Plane curve defined by an implicit equation
カッシーニの楕円： （1）a=1.1、c=1（上）、 （2）a=c=1（中央）、 （3）a=1、c=1.05（下） 暗黙の曲線: sin ( x + y ) − cos ( x y ) + 1 = 0 {\displaystyle \sin(x+y)-\cos(xy)+1=0} 表面の 等高線 としての 暗黙曲線 sin ( x + y ) − cos ( x y ) + 1 = 0 {\displaystyle \sin(x+y)-\cos(xy)+1=0} z = sin ( x + y ) − cos ( x y ) + 1 {\displaystyle z=\sin(x+y)-\cos(xy)+1} 数学 において 、 暗黙曲線 とは、 2つの座標変数（通常は x と y）を関連付ける 暗黙方程式 によって定義される 平面曲線の ことである。例えば、 単位円は 暗黙方程式によって定義される 。一般に、すべての暗黙曲線は次の形式の方程式によって定義される。 x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0} 2変数関数 F に対して。したがって、暗黙曲線は2変数 関数の零点 集合とみなすことができます。 暗黙的 とは、方程式が xを y で表した解 、またはその逆の解として表されないことを意味します。
が 2 変数の多項式である 場合、対応する曲線は 代数曲線 と呼ばれ、それを調べるための特定の方法が用意されています。 F ( x , y ) {\displaystyle F(x,y)}
平面曲線は、3つの方法のいずれかで 直交座標 （ x , y 座標）で表すことができます。その1つは、上記に示した暗黙の方程式です。 関数のグラフ は通常、関数形式が明示的に示された 方程式で記述されます。これは 明示的 表現と呼ばれます。曲線の3つ目の重要な記述は パラメトリックな 記述で、曲線点の x 座標と y座標は、関数形式が明示的に示された2つの関数 x ( t )、 y ( t ) で表されます。 これらの関数は両方とも共通のパラメータに依存します。 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} t . {\displaystyle t.}
暗黙曲線の例には次のものがあります。
1 行 ： x + 2 y − 3 = 0 , {\displaystyle x+2y-3=0,} 円 ： x 2 + y 2 − 4 = 0 , {\displaystyle x^{2}+y^{2}-4=0,} 半 立方体放物面 ： x 3 − y 2 = 0 , {\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,} カッシーニの楕円 （図を参照）、 ( x 2 + y 2 ) 2 − 2 c 2 ( x 2 − y 2 ) − ( a 4 − c 4 ) = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})-(a^{4}-c^{4})=0} sin ( x + y ) − cos ( x y ) + 1 = 0 {\displaystyle \sin(x+y)-\cos(xy)+1=0} （図を参照）。 最初の4つの例は代数曲線ですが、最後の例は代数曲線ではありません。最初の3つの例は単純な媒介変数表現を持っていますが、4番目と5番目の例はそうではありません。5番目の例は、暗黙曲線の複雑な幾何学的構造を示しています。
暗黙 関数定理は、 方程式を x および/または y について 暗黙的に解く ことができる条件 、つまり または と正しく書ける 条件を記述します 。この定理は、曲線の重要な幾何学的特徴、すなわち 接線 、 法線 、 曲率 を計算するための鍵となります。実際には、暗黙曲線には視覚化が難しいという重要な欠点があります。しかし、暗黙曲線を表示できるコンピュータプログラムが存在します。暗黙曲線の特殊な性質により、幾何学やコンピュータグラフィックスにおいて不可欠なツールとなっています。 F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0} x = g ( y ) {\displaystyle x=g(y)} y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)}
方程式を持つ暗黙の曲線は、 サーフェスのレベル 0 の レベル曲線 と見なすことができます (3 番目の図を参照)。 F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0} z = F ( x , y ) {\displaystyle z=F(x,y)}
