包含マップ

Set-theoretic function

${\displaystyle A}$はサブセットであり、はスーパーセットである ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$

数学において、 が のサブセットである場合、包含写像はの各要素をの要素として扱うに送る関数である。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle B:}$ $${\displaystyle \iota :A\rightarrow B,\qquad \iota (x)=x.}$$

包含マップは包含関数、挿入、^[1]、または標準注入とも呼ばれることがあります。

包含マップを示すために、上記の関数矢印の代わりに「鉤状の矢印」（U+ 21AA ↪ 右向き矢印とフック）^{[2]が使用されることがあります。} $${\displaystyle \iota :A\hookrightarrow B.}$$

(ただし、著者によっては、この鉤状の矢印を任意の埋め込みに使用する人もいます。)

この関数や、部分構造からの類似の注入関数^[3]は、自然注入と呼ばれることもあります。

オブジェクトとの間の任意の射 が与えられ、領域への包含写像が存在する場合、の制限を形成することができる。 多くの場合、の値域として知られる の余領域への標準的な包含を構成することもできる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \iota :A\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\circ \iota }$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle R\to Y}$ ${\displaystyle f.}$

包含マップの応用

包含写像は代数構造の準同型写像となる傾向があるため、そのような包含写像は埋め込み写像となる。より正確には、ある演算に関して閉じた部分構造が与えられれば、トートロジー的な理由から、包含写像は埋め込みとなる。例えば、ある二項演算において が必要とされるということは、単に が部分構造と全体構造の両方で一貫して計算されるということである。単項演算の場合も同様であるが、定数要素を取り出す零項演算についても考察する必要がある。ここで重要なのは、閉包とは、そのような定数が部分構造において既に与えられている必要があることを意味するということである。 ${\displaystyle \star ,}$ $${\displaystyle \iota (x\star y)=\iota (x)\star \iota (y)}$$ ${\displaystyle \star }$

包含写像は代数位相幾何学で見られ、が強い変形である場合、包含写像を後退させると、すべてのホモトピー群の間に同型性が生じます(つまり、ホモトピー同値です)。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$

幾何学における包含写像には様々な種類があります。例えば、部分多様体の埋め込みなどが挙げられます。微分形式のような反変オブジェクト（つまり、引き戻しを持つオブジェクト。これらは古くて無関係な用語では共変と呼ばれます）は部分多様体 に制限され、逆方向への写像を与えます。より洗練された別の例としては、アフィンスキームが挙げられます。この場合、包含と は異なる射となる可能性があり、 は可換環であり、はのイデアルです。 $${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I^{2}\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R.}$

参照

• 共繊維
• 恒等関数 – 引数をそのまま返す関数

参考文献

1. マクレーン、S.;バーコフ、G. (1967)。代数。ロードアイランド州プロビデンス：AMS Chelsea Publishing。 p. 5.ISBN​ 0-8218-1646-2「挿入」は関数S → Uであり、「包含」は関係S⊂Uであることに注意してください。すべての包含関係は挿入関数を生じます。
2. 「Arrows – Unicode」（PDF） . Unicodeコンソーシアム. 2017年2月7日閲覧。
3. シュバレー、C. (1956)。代数の基本概念。ニューヨーク州ニューヨーク: Academic Press。 p. 1.ISBN​ 0-12-172050-0。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

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