慣性モーメント

慣性モーメント
慣性モーメント
	フライホイールは、回転運動の速度の変化を滑らかにするために、大きな慣性モーメントを持っています。
一般的な記号	私
SI単位	kg⋅m 2
その他のユニット	ポンドフィート2
他の量からの導出
寸法	M L 2

戦闘機は機動性を向上させるために慣性モーメントを最小限に抑えるように設計されていますが、民間航空機ではそうではない場合がよくあります。

剛体の慣性モーメント（質量モーメント、角質量／回転質量、質量二次モーメント、あるいはより正確には回転慣性とも呼ばれる）は、回転軸を基準として定義されます。これは、その軸の周りに加えられたトルクと、その結果生じる角加速度との比です。^[¹^]^{: 279}^[²^]^{: 261}回転運動において、質量が直線運動において果たす役割と同じ役割を果たします。特定の軸周りの物体の慣性モーメントは、質量とその軸に対する質量の分布の両方に依存し、質量と軸からの距離とともに増加します。

これは示量的（加法的）性質です。質点の場合、慣性モーメントは単に質量と回転軸に対する垂直距離の2乗の積で表されます。剛体複合系の慣性モーメントは、その構成要素であるサブシステム（すべて同じ軸を中心とする）の慣性モーメントの和です。最も単純な定義は、軸からの距離に関する質量の2次モーメントです。

平面内で回転を強制される物体の場合、その平面に垂直な軸の周りの慣性モーメント（スカラー値）のみが重要です。3次元すべてで自由に回転する物体の場合、そのモーメントは対称的な3行3列の行列で記述できます。この行列は互いに直交する主軸の集合で構成され、この行列は対角線状であり、各軸周りのトルクは互いに独立して作用します。

導入

物体が軸を中心に自由に回転する場合、角運動量を変化させるにはトルクを加える必要があります。任意の角加速度（角速度の変化率）を発生させるために必要なトルクの量は、物体の慣性モーメントに比例します。慣性モーメントは、SI単位ではキログラムメートルの2乗（kg·m ²）、ヤードポンド法または米国単位ではポンドフィート秒の2乗（lbf·ft·s ²）で表されます。

慣性モーメントは、直線運動における質量(慣性) と同じ役割を回転運動において果たします。どちらも、物体の運動における変化への抵抗を特徴付けます。慣性モーメントは、回転軸の周りの質量の分布に依存し、選択した軸によって異なります。点状の質量の場合、ある軸の周りの慣性モーメントはで与えられます。ここで、は軸からの点の距離、は質量です。拡張された剛体の場合、慣性モーメントは、すべての小さな質量片の合計に、回転軸からの距離の 2 乗を乗じた値になります。規則的な形状と均一な密度の拡張された物体の場合、この合計から、物体の寸法、形状、総質量に依存する簡単な式が生成されることがあります。 $mr^{2}$ $r$ $m$

1673年、クリスティアーン・ホイヘンスは、複合振り子として知られる軸から吊るされた物体の振動の研究でこのパラメータを導入しました。^{[ 3 ]}慣性モーメント（ラテン語で「momentum inertiae」）という用語は、レオンハルト・オイラーが1765年に著書「Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum」で導入し、 ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}オイラーの第二法則に組み込まれています。

複合振り子の固有振動数は、重力によって振り子の質量に作用するトルクと、慣性モーメントによって定義される加速度に対する抵抗力の比から得られる。この固有振動数を、単一の質点からなる単振り子の固有振動数と比較することで、延在物体の慣性モーメントを数学的に定式化することができる。^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

慣性モーメントは、運動量、運動エネルギー、そしてニュートンの剛体運動の法則にも現れ、その形状と質量を結合した物理的パラメータです。平面運動と空間運動における慣性モーメントの現れ方には興味深い違いがあります。平面運動では慣性モーメントを定義する単一のスカラー値がありますが、空間運動では同じ計算で3×3の慣性モーメント行列が得られ、これは慣性行列または慣性テンソルと呼ばれます。^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

回転するフライホイールの慣性モーメントは、機械において、加えられたトルクの変動に抵抗し、回転出力を滑らかにするために使用されます。航空機の縦軸、水平軸、垂直軸周りの慣性モーメントは、翼、昇降舵、方向舵の操縦面に作用する操舵力が、ロール、ピッチ、ヨーの各運動にどのように影響するかを決定します。

意味

慣性モーメントは、 断面の質量と、基準軸と断面の重心間の距離の二乗との積として定義されます。

回転椅子の実験動画。慣性モーメントを示しています。回転する教授が腕を引くと、慣性モーメントが減少し、角運動量を保存するため、角速度が増加します。

慣性モーメント $I$ は、系の正味角運動量 $L$ と主軸の周りの角速度 $ω$ の比としても定義され、 ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}、 $I={\frac {L}{\omega }}.$

系の角運動量が一定である場合、慣性モーメントが小さくなるにつれて、角速度は増加しなければなりません。これは、フィギュアスケート選手が回転する際に伸ばした腕を引っ込めたり、ダイバーが飛び込み時に体を丸めて回転速度を上げたりするときに起こります。 ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

物体の形状が変化しない場合、その慣性モーメントはニュートンの運動法則において、物体に加えられたトルク $τと主軸の周りの$ 角加速度 $α$ の比として現れる。つまり^{[ 1 ]}^:279^{[ 2 ]}^{:261、式9-19である。} $\tau =I\alpha .$

