不確定形式

Expression in mathematical analysis

微積分学では、通常、2つの関数の和、差、積、商、またはべき乗の極限は、それぞれの関数の個別の極限をそれぞれ組み合わせることで計算できます。例えば、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to c}{\bigl (}f(x)+g(x){\bigr )}&=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x),\\[3mu]\lim _{x\to c}{\bigl (}f(x)g(x){\bigr )}&=\lim _{x\to c}f(x)\cdot \lim _{x\to c}g(x),\end{aligned}}}$$

他の算術演算についても同様であり、これは代数的極限定理と呼ばれることもあります。しかし、特定の極限値の組み合わせの中には、この方法では計算できないものもあり、各関数の極限を個別に知るだけでは、組み合わせの極限を決定するのに十分ではありません。このような特定の状況では、極限は不定形をとると言われ、以下の非公式表現のいずれかで表されます 。

$${\displaystyle {\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~\infty -\infty ,~0^{0},~1^{\infty },{\text{ or }}\infty ^{0},}$$

多種多様な珍しい他の関数の中で、各式は、それぞれが示すように極限が⁠ ⁠ ${\displaystyle 0,}$ ⁠ ${\displaystyle 1,}$または⁠ ⁠に ${\displaystyle \infty }$近づく2つの関数の算術的組み合わせによって構成される関数の極限を表します。 ^[1]

これらの不定形のいずれかをとる極限は、関係する関数の種類に応じて、ゼロに向かう場合もあれば、任意の有限値に向かう場合もあれば、無限大に向かう場合もあり、発散する場合もあります。例えば、明確に無限大に向かう極限は不定とはみなされません。^[2]この用語は、19世紀半ばにコーシーの弟子モワニョによって初めて導入されました。 ${\textstyle \lim _{x\to 0}1/x^{2}=\infty ,}$

不定形式の最も一般的な例は、それぞれがゼロに収束する 2 つの関数の商です。この不定形式は と表記されます。たとえば、比、、 がに近づくと、それぞれ、、になります。それぞれの場合において、分子と分母の極限を代入すると、結果として得られる式は となり、これは不定です。この意味で、 は、分子と分母に入れる関数を適切に選択することで、、 、または という値を取ることができます。実際に、極限が任意の特定の値となる関数のペアが見つかることもあります。さらに驚くべきことに、おそらく 2 つの関数の商は実際には発散することがあり、単に無限大に発散するだけではありません。たとえば、 です。 ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle x/x^{3}}$ ${\displaystyle x/x}$ ${\displaystyle x^{2}/x}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle x\sin(1/x)/x}$

したがって、2つの関数 とが、ある極限点に近づくにつれて収束するという事実だけでは、極限を決定するには不十分である。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.}$$

代数的極限定理を適用する以外の方法で生じる式は、不定形と同じ形式をとる場合があります。ただし、極限を決定する文脈外で表現された場合、その式を「不定形」と呼ぶのは適切ではありません。例として、式 が挙げられます。この式を未定義のままにするか、 と定義するかは、適用分野によって異なり、著者によっても異なる場合があります。詳細については、 「ゼロのゼロ乗 」の記事を参照してください。やその他の無限大を含む式は不定形ではないことに注意してください。 ${\displaystyle 0^{0}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0^{\infty }}$

いくつかの例と非例

不定形 0/0

• 
  図1: y = ⁠×/×⁠
• 
  図2: y = ⁠× ²/×⁠
• 
  図3: y = ⁠罪 x/×⁠
• 
  図4: y = ⁠x − 49/√x − 7⁠（x = 49の場合）
• 
  図5: y = ⁠x​/×⁠ここでa = 2
• 
  図6: y = ⁠×/× ³⁠

不定形式は微積分学では特によく見られます。これは、極限に関する定義を使用して導関数を評価する際に不定形式が頻繁に発生するためです。 ${\displaystyle 0/0}$

