不定額

Inverse of a finite difference

離散計算において、不定和演算子（反差分演算子とも呼ばれる）は、または^{[1] [2]}で表され、前進差分演算子の逆となる線型演算子である。不定積分と微分の関係と同様に、前進差分演算子と不定和演算子は関係している。したがって、 ${\textstyle \sum _{x}}$ ${\displaystyle \Delta ^{-1}}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta \sum _{x}f(x)=f(x)\,.}$

より明確に言えば、ならば、 ${\textstyle \sum _{x}f(x)=F(x)}$

${\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x)\,.}$

が与えられた に対するこの関数方程式の解であるならば、周期 を持つ任意の周期関数に対してもが解である。したがって、各不定和は実際には関数族を表す。しかし、カールソンの定理により、そのニュートン級数展開に等しい解は、加法定数 を除いて一意である。この一意の解は、反差分演算子の形式的な冪級数形式で表すことができる。 ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle F(x)+C(x)}$ ${\displaystyle C(x)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1}}}$

離散微積分学の基本定理

不定和は次の式で定和を計算するために使用できる：^[3]

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b}f(k)=\Delta ^{-1}f(b+1)-\Delta ^{-1}f(a).}$

代替使用法

逆前進差分演算子 は、合計を まで拡張します。 ${\displaystyle \Delta ^{-1}}$ ${\displaystyle x-1}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{x-1}f(k).}$

著者によっては、シフトなしの引数が和の上限となる和を表すために「不定和」という語句を使用する人もいます。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{x}f(k).}$

この場合、和の閉じた形式の表現は次の解となる。 ${\displaystyle F(x)}$

${\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x+1),}$

これはテレスコーピング方程式と 呼ばれる。^[4]これは後方差分演算子の逆であり、 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla ^{-1}}$

${\displaystyle F(x)-F(x-1)=f(x),}$

これは、離散計算の基本定理を使用した順方向反差分演算子と関連しています。

定義

ラプラスの総和公式

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}\Delta ^{k-1}f(x)}{k!}}+C}$

第一種コーシー数はここにある。 ^{[5] [6]} ${\displaystyle c_{k}=\int _{0}^{1}(x)_{k}dx}$

${\displaystyle (x)_{k}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-k+1)}}}$は下降階乗です。

ニュートンの公式

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\binom {x}{k}}\Delta ^{k-1}f\left(0\right)+C=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k-1}f(0)}{k!}}(x)_{k}+C,}$

ファウルハーバーの公式

がマクローリン級数展開、すなわち についてのテイラー級数で表せるとすれば、不定和は、を各項ごとに取った級数で正式に表すことができます。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sum _{x}x^{a}={\frac {B_{a+1}(x)}{a+1}}+C}$

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f^{(n-1)}(0)}{n!}}B_{n}(x)+C.}$

ミュラーの式

もしそうなら^[7] ${\displaystyle \lim _{x\to {+\infty }}f(x)=0,}$

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(f(n)-f(n+x-1)\right)+C.}$

${\displaystyle \nabla ^{-1}f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(f(n)-f(n+x)\right)+C.}$

オイラー・マクローリンの公式

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt-{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)+C}$

定数項の選択

多くの場合、不定和の定数は次の条件から決定されます。 ${\displaystyle C}$

させて

${\displaystyle F(x)=\sum _{x}f(x)+C}$

そして、定数は条件から固定される。 ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}F(x)\,dx=0}$

または

${\displaystyle \int _{1}^{2}F(x)\,dx=0}$

あるいは、ラマヌジャン和を使用することもできます。

${\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-f(0)-F(0)}$

または1

${\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-F(1)}$

それぞれ^{[8] [9]}

部分ごとの合計

部分ごとの不定和:

${\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}(g(x)+\Delta g(x))\Delta f(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)+\sum _{x}g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}\Delta f(x)\Delta g(x)}$

部分ごとの明確な合計:

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}f(i)\Delta g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a)-\sum _{i=a}^{b}g(i+1)\Delta f(i)}$

期間ルール

関数の周期であれば ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=xf(Tx)+C.}$

が関数の反周期である場合、 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x+T)=-f(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=-{\frac {1}{2}}f(Tx)+C.}$

