比較可能性

不等式によって関連付けられる要素の性質

自然数のハッセ図。「 xがyを割り切るならばx≤y 」の順序で部分的に並べられています。4と6はどちらも割り切れないので、比較できません。

数学において、集合Pの二つの要素xとy は、二項関係≤に関して、 x ≤ yまたはy ≤ xの少なくとも一方が真である場合、比較可能であるといいます。比較不可能である場合、それらは比較不可能であるといいます。

厳密な定義

集合上の二項関係は、定義により の任意の部分集合です。は の場合に限り と表記され、この場合はと関係があると言われます。またはの場合、 要素は と-比較可能、つまり(に関して) と比較可能であると言われます。多くの場合、の代わり に などの比較を示す記号が使用され、この場合 はの代わりに と表記されるため、「比較可能」という用語が使用されています。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P\times P.}$ ${\displaystyle x,y\in P,}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle (x,y)\in R,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle x\in P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle y\in P}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle yRx.}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \leq ,}$ ${\displaystyle >,}$ ${\displaystyle \geq ,}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle xRy,}$

に関して比較可能性は、に標準的な二項関係を誘導します。具体的には、によって誘導される比較可能性関係は、がと比較可能なすべてのペアの集合、つまり と の少なくとも一方が真であるようなペアの集合として定義されます。同様に、によって誘導される 上の非比較関係は、が と比較不可能なすべてのペアの集合、つまり もも真ではないようなペアの集合として定義されます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (x,y)\in P\times P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle yRx}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (x,y)\in P\times P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y;}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle yRx}$

記号 がの代わりに使用される場合、 に関する比較可能性は記号 で表され、比較不可能性は記号 で表される場合があります。^{[1] [検証失敗]}したがって、半順序集合の任意の2つの要素とに対して、との正確に1つが真です。 ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}$ ${\displaystyle {\cancel {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}\!}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y}$ ${\displaystyle x{\cancel {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}y}$

例

全順序集合とは、任意の2つの要素が比較可能な半順序集合です。シュピルライン拡張定理は、すべての半順序は全順序に含まれることを述べています。直感的に言えば、この定理は、一部のペアが比較不可能となるような要素の比較方法は、すべてのペアが比較可能になるように拡張できることを示しています。

プロパティ

比較可能性と比較不可能性の両方の関係は対称的であり、つまり、が に比較可能であるのは、が に比較可能である場合のみであり、比較不可能性についても同様です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x,}$

比較グラフ

半順序集合の比較可能性グラフは、頂点として の要素を持ち、辺として となる要素のペアを持ちます。^[2] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$ ${\displaystyle x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y}$

分類

数学的対象（例えば位相空間）を分類する際に、一方の基準に従う対象が他方の基準に従う対象の部分集合を構成する場合、すなわち半順序 ⊂ の下で比較可能である場合、2つの基準は比較可能であると言われる。例えば、T 1_基準とT ₂基準は比較可能であるが、T ₁基準と禁酒基準は比較可能ではない。

参照

• 厳密な弱い順序付け – 集合の数学的順位付け、比較不可能性が推移的な関係リダイレクト先の簡単な説明を表示するページにある半順序付け

参考文献

1. トロッター、ウィリアム・T.（1992）、組合せ論と半順序集合：次元理論、ジョンズ・ホプキンス大学出版局、3ページ
2. ギルモア, PC;ホフマン, AJ (1964)、「比較可能性グラフと区間グラフの特徴づけ」、カナダ数学ジャーナル、16 : 539–548、doi : 10.4153/CJM-1964-055-5。

外部リンク

• PlanetMathにおける半順序。

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