前述の通り、

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad }$（図1参照）

その間

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad }$（図2参照）

これだけで不定形であることが分かります。この不定形を含む他の例としては、 ${\displaystyle 0/0}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad }$（図3参照）

そして

${\displaystyle \lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad }$（図4参照）

これらの式のいずれかに近づく数を直接代入すると、これらが不定形 に対応する例であることがわかります。ただし、これらの極限は様々な値をとることができます。この不定形から任意の値を得るには、次のようにします。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {ax}{x}}=a.\qquad }$（図5参照）

値は次のようにも取得できます（無限大への発散の意味で）。 ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad }$（図6参照）

不定形0⁰

次の限界は、式が不定形式であることを示しています。 ${\displaystyle 0^{0}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0^{+}}x^{0}&=1,\\\lim _{x\to 0^{+}}0^{x}&=0.\end{aligned}}}$$

したがって、一般に、とを知るだけでは限界を評価するのに十分ではない。 ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0}$ ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0}$ $${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}.}$$

関数およびが で解析的であり、 がに対して正で に十分近い（しかし等しくない）場合、 の極限は になります。^[3]それ以外の場合は、下の表の変換を使用して極限を評価します。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$ ${\displaystyle 1}$

不定形ではない表現

この式は一般に不定形とはみなされません。なぜなら、 の極限が存在する場合、常に発散するため、その値に関して曖昧さはないからです。具体的には、が に近づき、が に近づくという制約のもとで、と を選択して、次の式を得ることができます。 ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle f(x)/g(x)}$ ${\displaystyle g(x)\rightarrow 0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

1. ${\displaystyle f(x)/g(x)}$アプローチ ${\displaystyle +\infty }$
2. ${\displaystyle f(x)/g(x)}$アプローチ ${\displaystyle -\infty }$
3. 制限は存在しません。

いずれの場合も絶対値はに近づくため、拡張された実数の意味で商は発散する（射影的に拡張された実数直線の枠組みでは、 3つの場合すべてにおいて極限は符号なし無限大である^[4] ）。同様に、 （および を含む）の形式の式は不定形式ではない。なぜなら、そのような式を生成する商は常に発散するからである。 ${\displaystyle |f(x)/g(x)|}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle f(x)/g(x)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle a/0}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle a=+\infty }$ ${\displaystyle a=-\infty }$

式は不定形ではありません。を考慮して得られた式は、に近づくにつれて が非負のままである限り、極限を与えます。同様に、 は と等価です。 に近づくにつれてが非負のままである限り、極限は となります。 ${\displaystyle 0^{\infty }}$ ${\displaystyle 0^{+\infty }}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 0^{-\infty }}$ ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle f(x)>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle +\infty }$

理由を理解するために、両辺の自然対数をとって、次の式を使うと、次の式が得られる。 ${\displaystyle L=\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)},}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=0,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}{g(x)}=\infty .}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {f(x)}=-\infty ,}$ ${\displaystyle \ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,}$ ${\displaystyle L={e}^{-\infty }=0.}$

不確定形式の評価

上記の多くの例が示すように、形容詞「不定」は極限が存在しないことを意味するわけではありません。多くの場合、代数的消去法、ロピタルの定理、またはその他の方法を用いて式を操作し、極限を評価できます。

同等の無限小

2 つの変数およびが同じ極限点およびでゼロに収束する場合、それらは同値無限小(equiv. )と呼ばれます。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1}$ ${\displaystyle \alpha \sim \beta }$

さらに、変数および がおよび となるような場合、次のようになります。 ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle \beta '}$ ${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$ ${\displaystyle \beta \sim \beta '}$ $${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$$

ここに簡単な証明があります:

2 つの同等な無限小とがあるとします。 ${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$ ${\displaystyle \beta \sim \beta '}$

$${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta \beta '\alpha '}{\beta '\alpha '\alpha }}=\lim {\frac {\beta }{\beta '}}\lim {\frac {\alpha '}{\alpha }}\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$$