不確定額の一覧

有理関数の反差

正の整数指数については、ファウルハーバーの公式を使用することができます。ファウルハーバーの公式の結果において、 はオフセットのために置き換える必要があることに注意してください。 これは、ファウルハーバーの公式では ではなく が求められるためです。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x-1}$ ${\displaystyle \nabla ^{-1}}$ ${\displaystyle \Delta ^{-1}}$

負の整数指数の場合、不定和はポリガンマ関数と密接に関係しています。

${\displaystyle \sum _{x}{\frac {1}{x^{a}}}={\frac {(-1)^{a-1}\psi ^{(a-1)}(x)}{(a-1)!}}+C,\,a\in \mathbb {N} }$

このセクションに記載されていない分数については、部分分数分解を伴うポリガンマ関数を使用することができる。より一般的には、

${\displaystyle \sum _{x}x^{a}={\begin{cases}{\frac {B_{a+1}(x)}{a+1}}+C,&{\text{if }}a\neq -1\\\psi (x)+C,&{\text{if }}a=-1\end{cases}}={\begin{cases}-\zeta (-a,x)+C,&{\text{if }}a\neq -1\\\psi (x)+C,&{\text{if }}a=-1\end{cases}}}$

ここで、 はベルヌーイ多項式、はフルヴィッツゼータ関数、 はディガンマ関数です。これは一般化調和数と関連しています。 ${\displaystyle B_{a}(x)}$ ${\displaystyle \zeta (s,a)}$ ${\displaystyle \psi (z)}$

一般化調和数は逆数を使用するため、を に代入する必要があり、最も一般的な形式では後方差分オフセットの逆数が使用されます。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$

${\displaystyle \nabla ^{-1}x^{a}={H_{x}^{(-a)}}=\zeta (-a)-\zeta (-a,x+1).}$

ここで、は定数です。 ${\displaystyle \zeta (-a)}$ ${\displaystyle C}$

ベルヌーイ多項式は、偏微分を介して次のようにも関係している。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left(\sum _{x}x^{a}\right)=B_{a}(x)=-a\zeta (1-a,x).}$

同様に、後方差分演算子の逆演算子を使用する方がより自然であると考えられます。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nabla ^{-1}x^{a}\right){\bigg |}_{x=0}=-a\zeta (1-a,x+1){\bigg |}_{x=0}=-a\zeta (1-a)=B_{a}.}$

レルヒの超越関数の使用により、さらに一般化されます。

${\displaystyle \sum _{x}{\frac {z^{x}}{(x+a)^{s}}}=-z^{x}\,\Phi (z,s,x+a)+C,}$

これは、一般化調和数を としたとき、一般化調和数を と一般化する。さらに、偏微分は次のように与えられる。 ${\displaystyle z\Phi \left(z,s,a+1\right)-z^{x+1}\Phi \left(z,s,x+1+a\right)}$ ${\displaystyle \nabla ^{-1}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left(-z^{x}\Phi \left(z,s,x+a\right)\right)=z^{x}\left(s\Phi \left(z,s+1,x+a\right)-\ln(z)\Phi \left(z,s,x+a\right)\right).}$

詳細については、より優れた解析特性を持つポリガンマの代替となるバランス型ポリガンマ関数と、 Hurwitz ゼータ関数#特殊なケースと一般化を参照してください。

${\displaystyle \sum _{x}B_{a}(x)=(x-1)B_{a}(x)-{\frac {a}{a+1}}B_{a+1}(x)+C}$

指数関数の反差

${\displaystyle \sum _{x}a^{x}={\frac {a^{x}}{a-1}}+C}$

対数関数の反差

${\displaystyle \sum _{x}\log _{b}x=\log _{b}\Gamma (x)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\log _{b}ax=\log _{b}(a^{x-1}\Gamma (x))+C}$

双曲関数の反差分

${\displaystyle \sum _{x}\sinh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\cosh \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\cosh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\sinh \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\tanh ax={\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x-{\frac {i\pi }{2a}}\right)+{\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x+{\frac {i\pi }{2a}}\right)-x+C}$

ここで、q-ディガンマ関数です。 ${\displaystyle \psi _{q}(x)}$

三角関数の反差

${\displaystyle \sum _{x}\sin ax=-{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\cos \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\cos ax={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\sin \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\sin ^{2}ax={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\cos ^{2}ax={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\tan ax=ix-{\frac {1}{a}}\psi _{e^{2ia}}\left(x-{\frac {\pi }{2a}}\right)+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}}$

