音響インピーダンス

Opposition that a system presents to an acoustic pressure

音響測定
特性	記号
音圧	p、SPL、L PA
粒子速度	v、SVL
粒子変位	δ
音響強度	I、SIL
音響パワー	P、SWL、L WA
音響エネルギー	W
音響エネルギー密度	w
音響暴露	E、SEL
音響インピーダンス	Z
可聴周波数	AF
透過損失	TL
v t e

音響インピーダンスと比音響インピーダンスは、システムに加えられた音圧によって生じる音響流に対するシステムの抵抗の尺度です。音響インピーダンスのSI単位はパスカル秒/立方メートル（記号Pa·s/m ³）、またはMKS単位系ではレイル/平方メートル（Rayl/m ²）です。一方、比音響インピーダンスのSI単位はパスカル秒/メートル（Pa·s/m ）、またはMKS単位系ではレイル（Rayl）です。^[1]電気インピーダンスと密接な類似点があります。電気インピーダンスは、システムに印加された電圧によって生じる電流に対するシステムの抵抗を測定します。

数学的定義

音響インピーダンス

線形時間不変システムの場合、システムに印加される音圧と、その印加点におけるその圧力の方向に垂直な表面を通過する結果として生じる音響体積流量との関係は、次式で表されます。 ^[要出典]

${\displaystyle p(t)=[R*Q](t),}$

または、次のように等価です。

${\displaystyle Q(t)=[G*p](t),}$

ここで、

• pは音圧です。
• Qは音響体積流量です。
• ${\displaystyle *}$は畳み込み演算子です。
• Rは時間領域における音響抵抗です。
• G = R ^−1は時間領域における音響コンダクタンスです（R ⁻¹はRの畳み込み逆数です）。

音響インピーダンス（Z）は、ラプラス変換、またはフーリエ変換、あるいは時間領域音響抵抗の解析的表現です。 ^[1]

${\displaystyle Z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[R](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}},}$

${\displaystyle Z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[R](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}},}$

${\displaystyle Z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}R_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

ここで、

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$はラプラス変換演算子です。
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$はフーリエ変換演算子です。
• 添え字「a」は解析的表現演算子です。
• Q ⁻¹はQの畳み込み逆数です。

音響抵抗（R）と音響リアクタンス（ X ）は、それぞれ音響インピーダンスの実部と虚部です。 ^[要出典]

${\displaystyle Z(s)=R(s)+iX(s),}$

${\displaystyle Z(\omega )=R(\omega )+iX(\omega ),}$

${\displaystyle Z(t)=R(t)+iX(t),}$

ここで、

• iは虚数単位です。
• Z ( s )において、R ( s ) は時間領域音響抵抗R ( t )のラプラス変換ではありません。Z ( s )は、
• Z ( ω )において、R ( ω ) は時間領域音響抵抗R ( t )のフーリエ変換ではありません。Z ( ω )は、
• Z ( t )において、R ( t )は時間領域音響抵抗であり、X ( t )は解析的表現の定義に従って、時間領域音響抵抗R ( t )のヒルベルト変換です。

誘導性音響リアクタンス（X _L）と容量性音響リアクタンス（X _C ）は、それぞれ音響リアクタンスの正の部分と負の部分です。 ^[要出典]

${\displaystyle X(s)=X_{L}(s)-X_{C}(s),}$

${\displaystyle X(\omega )=X_{L}(\omega )-X_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle X(t)=X_{L}(t)-X_{C}(t).}$

音響アドミタンス（Y ）は、ラプラス変換、またはフーリエ変換、あるいは時間領域音響コンダクタンスの解析的表現です。 ^[1]

${\displaystyle Y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[G](s)={\frac {1}{Z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[Q](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle Y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[G](\omega )={\frac {1}{Z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[Q](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle Y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}G_{\mathrm {a} }(t)=Z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[Q_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