単振り子の場合、この定義は、振り子の質量 $m$ と支点からの距離 $r$ に関して、慣性モーメント $I$ の式を次のように与えます。 $I=mr^{2}.$

したがって、振り子の慣性モーメントは、物体の質量 $m$ と、回転軸までの距離 $rによって定義されるその形状、つまり幾何学的形状の両方に依存します。$

この単純な式を一般化すると、任意の形状の物体の慣性モーメントは、すべての要素質点 $dm の$ 合計に、軸 $k$ に対する垂直距離 $r$ の2乗を乗じた値として定義されます。したがって、任意の物体の慣性モーメントは、その質量の空間分布に依存します。

一般に、質量 $m$ の物体がある場合、特定の回転軸に依存して有効半径 $k$ を定義できます。その軸の周りの慣性モーメントは次のようになります。ここで、 $kは軸$ の周りの回転半径と呼ばれます。 $I=mk^{2},$

例

単振り子

数学的には、単振り子の慣性モーメントは、振り子の支点を中心とする重力トルクと、その支点を中心とする角加速度の比です。単振り子の場合、慣性モーメントは粒子の質量と支点からの距離の2乗の積、つまり $m$ $r$ $I=mr^{2}.$

これは次のように示されます。

単純な振り子の質量にかかる重力の力は、振り子の運動面に垂直な軸の周りにトルクを発生させます。ここでは、トルク軸から振り子の質量中心までの距離ベクトル、は質量にかかる正味の力です。このトルクに関連して、弦と質量のこの軸の周りの角加速度、があります。質量は円内に拘束されているため、質量の接線加速度はです。トルクの方程式は次のようになります。ここで、は振り子の面に垂直な単位ベクトルです。（最後から2番目のステップでは、とが垂直であるベクトル三重積展開を使用します。）量は、ピボットポイントの周りのこの単一の質量の 慣性モーメントです。 ${\boldsymbol {\tau}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {F}$ ${\boldsymbol {\alpha }}$ $\mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha}}\times \mathbf {r}$ $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times (m{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} )\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\alpha }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}=I\alpha \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}$ $\mathbf {\hat {k}}$ ${\boldsymbol {\alpha }}$ $\mathbf {r}$ $I=mr^{2}$

この量は単振り子の角運動量にも現れ、振り子の質量の支点周りの速度から計算されます。ここで、は支点周りの質量の角速度です。この角運動量は、前の式と同様の導出法で与えられます。 $I=mr^{2}$ $\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$ ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \left(m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\omega }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}=I\omega \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}$

同様に、振り子の質量の運動エネルギーは、振り子が軸の周りを回る速度によって定義され、 $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.$

これは、回転慣性モーメントが物体の形状と質量の組み合わせによって定義されることを示しています。任意の形状の物体の慣性モーメントは、物体内のすべての質量要素の値の合計です。 $I=mr^{2}$ $mr^{2}$

複合振り子

複合振り子は、連続した形状の粒子の集合体から形成され、支点を中心に剛体回転する物体である。その慣性モーメントは、それを構成する各粒子の慣性モーメントの合計である。^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{: 395–396}^{[ 17 ]}^{: 51–53}複合振り子の固有振動数（）は、その慣性モーメントに依存し、ここでは物体の質量、は局所的な重力加速度、は支点から物体の質量中心までの距離である。この振動周波数を小さな角変位にわたって測定することで、物体の慣性モーメントを効果的に測定することができる。^[¹⁸^]^{: 516–517} $\omega _{\text{n}}$ $I_{P}$ $\omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},$ $m$ $g$ $r$

したがって、物体の慣性モーメントを決定するには、物体を都合の良いピボットポイントから吊り下げて、目的の慣性モーメントの方向と垂直な平面内で自由に振動するようにします。次に、その固有振動数または振動周期 ( ) を測定して、次の式を取得します。ここで、は振動周期 (持続時間) です (通常は複数の周期にわたって平均化されます)。 $P$ $t$ $I_{P}={\frac {mgr}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {mgrt^{2}}{4\pi ^{2}}},$ $t$

振動の中心

複合振り子と同じ固有振動数を持つ単振り子は、支点から複合振り子の振動中心と呼ばれる点までの長さを定義します。この点は、打撃中心とも呼ばれます。長さは次の式で求められます。 $L$ $L$ ${\begin{aligned}\omega _{\text{n}}&={\sqrt {\frac {g}{L}}}&&={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}}\\L&={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}&&={\frac {I_{P}}{mr}}\end{aligned}}$

時計の針の「チクタク」と「トック」の音を出す秒振り子は、左右に振れるのに1秒かかります。これは2秒周期、つまり振り子の固有振動数です。この場合、振動中心までの距離は次のように計算できます。 $\pi \ \mathrm {rad/s}$ $L$ $L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}\approx {\frac {9.81\ \mathrm {m/s^{2}} }{(3.14\ \mathrm {rad/s} )^{2}}}\approx 0.99\ \mathrm {m} .$

秒振り子の振動中心までの距離は、局所的な重力加速度の異なる値に対応するために調整する必要があることに注意してください。ケーター振り子は、この特性を利用して局所的な重力加速度を測定する複合振り子であり、重力計と呼ばれます。

慣性モーメントの測定

車両や飛行機などの複雑なシステムの垂直軸周りの慣性モーメントは、システムを3点から吊り下げて三本振り子を形成することで測定できます。三本振り子とは、垂直の重心軸を中心にねじれ振動するように設計された3本のワイヤーで支えられたプラットフォームです。^{[ 19 ]}三本振り子の振動周期から、システムの慣性モーメントが得られます。^{[ 20 ]}

