インピーダンスパラメータ

Set of properties used in electrical engineering

インピーダンスパラメータまたはZパラメータ（インピーダンス行列またはZ行列の要素）は、電気工学、電子工学、通信システム工学において、線形電気回路網の電気的挙動を記述するために使用される特性です。また、非線形回路網の小信号（線形化）応答を記述するためにも使用されます。これらは、電子工学で使用される類似 のパラメータ群に属し、他の例としては、Sパラメータ^[1] 、Yパラメータ^[2] 、Hパラメータ、Tパラメータ、またはABCDパラメータ^[ 3]などがあります。^[4]

Z パラメータは、開回路条件下で計算されるため、開回路インピーダンス パラメータとも呼ばれます。つまり、I _x =0 で、x=1,2 はそれぞれポート (この場合は2 ポート ネットワーク) を流れる入力電流と出力電流を指します。

Zパラメータ行列

Zパラメータ行列は、多数のポートを持つブラックボックスとみなせる線形電気ネットワークの挙動を記述します。ここで言うポートとは、ネットワークに出入りする等しく反対向きの電流を流し、その間に特定の電圧がかかる一対の電気端子のことです。Z行列は、任意のポートの電流がこのようにバランスしていない場合（このような状況が起こり得る場合）、ネットワークの挙動に関する情報を提供しません。また、同じポートに属さない端子間の電圧に関する情報も提供しません。通常、ネットワークへの各外部接続は1つのポートの端子間のみで行われるため、これらの制限は適切です。

一般的なマルチポートネットワーク定義では、各ポートに1からNまでの整数nが割り当てられていると仮定します（Nはポートの総数）。ポートnに対応するZパラメータは、それぞれポート電流とポート電圧で定義されます。 ${\displaystyle I_{n}\,}$ ${\displaystyle V_{n}\,}$

すべてのポートの電圧は Z パラメータ マトリックスで定義でき、電流は次のマトリックス方程式で定義できます。

${\displaystyle V=ZI\,}$

ここで、ZはN × N行列であり、その要素は従来の行列記法を用いてインデックス付けできます。一般に、Zパラメータ行列の要素は複素数であり、周波数の関数です。1ポートネットワークの場合、Z行列は1つの要素、つまり2つの端子間で測定される通常のインピーダンスに簡約されます。Zパラメータは、1つのポートに電流を流し、駆動されていないポートを開回路に終端した状態で全ポートの電圧を測定することで測定または計算されるため、開回路パラメータとも呼ばれます。

2ポートネットワーク

2 ポート ネットワークの Z パラメータの等価回路。

逆2 ポート ネットワークの Z パラメータの等価回路。

2ポートネットワークのZパラメータ行列はおそらく最も一般的です。この場合、ポート電流、ポート電圧、およびZパラメータ行列の関係は次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}}$。

どこ

${\displaystyle Z_{11}={V_{1} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{12}={V_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}}$

${\displaystyle Z_{21}={V_{2} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{22}={V_{2} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}}$

Nポートネットワークの一般的なケースでは、

${\displaystyle Z_{nm}={V_{n} \over I_{m}}{\bigg |}_{I_{k}=0{\text{ for }}k\neq m}}$

インピーダンス関係

2ポートネットワークの入力インピーダンスは次のように表されます。

${\displaystyle Z_{\text{in}}=Z_{11}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{22}+Z_{L}}}}$

ここで、Z _Lはポート 2 に接続された負荷のインピーダンスです。

同様に、出力インピーダンスは次のように表されます。

${\displaystyle Z_{\text{out}}=Z_{22}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{11}+Z_{S}}}}$

ここで、Z _Sはポート 1 に接続されたソースのインピーダンスです。

Sパラメータとの関係

ネットワークのZパラメータはSパラメータと次の関係がある^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}Z&={\sqrt {z}}(1_{\!N}+S)(1_{\!N}-S)^{-1}{\sqrt {z}}\\&={\sqrt {z}}(1_{\!N}-S)^{-1}(1_{\!N}+S){\sqrt {z}}\\\end{aligned}}}$ 

そして^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}\\&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})\\\end{aligned}}}$ 

ここで、は単位行列であり、は各ポートの特性インピーダンスの平方根を非ゼロ要素として 持つ対角行列である。 ${\displaystyle 1_{\!N}}$ ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {z_{01}}}&\\&{\sqrt {z_{02}}}\\&&\ddots \\&&&{\sqrt {z_{0N}}}\end{pmatrix}}}$