傾斜と曲率 一般に、暗黙曲線は 垂直線テスト （つまり、 xのいくつかの値が y の複数の値に関連付けられている ）を満たさないため、必ずしも関数のグラフではありません。しかし、 暗黙関数定理は、 暗黙曲線が 局所的に 関数のグラフによって与えられる（つまり、特に自己交差を持たない）ための条件を与えます。定義関係が十分に滑らかであれば、そのような領域では、暗黙曲線は明確に定義された傾き、接線、法線ベクトル、および曲率を持ちます。
与えられた暗黙曲線に対してこれらの量を計算する方法はいくつかあります。1つの方法は、 暗黙微分を用いて yの x に関する 導関数を計算することです 。あるいは、暗黙方程式 で定義された曲線に対して、これらの式 を の 偏導関数 で直接表すこともできます 。以下では、偏導関数は、 （ x に関する導関数の場合 ） 、 （ x に関する2次偏導関数の場合 ）、 （混合2次偏導関数の場合）と表記されます。 F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0} F {\displaystyle F} F x {\displaystyle F_{x}} F y {\displaystyle F_{y}} F x x {\displaystyle F_{xx}} F x y {\displaystyle F_{xy}} F y y . {\displaystyle F_{yy}.}
接線と法線ベクトル 最初の偏導関数 とが 両方とも 0 に等しくない
場合 、曲線点は 正則 です。 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} F x ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0})} F y ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle F_{y}(x_{0},y_{0})}
正規点における 接線 の方程式 は ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})}
F x ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) + F y ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) = 0 , {\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})=0,} したがって、接線の傾き、つまりその点における曲線の傾きは、
slope = − F x ( x 0 , y 0 ) F y ( x 0 , y 0 ) . {\displaystyle {\text{slope}}=-{\frac {F_{x}(x_{0},y_{0})}{F_{y}(x_{0},y_{0})}}.} 曲線がその点で垂直である 場合 、一方 、 その点で と の両方が垂直である場合、曲線はそこでは微分可能ではなく、代わりに 特異点 、つまり 尖点 または曲線が交差する点のいずれかになります。 F y ( x , y ) = 0 ≠ F x ( x , y ) {\displaystyle F_{y}(x,y)=0\neq F_{x}(x,y)} ( x 0 , y 0 ) , {\displaystyle (x_{0},y_{0}),} F y ( x , y ) = 0 {\displaystyle F_{y}(x,y)=0} F x ( x , y ) = 0 {\displaystyle F_{x}(x,y)=0}
点における曲線の法線ベクトルは次のように与えられる。
n ( x 0 , y 0 ) = ( F x ( x 0 , y 0 ) , F y ( x 0 , y 0 ) ) {\displaystyle \mathbf {n} (x_{0},y_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0}))} (ここでは行ベクトルとして書かれています)。
曲率 式を読みやすくするために、引数は 省略されています。 正規点における 曲率は次の式で与えられます。 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} κ {\displaystyle \kappa }
κ = − F y 2 F x x + 2 F x F y F x y − F x 2 F y y ( F x 2 + F y 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy}}{(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}}} . [1]