断面2次モーメント

断面2次モーメントは断面2次モーメントとも呼ばれ、その物理的な意味は質量慣性モーメントとはまったく異なります。

これらの計算は、土木工学において梁や柱の構造設計によく用いられます。断面積は、X軸の垂直モーメントとY軸の水平モーメントに対して計算されます。 $I_{xx}$ $I_{yy}$

高さ（h）と幅（b）は、円を除いて線状の測定値であり、円は実質的に半幅から算出される。 $r$

断面積モーメントの公式: ^{[ 21 ]}

四角： $I_{xx}=I_{yy}={\frac {b^{4}}{12}}$
長方形: および; $I_{xx}={\frac {bh^{3}}{12}}$ $I_{yy}={\frac {hb^{3}}{12}}$
三角： $I_{xx}={\frac {bh^{3}}{36}}$
円形: $I_{xx}=I_{yy}={\frac {1}{4}}{\pi }r^{4}={\frac {1}{64}}{\pi }d^{4}$

固定面内の運動

点質点

物体の軸周りの慣性モーメントは、物体内のすべての粒子について、指定された軸に対する垂直距離を合計することによって計算されます。拡張された物体の運動の研究において慣性モーメントがどのように生じるかを理解するには、剛体質点集合体を考えるのが便利です。（この式は、慣性モーメントを完全に記述するものではないことを理解すれば、主軸以外の軸にも使用できます。^[²²^]） $mr^{2}$ $r$

回転軸上の最も近い点であるピボットポイントからの距離にある質量体の集合体の運動エネルギーを考えてみましょう。これは個々の質量体の運動エネルギーの合計です。^[¹⁸^]^：516–517^[²³^]^{：1084–1085}^[²³^]^{：1296–1300} $N$ $m_{i}$ $r_{i}$ $P$ $E_{\text{K}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\left(\omega r_{i}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\,\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.$

これは、物体の慣性モーメントが各項の合計であることを示しています。 $mr^{2}$ $I_{P}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.$

したがって、慣性モーメントとは、回転軸の周りの粒子の質量と分布を組み合わせた物理的特性です。同じ物体でも、異なる軸の周りの回転によって慣性モーメントが異なることに注意してください。

指定された軸を中心に回転する連続体の慣性モーメントも同様の方法で計算されますが、点粒子の数が無限に多い点を除けば、和の限界はなくなり、和は次のように表されます。 $I_{P}=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}$

別の式では、和を積分に置き換えます。 $I_{P}=\iiint _{Q}\rho (x,y,z)\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}dV$

ここで、関数は各点における質量密度を与え、は回転軸に垂直で回転軸上の点から固体内の点まで伸びるベクトルであり、積分は物体の体積にわたって評価されます。平面の慣性モーメントも同様で、質量密度を面質量密度に置き換え、その面積にわたって積分を評価します。 $\rho$ $(x,y,z)$ $\mathbf {r}$ $(x,y,z)$ $V$ $Q$

断面二次モーメントに関する注記：平面内を移動する物体のモーメントと梁の断面の二次モーメントはしばしば混同されます。断面の形状を持つ物体のモーメントは、断面に垂直な - 軸の周りのこの断面積の二次モーメントに密度で重み付けされたものです。これは断面の極モーメントとも呼ばれ、 - 軸と -軸の周りの二次モーメントの合計です。^[²⁴^]梁の応力は、荷重に応じて- 軸または- 軸のいずれかの周りの断面積の二次モーメントを使用して計算されます。 $z$ $x$ $y$ $x$ $y$

例

細い棒の端に薄い円板を取り付け、棒のもう一方の端にある支点を中心に振動させる複合振り子の慣性モーメントは、細い棒と薄い円板のそれぞれの質量中心の周りの慣性モーメントの計算から始まります。^{[ 23 ]}

一定の断面積と密度を持ち、質量中心を通る垂直軸の周りの長さを持つ細い棒の慣性モーメントは積分によって決定されます。 ^[²³^]^：1301軸を棒に合わせ、原点を棒の中心の質量中心に置くと、棒の質量はどこにありますか。 $s$ $\rho$ $\ell$ $x$ $I_{C,{\text{rod}}}=\iiint _{Q}\rho \,x^{2}\,dV=\int _{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}\rho \,x^{2}s\,dx=\left.\rho s{\frac {x^{3}}{3}}\right|_{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}={\frac {\rho s}{3}}\left({\frac {\ell ^{3}}{8}}+{\frac {\ell ^{3}}{8}}\right)={\frac {m\ell ^{2}}{12}},$ $m=\rho s\ell$
一定の厚さ、半径、密度の薄い円板の、中心を通り面に対して垂直な軸（回転対称軸に平行）の周りの慣性モーメントは積分によって求められる。^[²³^]^：1301軸を円板の軸に合わせ、体積要素をと定義すると、はその質量となる。 $s$ $R$ $\rho$ $z$ $dV=sr\,dr\,d\theta$ $I_{C,{\text{disc}}}=\iiint _{Q}\rho \,r^{2}\,dV=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\rho r^{2}sr\,dr\,d\theta =\pi \rho s{\frac {R^{4}}{2}}={\frac {1}{2}}mR^{2},$ $m=\pi R^{2}\rho s$
複合振り子の慣性モーメントは、棒と円板の慣性モーメントを支点の周りに加えることで得られます。ここで、は振り子の長さです。平行軸定理を用いて、慣性モーメントを質量中心から振り子の支点へ移動させていることに注意してください。 $P$ $I_{P}=I_{C,{\text{rod}}}+M_{\text{rod}}\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+I_{C,{\text{disc}}}+M_{\text{disc}}(L+R)^{2},$ $L$

