判別不能なもの

数理論理学において、識別不能なものとは、式によって定義されたいかなる性質や関係によっても区別できない対象を指します。通常、等式を含まない一階述語論理式のみが対象となります。

例

もしa、b、cが異なっており、{ a、b、c }が区別できない集合である場合、例えば、各2値式について、 $\beta$

[\beta (a,b)\land \beta (b,a)\land \beta (a,c)\land \beta (c,a)\land \beta (b,c)\land \beta (c,b)]\lor

[\lnot \beta (a,b)\land \lnot \beta (b,a)\land \lnot \beta (a,c)\land \lnot \beta (c,a)\land \lnot \beta (b,c)\land \lnot \beta (c,b)]\,.

歴史的に、識別不能なものの同一性はゴットフリート・ライプニッツの思考法則の 1 つでした。

一般化

文脈によっては、より一般的な順序識別不能概念が考慮され、識別不能要素の列という用語は、しばしば暗黙的にこの弱い概念を指す。二項式の例において、異なる要素の三つ組 ( a , b , c ) が識別不能要素の列であると言うことは、次のことを意味する。

([\varphi (a,b)\land \varphi (a,c)\land \varphi (b,c)]\lor [\lnot \varphi (a,b)\land \lnot \varphi (a,c)\land \lnot \varphi (b,c)])

そして

([\varphi (b,a)\land \varphi (c,a)\land \varphi (c,b)]\lor [\lnot \varphi (b,a)\land \lnot \varphi (c,a)\land \lnot \varphi (c,b)])\,.

より一般的には、定義域と線型順序を持つ構造に対して、任意の有限部分集合とに対しておよびを持つ、自由変数を持つ言語の任意の一階式に対してを持つ場合、集合はに対する-識別不能集合であるという。^[1]^{p. 2} ${\mathfrak {A}}$ $A$ $<$ $I\subseteq A$ $<$ ${\mathfrak {A}}$ $\{i_{0},\ldots ,i_{n}\}\subseteq I$ $\{j_{0},\ldots ,j_{n}\}\subseteq I$ $i_{0$ $j_{0} <\ldots <j_{n}$ $\phi$ ${\mathfrak {A}}$ $n$ ${\mathfrak {A}}\vDash \phi (i_{0},\ldots ,i_{n})\iff {\mathfrak {A}}\vDash \phi (j_{0},\ldots ,j_{n})$

アプリケーション

順序識別不能な数は、ラムゼー基数、エルデシュ基数、ゼロシャープの理論で重要な役割を果たします。

参照

参考文献

ジェック、トーマス(2003).集合論. Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl 1007.03002。

引用

^ J. Baumgartner, F. Galvin, "Generalized Erdős cardinals and 0#". Annals of Mathematical Logic vol. 15, iss. 3 (1978).

[1] J. Baumgartner, F. Galvin, "Generalized Erdős cardinals and 0#". Annals of Mathematical Logic vol. 15, iss. 3 (1978).