不定形式を評価するには、同値な無限小に関する以下の事実（例えば、xがゼロに近づく場合）を利用することができる。 ^[5] ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle x\sim \sin x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&\sim \sin x,\\x&\sim \arcsin x,\\x&\sim \sinh x,\\x&\sim \tan x,\\x&\sim \arctan x,\\x&\sim \ln(1+x),\\1-\cos x&\sim {\frac {x^{2}}{2}},\\\cosh x-1&\sim {\frac {x^{2}}{2}},\\a^{x}-1&\sim x\ln a,\\e^{x}-1&\sim x,\\(1+x)^{a}-1&\sim ax.\end{aligned}}}$$

例えば：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\\&=-{\frac {1}{6}}\end{aligned}}}$$

2 番目の等式では、が使用され、4番目の等式では が使用され、5番目の等式では が使用されます。 ${\displaystyle e^{y}-1\sim y}$ ${\displaystyle y=x\ln {2+\cos x \over 3}}$ ${\displaystyle y\sim \ln {(1+y)}}$ ${\displaystyle y={{\cos x-1} \over 3}}$ ${\displaystyle 1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}}$

ロピタルの法則

ロピタルの法則は、不定形とを評価するための一般的な方法である。この法則は、（適切な条件下で） ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle \infty /\infty }$

$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$$

ここで、 とはそれぞれ、との導関数です。(この規則は、 、 などの式には適用されません。これらの式は不定形式ではないためです。) これらの導関数により、代数の簡略化を実行し、最終的に極限を評価できるようになります。 ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \infty /0}$ ${\displaystyle 1/0}$

ロピタルの定理は、適切な代数変換を用いることで、他の不定形にも適用できます。例えば、0 ⁰という形を評価するには、次のようにします。

$${\displaystyle \ln \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}.}$$

右辺は の形をしているので、ロピタルの法則が適用されます。この式は（右辺が定義されている限り）有効です。なぜなら、自然対数（ln）は連続関数だからです。 が漸近的に正である限り、の振る舞いの良さや（あるいはそうでない）は関係ありません。（対数の定義域は、すべての正の実数全体の集合です。） ${\displaystyle \infty /\infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

ロピタルの法則は と の両方に適用されますが、特定のケースでは、どちらか一方の形式が他方よりも有用な場合があります（後から代数的に簡略化できるため）。を に変換することで、これらの形式を切り替えることができます。 ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle \infty /\infty }$ ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle (1/g)/(1/f)}$

不定形の一覧

次の表は、最も一般的な不定形と、ロピタルの規則を適用するための変換を示しています。

不確定形式	条件	変革への ${\displaystyle 0/0}$	変革への ${\displaystyle \infty /\infty }$
${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	—	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$	—
${\displaystyle 0\cdot \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty -\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!}$
${\displaystyle 0^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle 1^{\infty }}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty ^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$

参照

• 定義済みと未定義
• ゼロ除算
• 拡張実数直線
• 不定方程式
• 不確定システム
• 不確定（変数）
• ロピタルの法則

参考文献

引用

1. ヴァールベリ、パーセル、リグドン (2007)、p. 423、429、430、431、432。
2. Weisstein, Eric W. 「Indeterminate」. Wolfram MathWorld . 2019年12月2日閲覧。
3. ロタンド, ルイス・M.; コーン, ヘンリー (1977年1月). 「不定形 0 ⁰」.数学雑誌. 50 (1): 41– 42. doi :10.2307/2689754. JSTOR  2689754.
4. 「数学における未定義と不定」Cut The Knot . 2019年12月2日閲覧。
5. 「等価な無限小表」（PDF）Vaxa Software 。

書誌

• ヴァールバーグ、デール E.パーセル、エドウィン J.リグドン、スティーブン E. (2007)。微積分学(第 9 版)。ピアソン・プレンティス・ホール。ISBN 978-0131469686。

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