標準形状の物体に対する慣性モーメントの公式一覧は、複雑な物体を単純な形状の物体の集合体として捉え、その慣性モーメントを求める方法を提供します。平行軸定理は、個々の物体の基準点を集合体の基準点に合わせるために用いられます。

もう1つの例として、質量中心を通る軸の周りの一定密度の固体球の慣性モーメントを考えてみましょう。これは、球を形成できる薄い円板の慣性モーメントを合計することで求められます。これらの円板の中心は、考慮する軸に沿っています。球の表面積が次式^{[ 23 ]}^{で定義されているとします。1301} $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},$

すると、-軸に沿った断面における円板の半径の2乗は $r$ $z$ $z$ $r(z)^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-z^{2}.$

したがって、球の慣性モーメントは、軸に沿った円板の慣性モーメントの合計です。ここで、は球の質量です。 $z$ ${\begin{aligned}I_{C,{\text{sphere}}}&=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho r(z)^{4}\,dz=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-z^{2}\right)^{2}\,dz\\[1ex]&={\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left[R^{4}z-{\tfrac {2}{3}}R^{2}z^{3}+{\tfrac {1}{5}}z^{5}\right]_{-R}^{R}\\[1ex]&=\pi \rho \left(1-{\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {1}{5}}\right)R^{5}\\[1ex]&={\tfrac {2}{5}}mR^{2},\end{aligned}}$ ${\textstyle m={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }$

剛体

慣性モーメントが大きいシリンダーは、より多くの位置エネルギーを回転運動エネルギーに変換する必要があるため、より小さな加速度で斜面を転がり落ちます。

機械系が固定平面に平行に運動するように制約されている場合、系内の物体は、この平面に垂直な軸を中心に回転します。この場合、系内の質量の慣性モーメントは、極慣性モーメントと呼ばれるスカラー値です。極慣性モーメントの定義は、運動量、運動エネルギー、およびニュートンの剛体粒子系の平面運動に関する法則を考慮することで得られます。^[¹⁵^]^[¹⁸^]^[²⁵^]^[²⁶^] $\mathbf {\hat {k}}$

粒子のシステムが剛体に組み立てられている場合、システムの運動量は、基準点に対する位置と絶対速度で表すことができます。ここで、はシステムの角速度、はの速度です。 $n$ $P_{i},i=1,\dots ,n$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {v} _{i}$ ${\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} ,\end{aligned}}$ ${\boldsymbol {\omega }}$ $\mathbf {V}$ $\mathbf {R}$

平面運動の場合、角速度ベクトルは運動面に垂直な単位ベクトルに沿って向きます。基準点から点への単位ベクトルと単位ベクトルを導入すると、 $\mathbf {k}$ $\mathbf {e} _{i}$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {r} _{i}$ $\mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}$ ${\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}$

これは、平面内を移動する粒子の剛体システムの相対位置ベクトルと速度ベクトルを定義します。

外積に関する注記: 物体が地面と平行に動く場合、物体内のすべての点の軌跡はこの地面に平行な平面上にあります。つまり、物体が行う回転は、この平面に垂直な軸を中心に回転する必要があります。平面運動は、回転軸が点として現れるように、この地面に投影された形で表現されることがよくあります。この場合、物体の角速度と角加速度はスカラーであり、これらが回転軸に沿ったベクトルであるという事実は無視されます。これは通常、このトピックの導入で好まれます。しかし、慣性モーメントの場合は、質量と形状の組み合わせにより、外積の幾何学的特性の恩恵を受けます。このため、平面運動に関するこのセクションでは、物体の角速度と角加速度は地面に垂直なベクトルであり、外積の演算は空間剛体運動の研究で使用されるものと同じです。

角運動量

剛体粒子系の平面運動の角運動量ベクトルは^{[ 15 ]}^{[ 18 ]で与えられる。} ${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\omega \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {V} .\end{aligned}}$

重心を基準点として $\mathbf {C}$ ${\begin{aligned}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ,\\\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=0,\end{aligned}}$

質量中心に対する慣性モーメントを次のように定義する。 $I_{\mathbf {C} }$ $I_{\mathbf {C} }=\sum _{i}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2},$

すると角運動量の式は次のように簡略化される^{[ 23 ]}^：1028 $\mathbf {L} =I_{\mathbf {C} }\omega \mathbf {\hat {k}} .$

剛体の運動に垂直で、質量中心を通る軸の周りの慣性モーメントは、極モーメントと呼ばれます。具体的には、軸（または極）からの直交距離に関する質量の二次モーメントです。 $I_{\mathbf {C} }$

角運動量が一定であれば、慣性モーメントの減少は角速度の増加につながります。フィギュアスケーターは腕を引っ込めることで慣性モーメントを変化させることができます。つまり、腕を伸ばした状態で達成される角速度は、腕を引っ込めた状態では慣性モーメントが減少するため、より大きな角速度となります。しかし、フィギュアスケーターは剛体ではありません。

運動エネルギー

平面内を運動する剛体粒子系の運動エネルギーは^{[ 15 ]}^{[ 18 ]で与えられる。} ${\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i},\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right),\\&={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\mathbf {\hat {t}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+\omega \mathbf {V} \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .\end{aligned}}$

参照点をシステムの質量中心とし、第2項がゼロになるようにし、慣性モーメントを導入すると、運動エネルギーは^[²³^]^：1084で与えられる。 $\mathbf {C}$ $I_{\mathbf {C} }$ $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}I_{\mathbf {C} }\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .$

慣性モーメントとは、物体の 極慣性モーメントのことです。 $I_{\mathbf {C} }$

ニュートンの法則

1920年代のジョンディア社製トラクター。エンジンにスポークフライホイールが取り付けられている。フライホイールの大きな慣性モーメントがトラクターのスムーズな操作性を実現している。

