MPEG-4 Enhanced Low Delay AAC - 高品質通信のための新規格(PDF) . 第125回AESコンベンション. Fraunhofer IIS .オーディオエンジニアリング協会. 2019年10月20日閲覧.
78. Lutzky, Manfred; Schuller, Gerald; Gayer, Marc; Krämer, Ulrich; Wabnik, Stefan (2004年5月). オーディオコーデックの遅延に関するガイドライン(PDF) . 第116回AESコンベンション. Fraunhofer IIS .オーディオエンジニアリング協会. 2019年10月24日閲覧.
79. Nagireddi, Sivannarayana (2008). VoIP音声およびFAX信号処理. John Wiley & Sons . p. 69. ISBN 978-0-470-37786-4。
80. 「ITU-T作業プログラム」. ITU。
81. Terriberry, Timothy B. CELTコーデックのプレゼンテーション。イベントは65分に発生します。2011年8月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年10月19日閲覧。また、「CELT コーデックのプレゼンテーション スライド」(PDF)もご覧ください。
82. “Ekiga 3.1.0 available”. 2011年9月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年10月19日閲覧。
83. "☏ FreeSWITCH". SignalWire .
84. 「Enhanced Voice Services (EVS) Codec」（PDF） . Fraunhofer IIS . 2017年3月. 2019年10月19日閲覧。
85. Abousleman, GP; Marcellin, MW; Hunt, BR (1995年1月)、「3次元DCTとハイブリッドDPCM/DCTを用いたハイパースペクトル画像の圧縮」、IEEE Trans. Geosci. Remote Sens.、33 (1): 26– 34、Bibcode :1995ITGRS..33...26A、doi :10.1109/36.368225
86. Chan, Y.; Siu, W. (1997年5月)、「可変時間長3次元離散コサイン変換符号化」(PDF)、IEEE Trans. Image Process.、6 (5): 758– 763、Bibcode :1997ITIP....6..758C、CiteSeerX 10.1.1.516.2824、doi :10.1109/83.568933、hdl :10397/1928、PMID  18282969 
87. Song, J.; SXiong, Z.; Liu, X.; Liu, Y., 「階層化ビデオ符号化および伝送のためのアルゴリズム」, Proc. Fourth Int. Conf./Exh. High Performance Comput. Asia-Pacific Region , 2 : 700– 703
88. Tai, S.-C; Gi, Y.; Lin, C.-W. (2000年9月)、「医用画像圧縮のための適応型3次元離散コサイン変換符号化器」、IEEE Trans. Inf. Technol. Biomed.、4 (3): 259– 263、Bibcode :2000ITITB...4..259S、doi :10.1109/4233.870036、PMID  11026596、S2CID  18016215
89. Yeo, B.; Liu, B. (1995年5月)、「DCTベース圧縮3Dスカラーデータのボリュームレンダリング」、IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics、1 (1): 29– 43、Bibcode :1995ITVCG...1...29B、doi :10.1109/2945.468390
90. Chan, SC; Liu, W.; Ho, KI (2000). 「2のべき乗の係数の和を持つ完全再構成変調フィルタバンク」. 2000 IEEE 国際回路・システムシンポジウム. 21世紀の新興技術. Proceedings (IEEE Cat No.00CH36353) . 第2巻. pp.  73– 76. doi :10.1109/ISCAS.2000.856261. hdl :10722/46174. ISBN 0-7803-5482-6. S2CID  1757438。
91. Queiroz, RL; Nguyen, TQ (1996). 「効率的な変換/サブバンド符号化のための重複変換」IEEE Trans. Signal Process . 44 (5): 497– 507.
92. マルバー 1992.
93. Chan, SC; Luo, L.; Ho, KL (1998). 「Mチャネルコンパクトサポート双直交コサイン変調ウェーブレット基底」. IEEE Trans. Signal Process . 46 (2): 1142– 1151. Bibcode :1998ITSP...46.1142C. doi :10.1109/78.668566. hdl : 10722/42775 .
