インパルス不変性

インパルス不変性は、連続時間フィルタから離散時間無限インパルス応答（IIR）フィルタを設計する手法であり、連続時間システムのインパルス応答をサンプリングして離散時間システムのインパルス応答を生成する。離散時間システムの周波数応答は、連続時間システムの周波数応答をシフトしたコピーの和となる。連続時間システムがサンプリングのナイキスト周波数よりも低い周波数に近似的に帯域制限されている場合、離散時間システムの周波数応答はナイキスト周波数よりも低い周波数ではそれと近似的に等しくなる。

議論

連続時間システムのインパルス応答 は、サンプリング周期 でサンプリングされ、離散時間システムのインパルス応答 を生成します。 ${\displaystyle h_{c}(t)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle h[n]}$

${\displaystyle h[n]=Th_{c}(nT)\,}$

したがって、2つのシステムの周波数応答は次のように関係している。

${\displaystyle H(e^{j\omega })={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{TH_{c}\left(j{\frac {\omega }{T}}+j{\frac {2{\pi }}{T}}k\right)}\,}$

連続時間フィルタが近似的に帯域制限されている場合（つまり、のとき）、離散時間システムの周波数応答は、サンプルあたりπラジアン未満の周波数（ナイキスト周波数1/(2 T ) Hz未満）では、連続時間システムの周波数応答と近似します。 ${\displaystyle H_{c}(j\Omega )<\delta }$ ${\displaystyle |\Omega |\geq \pi /T}$

${\displaystyle H(e^{j\omega })=H_{c}(j\omega /T)\,}$のために ${\displaystyle |\omega |\leq \pi \,}$

双一次変換との比較

エイリアシングが発生することに注意してください。これには、ナイキスト周波数より低い周波数でも、連続時間フィルタの応答がその周波数以上で非ゼロとなる範囲でのエイリアシングが含まれます。双線形変換は、インパルス不変性の代替手段であり、連続時間システムの周波数応答を無限周波数まで、離散時間システムの場合のナイキスト周波数までの周波数範囲にマッピングする異なるマッピングを使用します。これは、インパルス不変性のように周波数を円形に重なり合う線形マッピングを行うのとは対照的です。

システム機能における極への影響

における連続極の場合、システム関数は部分分数展開で次のように表される。 ${\displaystyle s=s_{k}}$

${\displaystyle H_{c}(s)=\sum _{k=1}^{N}{\frac {A_{k}}{s-s_{k}}}\,}$

したがって、逆ラプラス変換を用いると、インパルス応答は

${\displaystyle h_{c}(t)={\begin{cases}\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}t}},&t\geq 0\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

対応する離散時間システムのインパルス応答は次のように定義される。

${\displaystyle h[n]=Th_{c}(nT)\,}$

${\displaystyle h[n]=T\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}nT}u[n]}\,}$

離散時間インパルス応答にZ変換を実行すると、次の離散時間システム関数が生成される。

${\displaystyle H(z)=T\sum _{k=1}^{N}{\frac {A_{k}}{1-e^{s_{k}T}z^{-1}}}\,}$

したがって、連続時間システム関数の極は、z = e ^{s _k T}における極に変換されます。零点が存在する場合、そのように単純には写像されません。^{[説明が必要]}

極と零点

システム関数が極だけでなく零点も持つ場合、同様にマッピングできますが、その結果はもはやインパルス不変性を満たしません。つまり、離散時間インパルス応答は、連続時間インパルス応答のサンプルと単純に等しくはなりません。この方法は、整合Z変換法、または極零マッピングとして知られています。

安定性と因果関係

連続時間システムのs = s _kの極は離散時間システムの z = exp( s _k T ) の極に変換されるため、 s平面の左半分の極はz平面の単位円の内側にマッピングされます。したがって、連続時間フィルタが因果的で安定している場合、離散時間フィルタも因果的で安定していることになります。

修正された式

因果的連続時間インパルス応答が で不連続性を持つ場合、上記の式は矛盾します。^[1]これは、が右極限と左極限が異なり、にはその平均値、つまり右値 の半分のみが に寄与するはずであるためです。 ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle h_{c}(0)}$ ${\displaystyle h_{c}(0_{+})}$ ${\displaystyle h[0]}$

この修正により、

${\displaystyle h[n]=T\left(h_{c}(nT)-{\frac {1}{2}}h_{c}(0_{+})\delta [n]\right)\,}$

${\displaystyle h[n]=T\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}nT}}\left(u[n]-{\frac {1}{2}}\delta [n]\right)\,}$

離散時間インパルス応答にZ変換を実行すると、次の離散時間システム関数が生成される。

${\displaystyle H(z)=T\sum _{k=1}^{N}{{\frac {A_{k}}{1-e^{s_{k}T}z^{-1}}}-{\frac {T}{2}}\sum _{k=1}^{N}A_{k}}.}$

不連続性のないフィルターの場合、2 番目の合計はゼロになります。そのため、これを無視しても安全であることが多いです。

参照

• 双一次変換
• マッチングZ変換法

参考文献

1. Jackson, LB (2000年10月1日). 「インパルス不変性の補正」. IEEE Signal Processing Letters . 7 (10): 273– 275. Bibcode :2000ISPL....7..273J. doi :10.1109/97.870677. ISSN  1070-9908.

その他の情報源

• アラン・V・オッペンハイム、ロナルド・W・シェーファー共著、ジョン・R・バック共著 『離散時間信号処理』 第2版、ニュージャージー州アッパーサドルリバー：プレンティス・ホール、1999年。
• Sahai, Anant. コースレクチャー. 電気工学123：デジタル信号処理. カリフォルニア大学バークレー校. 2007年4月5日.
• アイテルバーグ編「畳み込み不変性と補正インパルス不変性」信号処理、第86巻、第5号、1116～1120頁、2006年

外部リンク

• CircuitDesign.info の「Impulse Invariant Transform」の簡単な説明、例、および連続時間 シグマ デルタADC への応用。

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