ニュートンの剛体粒子系に対する法則は、基準点における合力とトルクで表すことができ、 ^[¹⁵^]^[¹⁸^]となる。ここで、は各粒子の軌跡を表す。 $n$ $P_{i},i=1,\dots ,n$ $\mathbf {R}$ ${\begin{aligned}\mathbf {F} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {A} _{i},\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {A} _{i},\end{aligned}}$ $\mathbf {r} _{i}$

剛体の運動学では、基準粒子の位置と加速度、および剛体粒子系の角速度ベクトルと角加速度ベクトルを用いて、粒子の加速度の式が次のように表される。 $P_{i}$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {A}$ ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\boldsymbol {\alpha }}$ $\mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {A} .$

平面運動に制約されたシステムの場合、角速度ベクトルと角加速度ベクトルは運動面に対して垂直な方向に向くため、この加速度方程式は簡略化されます。この場合、加速度ベクトルは、基準点から点への単位ベクトルと単位ベクトルを導入することで簡略化できます。 $\mathbf {\hat {k}}$ $\mathbf {\hat {e}} _{i}$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {r} _{i}$ $\mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}$ ${\begin{aligned}\mathbf {A} _{i}&=\alpha \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}-\omega \mathbf {\hat {k}} \times \omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \\&=\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} .\end{aligned}}$

これにより、システムにかかるトルクは次のようになる。 ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}$

ここで、はすべての粒子の平面に垂直な単位ベクトルです。 $\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {e}} _{i}=\mathbf {0}$ $\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}}$ $P_{i}$

質量中心を基準点として、質量中心に対する慣性モーメントを定義すると、結果として生じるトルクの式は次のように簡略化される^[²³^]^：1029 $\mathbf {C}$ $I_{\mathbf {C} }$ ${\boldsymbol {\tau }}=I_{\mathbf {C} }\alpha \mathbf {\hat {k}} .$

剛体の空間運動と慣性行列

スカラー慣性モーメントは、粒子系が3次元空間を運動する剛体に組み立てられる際に、行列の要素として現れる。この慣性行列は、粒子系の角運動量、運動エネルギー、および結果として生じるトルクの計算に用いられる。^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 27 ]}

粒子系を、固定された基準系に対して相対的な速度を持つ座標系に配置するとします。（移動する可能性のある）基準点に対して、相対位置は、（絶対）速度はです。ここでは系の角速度、はの速度です。 $n$ $P_{i},i=1,\dots ,n$ $\mathbf {r} _{i}$ $\mathbf {v} _{i}$ $\mathbf {R}$ $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R}$ $\mathbf {v} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }$ ${\boldsymbol {\omega }}$ $\mathbf {V_{R}}$ $\mathbf {R}$

角運動量

外積は、最初のオペランドと演算子をの要素から構成される歪対称行列に結合することによって、行列の乗算として同等に記述できることに留意してください。 $\left[\mathbf {b} \right]$ $\mathbf {b} =(b_{x},b_{y},b_{z})$ ${\begin{aligned}\mathbf {b} \times \mathbf {y} &\equiv \left[\mathbf {b} \right]\mathbf {y} \\\left[\mathbf {b} \right]&\equiv {\begin{bmatrix}0&-b_{z}&b_{y}\\b_{z}&0&-b_{x}\\-b_{y}&b_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

慣性行列は角運動量を考慮して構築され、物体の基準点は質量中心として選択されます。^[⁵^]^[⁸^]ここで、（）を含む項は質量中心の定義により合計がゼロになります。 $\mathbf {R}$ $\mathbf {C}$ ${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right)\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right),\end{aligned}}$ $\mathbf {V_{R}}$ $=\mathbf {C}$

次に、相対位置ベクトルから得られる歪対称行列を使用してを定義できます。ここで、によって定義されるは、質量中心を基準として測定された、粒子の剛体の対称慣性行列です。 $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$ $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C}$ $\mathbf {L} =\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},$ $\mathbf {I_{C}}$ $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2},$ $\mathbf {C}$

運動エネルギー

剛体粒子系の運動エネルギーは、質量中心と系の質量慣性モーメント行列を用いて定式化できる。粒子系を速度の座標に配置すると、運動エネルギーは^[⁵^]^[⁸^]となる。ここでは質量中心に対する粒子の位置ベクトルである。 $n$ $P_{i},i=1,\dots ,n$ $\mathbf {r} _{i}$ $\mathbf {v} _{i}$ $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right),$ $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C}$

この式を展開すると3つの項が得られる。 $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right).$

重心はで定義されるので、この式の2番目の項はゼロです。歪対称行列を導入すると、運動エネルギーは $\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0$ $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$ ${\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot \left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }.\end{aligned}}$

したがって、粒子の剛体系の運動エネルギーは次のように与えられます。ここで、は質量中心に対する慣性行列であり、は総質量です。 $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.$ $\mathbf {I_{C}}$ $M$

結果トルク

慣性行列は、ニュートンの第二法則を剛体粒子群に適用する際に現れる。この系に生じるトルクは、^{[ 5 ]}^{[ 8 ]} であり、ここでは粒子の加速度である。剛体の運動学は、基準点の位置と加速度、および剛体系の角速度ベクトルと角加速度ベクトルを用いて、粒子の加速度を表す式を以下のように導く。 ${\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} \right)\times m_{i}\mathbf {a} _{i},$ $\mathbf {a} _{i}$ $P_{i}$ $P_{i}$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {A} _{\mathbf {R} }$ ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\boldsymbol {\alpha }}$ $\mathbf {a} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\mathbf {A} _{\mathbf {R} }.$