ここで、

• Z ⁻¹はZの畳み込み逆数です。
• p ⁻¹はpの畳み込み逆数です

音響コンダクタンス（G ）と音響サセプタンス（B ）は、それぞれ音響アドミタンスの実部と虚部です。^[要出典]

${\displaystyle Y(s)=G(s)+iB(s),}$

${\displaystyle Y(\omega )=G(\omega )+iB(\omega ),}$

${\displaystyle Y(t)=G(t)+iB(t),}$

ここで、

• Y ( s )において、 G ( s ) は時間領域音響コンダクタンスG ( t )のラプラス変換ではありません。Y ( s ) は、
• Y ( ω )において、G ( ω )は時間領域音響コンダクタンスG ( t )のフーリエ変換ではありません。Y ( ω )はフーリエ変換です。
• 解析的表現の定義によれば、 Y ( t )において、 G ( t )は時間領域音響コンダクタンスであり、B ( t )は時間領域音響コンダクタンスG ( t )のヒルベルト変換です

音響抵抗は音波のエネルギー伝達を表します。圧力と運動は同位相であるため、仕事は音波の前方の媒体に対して行われます。音響リアクタンスは、運動と位相がずれた圧力を表し、平均エネルギー伝達を引き起こしません。^[要出典]例えば、オルガンパイプに接続された密閉された電球には、空気が流入し圧力がかかりますが、位相がずれているため、正味エネルギーは伝達されません。圧力が上昇すると空気が流入し、圧力が低下すると空気が流出しますが、空気が流入するときの平均圧力は流出するときの平均圧力と同じであるため、電力は前後に流れますが、時間平均エネルギー伝達はありません。^[要出典]さらに電気的な例えとして、電力線に接続されたコンデンサがあります。電流はコンデンサを流れますが、電圧と位相がずれているため、正味電力は伝達されません。

比音響インピーダンス

線形時間不変システムの場合、システムに印加される音圧と、その印加点におけるその圧力方向の粒子速度との関係は、次のように表されます。

${\displaystyle p(t)=[r*v](t),}$

または、次のように等価です。

${\displaystyle v(t)=[g*p](t),}$

ここで、

• pは音圧です。
• vは粒子速度です。
• rは時間領域における比音響抵抗です。
• g = r ^−1は時間領域における比音響コンダクタンスです（r ⁻¹はrの畳み込み逆数です）。^[要出典]

比音響インピーダンス（z）は、ラプラス変換、またはフーリエ変換、あるいは時間領域における比音響抵抗の解析的表現です。^[1]

${\displaystyle z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[r](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[v](s)}},}$

${\displaystyle z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[r](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\omega )}},}$

${\displaystyle z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}r_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

ここで、 v ⁻¹はvの畳み込み逆数です。

rと表記される比音響抵抗と、 xと表記される比音響リアクタンスは、それぞれ比音響インピーダンスの実部と虚部です。^[要出典]

${\displaystyle z(s)=r(s)+ix(s),}$

${\displaystyle z(\omega )=r(\omega )+ix(\omega ),}$

${\displaystyle z(t)=r(t)+ix(t),}$

ここで、

• z ( s )、r ( s ) は時間領域特定の音響抵抗r ( t )、z ( s )のラプラス変換ではありません。
• z ( ω )において、r ( ω )は時間領域固有音響抵抗r ( t )のフーリエ変換ではなく、z ( ω )は…です。
• z ( t )において、r ( t )は時間領域固有音響抵抗であり、x ( t )は解析表現の定義に従って、時間領域固有音響抵抗r ( t )のヒルベルト変換です。

固有誘導性音響リアクタンス（x _L）と固有容量性音響リアクタンス（x _{C ）}は、それぞれ固有音響リアクタンスの正の部分と負の部分です。^[要出典]

${\displaystyle x(s)=x_{L}(s)-x_{C}(s),}$

${\displaystyle x(\omega )=x_{L}(\omega )-x_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle x(t)=x_{L}(t)-x_{C}(t).}$