94. Katsaggelos, Aggelos K.; Babacan, S. Derin; Chun-Jen, Tsai (2009). 「第15章 反復画像修復」.画像処理エッセンシャルガイド.アカデミックプレス. pp.  349– 383. ISBN 978-0-12-374457-9。
95. 「モスキート音」PC Magazine 2019年10月19日閲覧。
96. メンクマン、ローザ（2011年10月）『グリッチ・モーメント（um）』（PDF）ネットワーク文化研究所ISBN 978-90-816021-6-7. 2019年10月19日閲覧。
97. ラフ、トーマス（2009年5月31日）「jpegs」、アパーチャー、132ページ、ISBN 978-1-59711-093-8。
98. Colberg, Jörg (2009年4月17日). 「Review: jpegs by Thomas Ruff」.
99. 「離散コサイン変換 - MATLAB dct」www.mathworks.com . 2019年7月11日閲覧。
100. ペネベーカー, ウィリアム・B.; ミッチェル, ジョーン・L. (1992年12月31日). JPEG: 静止画像データ圧縮規格. シュプリンガー. ISBN 978-0-442-01272-4。
101. 新井泰司;アグイ、T.中島正人（1988）。 「画像用の高速DCT-SQ方式」。電子情報通信学会トランザクション. 71 (11): 1095–1097。
102. Shao, Xuancheng; Johnson, Steven G. (2008). 「演算回数を削減したType-II/III DCT/DSTアルゴリズム」. Signal Processing . 88 (6): 1553– 1564. arXiv : cs/0703150 . Bibcode :2008SigPr..88.1553S. doi :10.1016/j.sigpro.2008.01.004. S2CID  986733.
103. マルバー 1992
104. マルトゥッチ 1994
105. Chan, SC; Ho, KL (1990). 「離散正弦波変換を計算するための直接法」. IEE Proceedings F - Radar and Signal Processing . 137 (6): 433. doi :10.1049/ip-f-2.1990.0063.
106. Alshibami, O.; Boussakta, S. (2001年7月). 「3次元DCT-IIIのための3次元アルゴリズム」Proc. Sixth Int. Symp. Commun., Theory Applications : 104– 107.
107. Guoan Bi; Gang Li; Kai-Kuang Ma; Tan, TC (2000). 「2次元DCTの計算について」. IEEE Transactions on Signal Processing . 48 (4): 1171– 1183. Bibcode :2000ITSP...48.1171B. doi :10.1109/78.827550.
108. Feig, E.; Winograd, S. (1992a年7月). 「離散コサイン変換の乗法計算量について」. IEEE Transactions on Information Theory . 38 (4): 1387– 1391. Bibcode :1992ITIT...38.1387F. doi :10.1109/18.144722.
109. HJ ヌスバウマー (1981)。高速フーリエ変換および畳み込みアルゴリズム(第 1 版)。ニューヨーク: Springer-Verlag。
110. Shao, Xuancheng; Johnson, Steven G. (2008). 「演算回数を削減したType-II/III DCT/DSTアルゴリズム」. Signal Processing . 88 (6): 1553– 1564. arXiv : cs/0703150 . Bibcode :2008SigPr..88.1553S. doi :10.1016/j.sigpro.2008.01.004. S2CID  986733.

さらに読む

• Narasimha, M.; Peterson, A. (1978年6月). 「離散コサイン変換の計算について」. IEEE Transactions on Communications . 26 (6): 934– 936. doi :10.1109/TCOM.1978.1094144.
• Makhoul, J. (1980年2月). 「1次元および2次元における高速コサイン変換」. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 28 (1): 27– 34. doi :10.1109/TASSP.1980.1163351.
• Sorensen, H.; Jones, D.; Heideman, M.; Burrus, C. (1987年6月). 「実数値高速フーリエ変換アルゴリズム」. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 35 (6): 849– 863. CiteSeerX  10.1.1.205.4523 . doi :10.1109/TASSP.1987.1165220.