質量中心を基準点として、交差積を表す歪対称行列を導入すると、 $\mathbf {C}$ $\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]=\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right]$ $(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} )\times$ ${\boldsymbol {\tau }}=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}$

計算では、以下の証明に示すように、三重クロス積のヤコビ恒等式から得られる恒等式を使用します。 $\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)=0,$

証拠

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{i}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+\mathbf {A} _{\mathbf {R} })]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+0)]\\\end{aligned}}$ 最後の式では、は静止しているか、一定速度で運動しているが加速していないか、あるいは固定された（世界）座標参照系の原点が質量の中心に置かれているため、外積を和に分配すると、次の式が得られます。 $\mathbf {A} _{\mathbf {R} }=0$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {C}$ ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}]\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{{\text{tangential}},i})]\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))]\end{aligned}}$

そして、最後の項には次のヤコビ恒等式が使用されます。 ${\begin{aligned}0&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times -({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+-[0]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\0&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})\end{aligned}}$

ヤコビ恒等式を適用した結果は次のように続きます。 ${\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})]\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}))]\;\ldots {\text{ scalar triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot (0))]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})]\\&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&={\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}))\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))&={\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))\;\ldots {\text{ dot-product commutativity}}\\\end{aligned}}$

最終結果は次のようにメインの証明に置き換えることができます。 ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{0-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})]-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})=0\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})]-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ addition associativity}}\\\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product distributivity over addition}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})(0)]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ summation distributivity}}\\{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}{\text{ is not characteristic of particle }}P_{i}\end{aligned}}$

任意のベクトルに対して、次が成り立つことに注意してください。 $\mathbf {u}$ ${\begin{aligned}-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\right)\right)\;\ldots {\text{ cross-product as matrix multiplication}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3}\\-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})+\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\+\Delta r_{3,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})-\Delta r_{1,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\-\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})+\Delta r_{1,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}\\-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{2}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{3}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}&\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\mathbf {u} \\[6pt]-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right)\mathbf {u} \;\ldots \;\mathbf {u} {\text{ is not characteristic of }}P_{i}\end{aligned}}$

最後に、その結果を使用して次のように主な証明を完了します。 ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}$

したがって、粒子の剛体システムにかかる合成トルクは、質量中心に対する慣性行列で表されます。 ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},$ $\mathbf {I_{C}}$

平行軸定理

物体の慣性行列は、基準点の選択に依存します。質量中心に対する慣性行列と他の点に対する慣性行列の間には、有用な関係があります。この関係は平行軸定理と呼ばれます。^[⁵^]^[⁸^] $\mathbf {C}$ $\mathbf {R}$

基準点を基準として測定された剛体粒子系に対して得られる慣性行列を考える。 $\mathbf {I_{R}}$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right]^{2}.$

を剛体の質量中心とすると、質量中心から基準点へのベクトルはどこになりますか？この式を用いて慣性行列を計算します。 $\mathbf {C}$ $\mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {C} )+\mathbf {C} =\mathbf {d} +\mathbf {C} ,$ $\mathbf {d}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {C} +\mathbf {d} \right)]^{2}=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right)-\mathbf {d} ]^{2}.$

外積に分配して $\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]^{2}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)[\mathbf {d} ]+[\mathbf {d} ]\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[\mathbf {d} ]^{2}.$

最初の項は、質量中心に対する慣性行列です。2番目と3番目の項は、質量中心の定義によりゼロです。最後の項は、系の総質量に、から構成される歪対称行列の2乗を乗じたものです。 $\mathbf {I_{C}}$ $\mathbf {C}$ $[\mathbf {d} ]$ $\mathbf {d}$

結果は平行軸定理であり、ここでは質量中心から基準点へのベクトルです。 $\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }-M[\mathbf {d} ]^{2},$ $\mathbf {d}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {R}$

マイナス符号に関する注意：基準点を基準とした位置ベクトルの歪対称行列を用いることで、各粒子の慣性行列はの形をとります。これは平面運動に現れるに似ています。しかし、これを正しく動作させるにはマイナス符号が必要です。このマイナス符号は、の歪対称性を利用することで、必要に応じてという項に取り込むことができます。 $-m\left[\mathbf {r} \right]^{2}$ $mr^{2}$ $m\left[\mathbf {r} \right]^{\mathsf {T}}\left[\mathbf {r} \right]$ $[\mathbf {r} ]$

平面におけるスカラー慣性モーメント

単位ベクトルで方向が指定され、点で物体を通過する指定軸の周りの物体のスカラーモーメント慣性モーメントは、次のとおりです。^[⁸^] ここで、は基準点に対するシステムの慣性モーメント行列であり、はベクトルから得られる歪対称行列です。 $I_{L}$ $\mathbf {\hat {k}}$ $\mathbf {R}$ $I_{L}=\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,$ $\mathbf {I_{R}}$ $\mathbf {R}$ $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$ $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R}$

これは次のように導出されます。粒子の剛体集合体の座標をとします。を参照点として選び、を通る単位ベクトルによって定義される直線 L の周りの慣性モーメントを計算します。この直線から粒子への垂直ベクトルは、に射影される成分を除去することによってから得られます。ここでは慣性行列との混同を避けるため単位行列であり、は直線に沿った単位ベクトルから形成される外積行列です。 $n$ $P_{i},i=1,\dots ,n$ $\mathbf {r} _{i}$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {\hat {k}}$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {L} (t)=\mathbf {R} +t\mathbf {\hat {k}}$ $P_{i}$ $\Delta \mathbf {r} _{i}$ $\mathbf {\hat {k}}$ $\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }=\Delta \mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\mathbf {\hat {k}} =\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)\Delta \mathbf {r} _{i},$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}$ $\mathbf {\hat {k}}$ $L$