暗黙関数定理は、点の近傍において、 となる 関数が存在することを保証する 。 連鎖律 により、関数の導関数 は ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} f {\displaystyle f} F ( x , f ( x ) ) = 0 {\displaystyle F(x,f(x))=0} f {\displaystyle f}
f ′ ( x ) = − F x ( x , f ( x ) ) F y ( x , f ( x ) ) {\displaystyle f'(x)=-{\frac {F_{x}(x,f(x))}{F_{y}(x,f(x))}}} そして f ″ ( x ) = − F y 2 F x x + 2 F x F y F x y − F x 2 F y y F y 3 {\displaystyle f''(x)={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy}}{F_{y}^{3}}}} (ここで、2 番目の式の右側の 引数は読みやすくするために省略されています)。 ( x , f ( x ) ) {\displaystyle (x,f(x))}
関数の導関数を 明示方程式のグラフの接線と曲率の公式に代入すると、次の 式が得られる。 f {\displaystyle f} y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)}
y = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) {\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})} （正接） κ ( x 0 ) = f ″ ( x 0 ) ( 1 + f ′ ( x 0 ) 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa (x_{0})={\frac {f''(x_{0})}{(1+f'(x_{0})^{2})^{3/2}}}} （曲率）。
暗黙曲線の利点と欠点
デメリット 暗黙曲線の本質的な欠点は、暗黙曲線の視覚化に必要な単一の点を簡単に計算できないことです (次のセクションを参照)。
利点 暗黙的表現は交差点の計算を容易にします。1 つの曲線が暗黙的に表現され、他の曲線がパラメトリックに表現されている場合、交差点の計算には単純な (1 次元) ニュートン反復法のみが必要です。これは、 暗黙的 - 暗黙的 および パラメトリック - パラメトリックの場合とは逆です ( 「交差点 」を参照 )。 暗黙的な表現は、 曲線上にない点を の符号によって分離する可能性を与えます 。これは、例えば ニュートン反復法の代わりに 偽位置法を適用する場合に役立ちます。 F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0} F ( x , y ) {\displaystyle F(x,y)} 小さな数値を追加するだけで、 与えられた暗黙の曲線とほぼ 幾何学的に類似し た曲線を簡単に生成できます。 (セクション「滑らかな近似」を参照)。 F ( x , y ) = 0 , {\displaystyle F(x,y)=0,} F ( x , y ) − c = 0 {\displaystyle F(x,y)-c=0}
暗黙曲線の応用 凸多角形の滑らかな近似 1)円の半分、2)2つの円の交差の滑らかな近似 数学において、暗黙曲線は代数曲線 として重要な役割を果たします 。さらに、暗黙曲線は所望の幾何学的形状の曲線を設計するためにも用いられます。以下に2つの例を示します。
滑らかな近似
凸多角形 凸多角形 の滑らかな近似は、 次のようにして実現できます。 多角形の辺を含む直線の方程式を とします 。多角形の内部の点が正のとき、暗黙の曲線の部分集合は g i ( x , y ) = a i x + b i y + c i = 0 , i = 1 , … , n {\displaystyle g_{i}(x,y)=a_{i}x+b_{i}y+c_{i}=0,\ i=1,\dotsc ,n} g i {\displaystyle g_{i}}
F ( x , y ) = g 1 ( x , y ) ⋯ g n ( x , y ) − c = 0 {\displaystyle F(x,y)=g_{1}(x,y)\cdots g_{n}(x,y)-c=0} 適切な小さなパラメータを持つ 多角形は、滑らかな（微分可能な）近似である。例えば、曲線 c {\displaystyle c}
F ( x , y ) = ( x + 1 ) ( − x + 1 ) y ( − x − y + 2 ) ( x − y + 2 ) − c = 0 {\displaystyle F(x,y)=(x+1)(-x+1)y(-x-y+2)(x-y+2)-c=0} のために c = 0.03 , … , 0.6 {\displaystyle c=0.03,\dotsc ,0.6} 5 辺を持つ多角形の滑らかな近似が含まれます (図を参照)。