は特性アドミタンスの平方根の対応する対角行列である。これらの式では、括弧で囲まれた因子で表される行列は交換可能であり、したがって、上記に示したように、どちらの順序で書いてもよい。^{[5] [注 1]} ${\displaystyle {\sqrt {y}}=({\sqrt {z}})^{-1}}$

2ポート

各ポートの特性インピーダンスが同じである2ポートネットワークの特殊なケースでは、上記の式は次のように簡約されます。 ${\displaystyle z_{01}=z_{02}=Z_{0}}$

${\displaystyle Z_{11}={((1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21}) \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

${\displaystyle Z_{12}={2S_{12} \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

${\displaystyle Z_{21}={2S_{21} \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

${\displaystyle Z_{22}={((1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21}) \over \Delta _{S}}Z_{0}\,}$

どこ

${\displaystyle \Delta _{S}=(1-S_{11})(1-S_{22})-S_{12}S_{21}\,}$

2ポートSパラメータは、等価2ポートZパラメータから次の式で得られる^[6]。

${\displaystyle S_{11}={(Z_{11}-Z_{0})(Z_{22}+Z_{0})-Z_{12}Z_{21} \over \Delta }}$

${\displaystyle S_{12}={2Z_{0}Z_{12} \over \Delta }\,}$

${\displaystyle S_{21}={2Z_{0}Z_{21} \over \Delta }\,}$

${\displaystyle S_{22}={(Z_{11}+Z_{0})(Z_{22}-Z_{0})-Z_{12}Z_{21} \over \Delta }}$

どこ

${\displaystyle \Delta =(Z_{11}+Z_{0})(Z_{22}+Z_{0})-Z_{12}Z_{21}\,}$

上記の式では、一般に とに複素数を使用します。 の特定の値では の値が0 になる可能性があるため、の計算でで割ると0 で割る結果になる可能性があることに注意してください。 ${\displaystyle S_{ij}\,}$ ${\displaystyle Z_{ij}\,}$ ${\displaystyle \Delta \,}$ ${\displaystyle Z_{ij}\,}$ ${\displaystyle \Delta \,}$ ${\displaystyle S_{ij}\,}$

Yパラメータとの関係

YパラメータからZパラメータへの変換ははるかに簡単です。Zパラメータ行列はYパラメータ行列の逆行列だからです。2ポートの場合：

${\displaystyle Z_{11}={Y_{22} \over \Delta _{Y}}\,}$

${\displaystyle Z_{12}={-Y_{12} \over \Delta _{Y}}\,}$

${\displaystyle Z_{21}={-Y_{21} \over \Delta _{Y}}\,}$

${\displaystyle Z_{22}={Y_{11} \over \Delta _{Y}}\,}$

どこ

${\displaystyle \Delta _{Y}=Y_{11}Y_{22}-Y_{12}Y_{21}\,}$

Yパラメータ行列の行列式です。

注記

1. 任意の正方行列はそれ自身および単位行列と可換であり、2つの行列AとBが可換であれば、 AとB ⁻¹も可換である（ AB ⁻¹  =  B ⁻¹ BAB ⁻¹  =  B ⁻¹ ABB ⁻¹  =  B ⁻¹ Aであるため）。

参考文献

1. David M. Pozar (2004-02-05). Microwave Engineering . Wiley. pp.  170– 174. ISBN 978-0-471-44878-5。
2. David M. Pozar、2005 (前掲); 170-174ページ。
3. David M. Pozar、2005 (前掲); 183-186ページ。
4. AH Morton, Advanced Electrical Engineering , Pitman Publishing Ltd., 1985; pp 33-72, ISBN 0-273-40172-6。
5. Russer, Peter (2003).通信工学のための電磁気学、マイクロ波回路、アンテナ設計. Artech House. p. 420. ISBN 1-58053-532-1。
6. サイモン・ラモ、ジョン・R・ウィナリー、セオドア・ヴァン・デューザー (1994年2月9日).通信エレクトロニクスにおける電界と波動. Wiley. pp.  537– 541. ISBN 978-0-471-58551-0。

参考文献

• David M. Pozar (2004-02-05). Microwave Engineering . Wiley. ISBN 978-0-471-44878-5。
• Simon Ramo、John R. Whinnery、Theodore Van Duzer (1994-02-09). Fields and Waves in Communication Electronics . Wiley. ISBN 978-0-471-58551-0。

参照

• 散乱パラメータ
• アドミタンスパラメータ
• 2ポートネットワーク

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