このスカラー慣性モーメントを物体の慣性行列に関連付けるには、となる歪対称行列を導入します。すると、が単位ベクトルであることに注意して恒等式が得られます。 $\left[\mathbf {\hat {k}} \right]$ $\left[\mathbf {\hat {k}} \right]\mathbf {y} =\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {y}$ $-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\equiv \left|\mathbf {\hat {k}} \right|^{2}\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}},$ $\mathbf {\hat {k}}$

垂直ベクトルの大きさの2乗は ${\begin{aligned}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}&=\left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\&=\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\end{aligned}}$

この方程式の簡略化には、内積と外積を入れ替えた三重スカラー積の恒等式が用いられます。積を入れ替え、とが直交していることに留意して簡略化すると、次のようになります。 $\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\equiv \left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right),$ $\Delta \mathbf {r} _{i}$ $\mathbf {\hat {k}}$ ${\begin{aligned}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\\={}&\left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\={}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} .\end{aligned}}$

したがって、方向を通る直線の周りの慣性モーメントは、計算によって得られます。ここで、は基準点に対するシステムの慣性モーメント行列です。 $L$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {\hat {k}}$ ${\begin{aligned}I_{L}&=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}\\&=-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} \\&=\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}$ $\mathbf {I_{R}}$ $\mathbf {R}$

これは、慣性行列を使用して、物体内の任意の指定された回転軸の周りの物体の慣性モーメントを計算できることを示しています。

慣性テンソル

同じ物体であっても、回転軸が異なると、その軸周りの慣性モーメントは異なります。一般的に、物体がすべての軸に関して対称でない限り、慣性モーメントは等しくなりません。慣性モーメントテンソルは、物体のすべての慣性モーメントを一つの量でまとめる便利な方法です。これは空間内の任意の点を基準に計算できますが、実用的には質量中心を基準に計算するのが最も一般的です。

意味

質点からなる剛体の場合、慣性モーメントテンソルは次のように与えられる。 $N$ $m_{k}$ $\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}.$

その構成要素は次のように定義される。 $I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\left\|\mathbf {r} _{k}\right\|^{2}\delta _{ij}-x_{i}^{(k)}x_{j}^{(k)}\right)$

$i$ 、、、の場合、それぞれ1、2、3 になります。 $j$ $x$ $y$ $z$
$\mathbf {r} _{k}=\left(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)}\right)$ テンソルが計算される点から質点へのベクトルであり、 $m_{k}$
$\delta _{ij}$ クロネッカーのデルタです。

定義により、は対称テンソルであることに注意してください。 $\mathbf {I}$

対角要素はより簡潔に次のように記述されますが、非対角要素は慣性積とも呼ばれ、 ${\begin{aligned}I_{xx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{yy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{zz}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}.\end{aligned}}$

ここで、は物体が x 軸を中心に回転したときの - 軸周りの慣性モーメントを表し、は物体が - 軸を中心に回転したときの - 軸周りの慣性モーメントを表します。 $I_{xx}$ $x$ $I_{xy}$ $y$ $x$

これらの量は、スカラー慣性モーメントと同様に、質量密度関数で記述される分布質量を持つ物体に一般化できます。すると、となります。ここで、はそれらの外積、E ₃は3×3単位行列、V は物体を完全に包含する空間領域です。 $\mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (x,y,z)\left(\|\mathbf {r} \|^{2}\mathbf {E} _{3}-\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)\,dx\,dy\,dz,$ $\mathbf {r} \otimes \mathbf {r}$

あるいは、角運動量演算子を使って次のように書くこともできます。 $[\mathbf {r} ]\mathbf {x} =\mathbf {r} \times \mathbf {x}$ $\mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{\textsf {T}}[\mathbf {r} ]\,dV=-\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{2}\,dV$

慣性テンソルは、慣性行列と同様に、任意の軸の方向におけるスカラー慣性モーメントを計算するために使用できます。この場合、成分テンソルの対応する要素とのドット積が取られます。計算によって、慣性項の積としてが得られ、これは物体が - 軸の周りを回転するときの - 軸の周りの慣性モーメントとして解釈できます。 $\mathbf {n}$ $I_{n}=\mathbf {n} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {n} ,$ $I_{12}$ $I_{12}=\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {e} _{2},$ $x$ $y$

2次テンソルの成分は行列にまとめることができる。慣性テンソルの場合、この行列は次のように表される。 ${\begin{aligned}\mathbf {I} &={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\[1.8ex]I_{21}&I_{22}&I_{23}\\[1.8ex]I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\[1.8ex]I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\[1.8ex]I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}\\[2ex]&=\sum _{k=1}^{N}{\begin{bmatrix}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-m_{k}x_{k}y_{k}&-m_{k}x_{k}z_{k}\\[1ex]-m_{k}x_{k}y_{k}&m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-m_{k}y_{k}z_{k}\\[1ex]-m_{k}x_{k}z_{k}&-m_{k}y_{k}z_{k}&m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

剛体力学では、慣性テンソルの成分として、、などの、、軸を明示的に識別する表記法を使用するのが一般的です。 $x$ $y$ $z$ $I_{xx}$ $I_{xy}$