固有音響アドミタンス（ y ）は、ラプラス変換、またはフーリエ変換、あるいは時間領域における固有音響コンダクタンスの解析的表現です。^[1]

${\displaystyle y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[g](s)={\frac {1}{z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[v](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[g](\omega )={\frac {1}{z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[v](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}g_{\mathrm {a} }(t)=z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[v_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

ここで、

• z ⁻¹はzの畳み込み逆数です。
• p ⁻¹はpの畳み込み逆数です

比音響コンダクタンスgと比音響サセプタンスbは、それぞれ比音響アドミタンスの実部と虚部です。^[要出典]

${\displaystyle y(s)=g(s)+ib(s),}$

${\displaystyle y(\omega )=g(\omega )+ib(\omega ),}$

${\displaystyle y(t)=g(t)+ib(t),}$

ここで、

• y ( s )において、g ( s )は時間領域音響コンダクタンスg ( t )のラプラス変換ではありません。y ( s )は…です。
• y ( ω )において、g ( ω )は時間領域音響コンダクタンスg ( t )のフーリエ変換ではありません。y ( ω )は…です
• y ( t )において、g ( t )は時間領域音響コンダクタンスであり、b ( t )は解析的表現の定義に従った時間領域音響コンダクタンスg ( t )のヒルベルト変換である。

比音響インピーダンスZは特定の媒体の示強特性です（例：空気や水のZは指定できます）。一方、音響インピーダンスZは特定の媒体と形状の示強特性です（例：空気で満たされた特定のダクトのZは指定できます）。 ^[要出典]

音響オーム

音響オームは音響インピーダンスの測定単位です。圧力のSI単位はパスカル、流量のSI単位は立方メートル/秒であるため、音響オームは1 Pa·s/m ³に等しくなります。^[要出典]

音響オームは、音響の領域外の流体の流れに適用できます。このような用途では、同一の定義を持つ水力オームを使用できます。水力オームの測定値は、水圧と水力体積流量の比となります。

関係

面積Aの開口部を通過する1次元波の場合、音響体積流量Qは、開口部を1秒あたりに通過する媒体の体積です。音響流が距離d x = v d tを移動する場合、通過する媒体の体積はd V = A d xとなるため、次の式が成り立ちます。^[要出典]

${\displaystyle Q={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}=A{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=Av.}$

波が1次元の場合、次の式が得られます。

${\displaystyle Z(s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{A{\mathcal {L}}[v](s)}}={\frac {z(s)}{A}},}$

${\displaystyle Z(\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{A{\mathcal {F}}[v](\omega )}}={\frac {z(\omega )}{A}},}$

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left({\frac {v^{-1}}{A}}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {z(t)}{A}}.}$

特性音響インピーダンス

特性比音響インピーダンス

1次元における非分散線形音響の構成法則は、応力とひずみの関係を示しています。^[1]

${\displaystyle p=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}},}$

ここで、

• pは媒体内の音圧です。
• ρは媒体の体積質量密度です。
• cは媒体内を伝わる音波の速度です。
• δは粒子の変位です。
• xは音波の伝播方向に沿った空間変数です。

この式は流体と固体の両方に有効です

• 流体の場合、ρc ² = K（Kは体積弾性係数を表す）。
• 固体では、縦波の場合ρc ² = K + 4/3 G（Gはせん断弾性係数）、横波の場合ρc ² = Gです。^[要出典]

ニュートンの第二法則を媒質に局所的に適用すると、次のようになります。^[2]

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}.}$

この式を前の式と組み合わせると、1次元波動方程式が得られます。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial x^{2}}}.}$

平面波

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=\delta (x,\,t)}$

この波動方程式の解は、x軸方向に同じ速度で反対方向に進行する2つの進行平面波の和で構成されます。^[要出典]

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=f(x-ct)+g(x+ct)}$

そこから導出できます

${\displaystyle v(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\partial \delta }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)=-c{\big [}f'(x-ct)-g'(x+ct){\big ]},}$