ここで、q-ディガンマ関数です。 ${\displaystyle \psi _{q}(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}\tan x=ix-\psi _{e^{2i}}\left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)+C=-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1-x\right)+\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+x\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\cot ax=-ix-{\frac {i\psi _{e^{2ia}}(x)}{a}}+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}}$

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {sinc} x=\operatorname {sinc} (x-1)\left({\frac {1}{2}}+(x-1)\left(\ln(2)+{\frac {\psi ({\frac {x-1}{2}})+\psi ({\frac {1-x}{2}})}{2}}-{\frac {\psi (x-1)+\psi (1-x)}{2}}\right)\right)+C}$

ここで、正規化されたsinc関数です。 ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$

逆双曲関数の反差分

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {artanh} \,ax={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma \left(x+{\frac {1}{a}}\right)}{\Gamma \left(x-{\frac {1}{a}}\right)}}\right)+C}$

逆三角関数の反差

${\displaystyle \sum _{x}\arctan ax={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma (x+{\frac {i}{a}})}{\Gamma (x-{\frac {i}{a}})}}\right)+C}$

特殊関数の反差

${\displaystyle \sum _{x}\psi (x)=(x-1)\psi (x)-x+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\Gamma (x)=(-1)^{x+1}\Gamma (x){\frac {\Gamma (1-x,-1)}{e}}+C}$

ここで、は不完全ガンマ関数です。 ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$

${\displaystyle \sum _{x}(x)_{a}={\frac {(x)_{a+1}}{a+1}}+C}$

ここで、 は下降階乗です。 ${\displaystyle (x)_{a}}$

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {sexp} _{a}(x)=\ln _{a}{\frac {(\operatorname {sexp} _{a}(x))'}{(\ln a)^{x}}}+C}$

（超指数関数を参照）

参照

• 不定積
• 時間スケール計算
• 代替計算における微分と積分の一覧

参考文献

1. Man, Yiu-Kwong (1993)、「不定和の閉形式の計算について」、Journal of Symbolic Computation、16 (4): 355– 376、doi :10.1006/jsco.1993.1053、MR  1263873
2. ゴールドバーグ、サミュエル（1958年）、経済学、心理学、社会学からの例証を伴う差分方程式入門、Wiley、ニューヨーク、Chapman & Hall、ロンドン、p. 41、ISBN 978-0-486-65084-5, MR  0094249,が関数 の最初の差分である関数である場合、 はの不定和と呼ばれ、 と表記されます。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Delta ^{-1}y}$ {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help); 1986年にドーバーブックスから再版
3. 「離散数学と組合せ数学ハンドブック」、ケネス・H・ローゼン、ジョン・G・マイケルズ、CRCプレス、1999年、 ISBN 0-8493-0149-1
4. 非線形高階差分方程式のアルゴリズム、マヌエル・カウアーズ
5. Mathworldの第二種ベルヌーイ数
6. フェラーロ、ジョヴァンニ（2008年）『1820年代初頭までの級数理論の興隆と発展』 Springer Science+Business Media, LLC. p. 248. ISBN 978-0-387-73468-2。
7. Markus Müller. 非整数項の加算方法と、通常とは異なる無限和を生成する方法 2011年6月17日アーカイブ、Wayback Machine (逆差分演算子を使用)
8. Bruce C. Berndt、「ラマヌジャンのノートブック」 、 Wayback Machineで2006年10月12日にアーカイブ、ラマヌジャンの発散級数理論、第6章、Springer-Verlag（編）、（1939年）、pp. 133–149。
9. Éric Delabaere、『ラマヌジャンの総和、アルゴリズム セミナー 2001 ～ 2002』、F. Chyzak (編)、INRIA、(2003)、83 ～ 88 ページ。

さらに読む

• 「差分方程式：応用入門」、ウォルター・G・ケリー、アラン・C・ピーターソン、アカデミック・プレス、2001年、ISBN 0-12-403330-X
• マルクス・ミュラー。非整数項の加算方法と、異常な無限和の生成方法
• マルクス・ミュラー、ディーク・シュライヒャー。分数和とオイラーのような恒等式
• SP Polyakov. 有理関数の不定和における加法部分の最小化. Programmirovanie, 2008, Vol. 34, No. 2.
• 「差分方程式とシミュレーション」フランシス・B・ヒルデブランド、プレンクティス・ホール、1968年

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