線のペア 2行の場合
F ( x , y ) = g 1 ( x , y ) g 2 ( x , y ) − c = 0 {\displaystyle F(x,y)=g_{1}(x,y)g_{2}(x,y)-c=0} 1つは
平行線 の束 、与えられた線が平行であるか 与えられた直線を漸近線として持つ双曲線の束。 たとえば、座標軸変数の積は 、座標軸を漸近線とする双曲線線を生成します。 x y − c = 0 , c ≠ 0 {\displaystyle xy-c=0,\ c\neq 0}
その他 直線以外の単純な暗黙曲線（円、放物線など）から始めると、さまざまな興味深い新しい曲線が得られます。例えば、
F ( x , y ) = y ( − x 2 − y 2 + 1 ) − c = 0 {\displaystyle F(x,y)=y(-x^{2}-y^{2}+1)-c=0} （円とx軸の積）は円の半分の滑らかな近似値を与える（図を参照）。
F ( x , y ) = ( − x 2 − ( y + 1 ) 2 + 4 ) ( − x 2 − ( y − 1 ) 2 + 4 ) − c = 0 {\displaystyle F(x,y)=(-x^{2}-(y+1)^{2}+4)(-x^{2}-(y-1)^{2}+4)-c=0} (2 つの円の積) は、2 つの円の交差の滑らかな近似値を生成します (図を参照)。
ブレンドカーブ 2つの円のブレンド曲線（赤） CAD では、暗黙曲線を用いてブレンディング曲線 [2] [3] を生成する。ブレンディング曲線とは、 与えられた2つの曲線間の滑らかな遷移を実現する特殊な曲線である。例えば、
F ( x , y ) = ( 1 − μ ) f 1 f 2 − μ ( g 1 g 2 ) 3 = 0 {\displaystyle F(x,y)=(1-\mu )f_{1}f_{2}-\mu (g_{1}g_{2})^{3}=0} 2つの円の間にブレンド曲線を生成します
f 1 ( x , y ) = ( x − x 1 ) 2 + y 2 − r 1 2 = 0 , {\displaystyle f_{1}(x,y)=(x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}=0,} f 2 ( x , y ) = ( x − x 2 ) 2 + y 2 − r 2 2 = 0. {\displaystyle f_{2}(x,y)=(x-x_{2})^{2}+y^{2}-r_{2}^{2}=0.} この方法は、接触点における接線と曲率の連続性を保証します（図を参照）。2本の直線は
g 1 ( x , y ) = x − x 1 = 0 , g 2 ( x , y ) = x − x 2 = 0 {\displaystyle g_{1}(x,y)=x-x_{1}=0,\ g_{2}(x,y)=x-x_{2}=0} 円における接触点を決定します。パラメータ は設計パラメータです。図では、 です 。 μ {\displaystyle \mu } μ = 0.05 , … , 0.2 {\displaystyle \mu =0.05,\dotsc ,0.2}
2点電荷の等電位曲線 青い点における2点電荷の等電位曲線 2つの点電荷 の 等電位曲線は、 次の 式で表される。 P 1 = ( 1 , 0 ) , P 2 = ( − 1 , 0 ) {\displaystyle P_{1}=(1,0),\;P_{2}=(-1,0)}
f ( x , y ) = 1 | P P 1 | + 1 | P P 2 | − c {\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{|PP_{1}|}}+{\frac {1}{|PP_{2}|}}-c} = 1 ( x − 1 ) 2 + y 2 + 1 ( x + 1 ) 2 + y 2 − c = 0. {\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}}}}-c=0.} この曲線は カッシーニの楕円 に似ていますが、そのような曲線ではありません。
暗黙曲線の可視化 暗黙曲線を可視化するには、通常、曲線上の多角形を決定し、その多角形を表示します。パラメトリック曲線の場合、これは簡単な作業です。パラメトリック値の列の点を計算するだけです。暗黙曲線の場合は、2つの部分問題を解く必要があります。
曲線の近傍の所定の開始点への最初の曲線点の決定、 既知の曲線点から始まる曲線点の決定。 どちらの場合も、 と仮定するのが妥当です 。実際には、この仮定は単一の孤立した点でのみ破られます。 grad F ≠ ( 0 , 0 ) {\displaystyle \operatorname {grad} F\neq (0,0)}