• Plonka, G. ; Tasche, M. (2005年1月). 「離散コサイン変換のための高速かつ数値的に安定したアルゴリズム」.線形代数とその応用. 394 (1): 309– 345. doi : 10.1016/j.laa.2004.07.015 .
• Duhamel, P.; Vetterli, M. (1990年4月). 「高速フーリエ変換：チュートリアルレビューと最新技術」.信号処理(投稿原稿). 19 (4): 259– 299. Bibcode :1990SigPr..19..259D. doi :10.1016/0165-1684(90)90158-U.
• Ahmed, N. (1991年1月). 「離散コサイン変換の考案」.デジタル信号処理. 1 (1): 4– 9.書誌コード:1991DSP.....1....4A. doi :10.1016/1051-2004(91)90086-Z.
• Feig, E.; Winograd, S. (1992b年9月). 「離散コサイン変換のための高速アルゴリズム」. IEEE Transactions on Signal Processing . 40 (9): 2174– 2193. Bibcode :1992ITSP...40.2174F. doi :10.1109/78.157218.
• マルバー、エンリケ（1992）、ラップ変換による信号処理、ボストン：アーテックハウス、ISBN 978-0-89006-467-2
• Martucci, SA (1994年5月). 「対称畳み込みと離散正弦変換および離散余弦変換」. IEEE Transactions on Signal Processing . 42 (5): 1038– 1051. Bibcode :1994ITSP...42.1038M. doi :10.1109/78.295213.
• オッペンハイム、アラン; シェーファー、ロナルド; バック、ジョン (1999)、『離散時間信号処理（第2版）』、アッパーサドルリバー、ニュージャージー州: プレンティスホール、ISBN 978-0-13-754920-7
• Frigo, M.; Johnson, SG (2005年2月). 「FFTW3の設計と実装」(PDF) . Proceedings of the IEEE . 93 (2): 216– 231. Bibcode :2005IEEEP..93..216F. CiteSeerX  10.1.1.66.3097 . doi :10.1109/JPROC.2004.840301. S2CID  6644892.
• Boussakta, Said.; Alshibami, Hamoud O. (2004年4月). 「3次元DCT-IIのための高速アルゴリズム」(PDF) . IEEE Transactions on Signal Processing . 52 (4): 992– 1000. Bibcode :2004ITSP...52..992B. doi :10.1109/TSP.2004.823472. S2CID  3385296.
• Cheng, LZ; Zeng, YH (2003). 「多次元タイプIV DCTのための新しい高速アルゴリズム」. IEEE Transactions on Signal Processing . 51 (1): 213– 220. doi :10.1109/TSP.2002.806558.
• ウェン・シウン・チェン、スミス、C.、フラリック、S.（1977年9月）「離散コサイン変換のための高速計算アルゴリズム」IEEE Transactions on Communications . 25 (9): 1004– 1009. doi :10.1109/TCOM.1977.1093941.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007)「Section 12.4.2. Cosine Transform」、Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (第3版)、ニューヨーク: Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-88068-8、2011年8月11日にオリジナルからアーカイブ、 2011年8月13日取得

外部リンク

• サイード・アリ・カヤム：離散コサイン変換（DCT）：理論と応用
• 8x8 IDCTのMPEG整数近似の実装（ISO/IEC 23002-2）
• Matteo FrigoとSteven G. Johnson：FFTW、FFTWホームページ。任意のサイズの1次元または複数次元の高速DCT（タイプI～IV）を計算できる無料（ GPL ）Cライブラリ。
• 大浦卓也: 汎用FFTパッケージ、FFTパッケージ1次元/2次元。1次元、2次元、または3次元、2のべき乗サイズの高速DCT（タイプII～III）を計算するための無料のCおよびFORTRANライブラリ。
• Tim Kientzle: 8 ポイント DCT および IDCT を計算するための高速アルゴリズム、Algorithm Alley。
• LTFAT は、タイプ I ～ IV の DCT および DST の FFTW 実装へのインターフェイスを備えた無料の Matlab/Octave ツールボックスです。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Discrete_cosine_transform&oldid=1318446877"