${\displaystyle p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}}(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\big [}f'(x-ct)+g'(x+ct){\big ]}.}$

進行平面波の場合： ^[要出典]

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,f'(x-ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=-c\,f'(x-ct)\end{cases}}}$

または

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,g'(x+ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=c\,g'(x+ct).\end{cases}}}$

最後に、比音響インピーダンスzは

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](\mathbf {r} ,\,s)}{{\mathcal {L}}[v](\mathbf {r} ,\,s)}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\mathbf {r} ,\,\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\mathbf {r} ,\,\omega )}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(\mathbf {r} ,\,t)=\pm \rho c.}$^[要出典]

この比音響インピーダンスの絶対値は、しばしば特性比音響インピーダンスと呼ばれ、z 0と表記されます。_[ 1 ^]

${\displaystyle z_{0}=\rho c.}$

これらの式はまた、

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{v(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm \rho c=\pm z_{0}.}$

温度の影響

温度は音速と質量密度、ひいては比音響インピーダンスに作用します。^[要出典]

空気の性質に対する温度の影響

摂氏 温度 θ [ °C ]	音速 c [ m / s ]	空気の密度 ρ [ kg / m 3 ]	特性比 音響インピーダンス z 0 [ Pa・s / m ]
35	351.88	1.1455	403.2
30	349.02	1.1644	406.5
25	346.13	1.1839	409.4
20	343.21	1.2041	413.3
15	340.27	1.2250	416.9
10	337.31	1.2466	420.5
5	334.32	1.2690	424.3
0	331.30	1.2922	428.0
−5	328.25	1.3163	432.1
−10	325.18	1.3413	436.1
−15	322.07	1.3673	440.3
−20	318.94	1.3943	444.6
−25	315.77	1.4224	449.1

特性音響インピーダンス

面積Aの開口部を通過する1次元波の場合、Z = z / Aとなるため、波が進行平面波である場合、次の式が成り立ちます。 ^[要出典]

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,s)=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,\omega )=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,t)=\pm {\frac {\rho c}{A}}.}$

この音響インピーダンスの絶対値は、しばしば特性音響インピーダンスと呼ばれ、 Z ₀ : ^[1]と表記されます。

${\displaystyle Z_{0}={\frac {\rho c}{A}}.}$

そして、特性比音響インピーダンスは

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{Q(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm {\frac {\rho c}{A}}=\pm Z_{0}.}$

面積Aの開口部をパイプの始点とし、平面波をパイプに送り込むと、開口部を通過する波は反射がない場合には進行平面波となり、通常、パイプのもう一方の端からの反射は、開状態か閉状態かにかかわらず、一方の端からもう一方の端まで伝わる波の和となります。^[3]（パイプが非常に長い場合、反射波が戻るまでに長い時間がかかり、パイプ壁での損失によって減衰するため、反射が全くない可能性があります。^[3]）。このような反射とその結果生じる定在波は、管楽器の設計と操作において非常に重要です。^[4]

参照

• 音響減衰
• 地震爆弾
• インピーダンスの類推
• 機械インピーダンス

参考文献

1. Kinsler L, Frey A, Coppens A, Sanders J (2000). Fundamentals of Acoustics . Hoboken: Wiley. ISBN 0-471-84789-5.
2. Attenborough K, Postema M (2008). ポケットサイズの音響学入門. キングストン・アポン・ハル: ハル大学. doi :10.5281/zenodo.7504060. ISBN 978-90-812588-2-1.
3. Rossing TD, Fletcher NH (2004). Principles of Vibration and Sound (第2版). Heidelberg: Springer. ISBN 978-1-4757-3822-3. OCLC  851835364.
4. Fletcher NH, Rossing TD (1998).楽器の物理学（第2版）. ハイデルベルク：シュプリンガー. ISBN 978-0-387-21603-4. OCLC  883383570.

外部リンク

• 音の波動方程式
• 音響インピーダンスとは何か、なぜ重要なのか？

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