ポイントアルゴリズム 上記の両方のタスクを解決するには、暗黙の曲線の近くの 点が与えられたときに、 計算の精度 まで 正確に曲線上にある点を見つける コンピュータ プログラム ( と呼ぶ) が不可欠です。 C P o i n t {\displaystyle {\mathsf {CPoint}}} Q 0 = ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle Q_{0}=(x_{0},y_{0})} P {\displaystyle P}
（P1） の開始点は j = 0 {\displaystyle j=0} （P2） 繰り返し ( x j + 1 , y j + 1 ) = ( x j , y j ) − F ( x j , y j ) F x ( x j , y j ) 2 + F y ( x j , y j ) 2 ( F x ( x j , y j ) , F y ( x j , y j ) ) . {\displaystyle (x_{j+1},y_{j+1})=(x_{j},y_{j})-{\frac {F(x_{j},y_{j})}{F_{x}(x_{j},y_{j})^{2}+F_{y}(x_{j},y_{j})^{2}}}\,\left(F_{x}(x_{j},y_{j}),F_{y}(x_{j},y_{j})\right).} （ 関数の ニュートンステップ ） g ( t ) = F ( x j + t F x ( x j , y j ) , y j + t F y ( x j , y j ) ) . {\displaystyle g(t)=F\left(x_{j}+tF_{x}(x_{j},y_{j}),y_{j}+tF_{y}(x_{j},y_{j})\right)\ .} （P3） 点間の距離が十分に小さくなる まで 。 ( x j + 1 , y j + 1 ) , ( x j , y j ) {\displaystyle (x_{j+1},y_{j+1}),\,(x_{j},y_{j})} （P4） は始点付近の曲線点である 。 P = ( x j + 1 , y j + 1 ) {\displaystyle P=(x_{j+1},y_{j+1})} Q 0 {\displaystyle Q_{0}}
トレースアルゴリズム トレースアルゴリズム：開始点は緑 暗黙の曲線上にほぼ等間隔の多角形を生成するには、ステップ長を選択し 、 s {\displaystyle s}
（T1） は曲線の近傍の適切な開始点を選択する （T2） プログラムを使用して 最初の曲線点を決定する P 1 {\displaystyle P_{1}} C P o i n t {\displaystyle {\mathsf {CPoint}}} (T3) 接線を決定し (上記参照)、ステップ長を使用して接線上の開始点を選択し(図を参照)、 プログラムを使用して 2 番目の曲線点を決定します 。 s {\displaystyle s} P 2 {\displaystyle P_{2}} C P o i n t {\displaystyle {\mathsf {CPoint}}} ⋯ {\displaystyle \cdots } このアルゴリズムは暗黙曲線をトレースするため、 トレースアルゴリズム と呼ばれます。このアルゴリズムは曲線の連結部分のみをトレースします。暗黙曲線が複数の部分で構成されている場合は、適切な開始点から複数回開始する必要があります。
例： 暗黙曲線に適用されたラスターアルゴリズムの図 。曲線（赤）はアルゴリズムが描こうとしているものです。ラスターポイント（黒）は、曲線上の最も近い点（赤丸）を見つけるための開始点として使用されます。各ラスターポイント間の間隔は、個々の曲線ポイントを示すために誇張されています。より正確に曲線をトレースするには、より多くのラスターポイントを使用する必要があります。 [4] F ( x , y ) = ( 3 x 2 − y 2 ) 2 y 2 − ( x 2 + y 2 ) 4 = 0 {\displaystyle F(x,y)=(3x^{2}-y^{2})^{2}y^{2}-(x^{2}+y^{2})^{4}=0}
ラスターアルゴリズム 暗黙的な曲線が複数の部分、あるいは未知の部分で構成されている場合は、 ラスタライズ アルゴリズムを使用する方がよい場合があります。ラスタライズアルゴリズムは、曲線を正確にたどるのではなく、曲線全体を多数の点で覆い、それらが混ざり合って曲線のように見えるようにします。
(R1) xy平面の関心領域上に点群(ラスター)を生成します。 (R2) ラスター内の すべてのポイントに対して、 P からポイント アルゴリズムを実行し、その出力をマークします。 P {\displaystyle P} C P o i n t {\displaystyle {\mathsf {CPoint}}} ネットが十分に密であれば、結果は暗黙曲線の連結部分を近似します。さらなる応用のために曲線上の多角形が必要な場合は、トレースアルゴリズムを用いて関心のある部分をトレースすることができます。
暗黙の空間曲線 2つの方程式で定義される任意 の 空間曲線
F ( x , y , z ) = 0 , G ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle {\begin{matrix}F(x,y,z)=0,\\G(x,y,z)=0\end{matrix}}} は暗黙の空間曲線 と呼ばれます 。
曲線の点は、 勾配の 外積 が この点に ない 場合、 正則である と呼ばれます。 ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} F {\displaystyle F} G {\displaystyle G} ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0,0)}
t ( x 0 , y 0 , z 0 ) = grad F ( x 0 , y 0 , z 0 ) × grad G ( x 0 , y 0 , z 0 ) ≠ ( 0 , 0 , 0 ) ; {\displaystyle \mathbf {t} (x_{0},y_{0},z_{0})=\operatorname {grad} F(x_{0},y_{0},z_{0})\times \operatorname {grad} G(x_{0},y_{0},z_{0})\neq (0,0,0);} それ以外の場合は特異ベクトル と呼ばれます 。ベクトルは 点における曲線の 接線ベクトル です。 t ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle \mathbf {t} (x_{0},y_{0},z_{0})} ( x 0 , y 0 , z 0 ) . {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0}).}
球と円柱の交差曲線 例:
( 1 ) x + y + z − 1 = 0 , x − y + z − 2 = 0 {\displaystyle (1)\quad x+y+z-1=0\ ,\ x-y+z-2=0}
線です。 ( 2 ) x 2 + y 2 + z 2 − 4 = 0 , x + y + z − 1 = 0 {\displaystyle (2)\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0\ ,\ x+y+z-1=0}
球の平面部分なので円です。 ( 3 ) x 2 + y 2 − 1 = 0 , x + y + z − 1 = 0 {\displaystyle (3)\quad x^{2}+y^{2}-1=0\ ,\ x+y+z-1=0}
楕円（円筒の平面断面）です。 ( 4 ) x 2 + y 2 + z 2 − 16 = 0 , ( y − y 0 ) 2 + z 2 − 9 = 0 {\displaystyle (4)\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-16=0\ ,\ (y-y_{0})^{2}+z^{2}-9=0}
球と円柱の交差曲線です。 曲線点の計算と暗黙的な空間曲線の視覚化については、 「交差」を 参照してください。
参照
参考文献 ^ Goldman, R. (2005). 「暗黙曲線および曲面の曲率公式」. コンピュータ支援幾何学設計 . 22 (7): 632– 658. CiteSeerX 10.1.1.413.3008 . doi :10.1016/j.cagd.2005.06.005. ^ C. Hoffmann & J. Hopcroft: 表面とコーナーをブレンドするためのポテンシャル法、 G. Farin (Ed) Geometric-Modeling 、SIAM、フィラデルフィア、pp. 347-365 ^ E. ハートマン: 関数スプラインによる暗黙曲面のブレンディング 、CAD、Butterworth-Heinemann、第22巻（8）、1990年、p. 500-507 ^ G. Taubin: 暗黙曲線のラスター化のための距離近似。ACM Transactions on Graphics、Vol. 13、No. 1、1994年。 Gomes, A., Voiculescu, I., Jorge, J., Wyvill, B., Galbraith, C.: Implicit Curves and Surfaces: Mathematics, Data Structures and Algorithms , 2009, Springer-Verlag London, ISBN 978-1-84882-405-8 C:L: Bajaj、CM Hoffmann、RE Lynch: 面交差のトレース 、Comp. Aided Geom. Design 5 (1988)、285-307。 コンピュータ支援設計のための幾何学とアルゴリズム
外部リンク ウィキメディア コモンズには、暗黙曲線 に関連するメディアがあります 。