代替慣性慣性

SolidWorks、Unigraphics NX/Siemens NX、MSC AdamsなどのCADおよびCAEアプリケーションでは、慣性積の計算に別の規則が用いられています。この規則では、慣性積の式からマイナス記号が削除され、代わりに慣性行列に挿入されます。 ${\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k},\\[3pt]\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\[1.8ex]I_{21}&I_{22}&I_{23}\\[1.8ex]I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\[1.8ex]-I_{yx}&I_{yy}&-I_{yz}\\[1.8ex]-I_{zx}&-I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}\\[1ex]&=\sum _{k=1}^{N}{\begin{bmatrix}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-m_{k}x_{k}y_{k}&-m_{k}x_{k}z_{k}\\[1ex]-m_{k}x_{k}y_{k}&m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-m_{k}y_{k}z_{k}\\[1ex]-m_{k}x_{k}z_{k}&-m_{k}y_{k}z_{k}&m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

慣性慣性の決定（主軸法）

慣性データが得られても、どの慣性慣性法が用いられたかが不明な場合は、主軸も得られているかどうかを判断できます。主軸法では、以下の2つの仮定に基づいて慣性行列を作成します。 $(I_{xx},I_{yy},I_{zz},I_{xy},I_{xz},I_{yz})$

標準慣性規則が使用されています。 $(I_{12}=I_{xy},I_{13}=I_{xz},I_{23}=I_{yz})$
代替慣性規則が使用されています。 $(I_{12}=-I_{xy},I_{13}=-I_{xz},I_{23}=-I_{yz})$

次に、2つの行列の固有ベクトルを計算します。固有ベクトルが主軸に平行な行列は、慣性慣性法に一致します。

テンソル成分の導出

回転軸から原点を通る方向への粒子の距離はであり、は単位ベクトルである。軸上の慣性モーメントは $r$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {\hat {n}}$ $\left|\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right|$ $\mathbf {\hat {n}}$ $I=mr^{2}=m\left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)\cdot \left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-2\mathbf {x} \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} +\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\mathbf {\hat {n}} ^{2}\right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\right).$

行列転置を使用して方程式を書き直すと、 E ₃は 3×3単位行列になります。 $I=m\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} -\mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {\hat {n}} \right)=m\cdot \mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \cdot \mathbf {E_{3}} -\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {\hat {n}} ,$

これは慣性モーメントのテンソル式につながる。 $I=m{\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\[0.5ex]-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\[0.5ex]-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{1}\\[0.7ex]n_{2}\\[0.7ex]n_{3}\end{bmatrix}}.$

複数の粒子の場合、この式が正しいことを確認するには、慣性モーメントが加算されるということを思い出すだけで十分です。

並進の慣性テンソル

物体の質量中心における慣性テンソルを、物体の変位ベクトルをとします。移動した物体の元の質量中心に対する慣性テンソルは、次式で与えられます。ここでは物体の質量、E ₃は3 × 3の単位行列、は外積です。 $\mathbf {I} _{0}$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {I} =\mathbf {I} _{0}+m[(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} )\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} ]$ $m$ $\otimes$

回転の慣性テンソル

物体の回転を表す行列をとする。回転する物体の慣性テンソルは次のように与えられる: ^[²⁸^] $\mathbf {R}$ $\mathbf {I} =\mathbf {R} \mathbf {I_{0}} \mathbf {R} ^{\textsf {T}}$

異なる参照フレームにおける慣性行列

ニュートンの第二法則における慣性行列の使用は、その成分が慣性系に平行な軸を基準として計算され、物体に固定された参照系を基準としないことを前提としている。^{[ 8 ]}^{[ 25 ]}これは、物体が移動すると、慣性行列の成分が時間とともに変化することを意味する。対照的に、物体に固定された参照系で測定された慣性行列の成分は一定である。

ボディフレーム

物体の質量中心に対する慣性行列をと表し、慣性系に対する物体の向きを回転行列で定義する。ここで、物体固定座標系のベクトルは慣性系に座標を持つ。すると、慣性系で測定された物体の慣性行列は次のように表される。 $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {y} ,$ $\mathbf {y}$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }=\mathbf {A} \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}.$

体が動くとが変化するのに対し、は一定のままであることに注目してください。 $\mathbf {A}$ $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}$

主軸

物体座標系で測定すると、慣性行列は定数の実対称行列となる。実対称行列は、回転行列と対角行列の積に固有値分解され、次のように表される。 $\mathbf {Q}$ ${\boldsymbol {\Lambda }}$ $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}=\mathbf {Q} {\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {Q} ^{\mathsf {T}},$ ${\boldsymbol {\Lambda }}={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}.$

回転行列の列は物体の主軸の方向を定義し、定数、、は主慣性モーメントと呼ばれます。この結果はJJシルベスター（1852）によって初めて示され、シルベスターの慣性法則の一種です。^[²⁹^]^[³⁰^]物体が対称軸（図形軸または図形軸と呼ばれることもあります）を持つ場合、他の2つの慣性モーメントは同一になり、対称軸に垂直な軸はすべて主軸になります。 $\mathbf {Q}$ $I_{1}$ $I_{2}$ $I_{3}$

おもちゃのコマは回転する剛体の一例であり、「コマ」という言葉は剛体の種類の名前に使用されています。すべての主モーメントが異なる場合、質量中心を通る主軸は一意に特定され、その剛体は非対称コマと呼ばれます。2つの主モーメントが同じ場合、その剛体は対称コマと呼ばれ、対応する2つの主軸は一意に選択できません。3つの主モーメントがすべて同じ場合、その剛体は球状コマと呼ばれます（ただし、球状である必要はありません）。どの軸も主軸と見なすことができ、どの軸についても慣性モーメントは同じであることを意味します。

主軸は、多くの場合、物体の対称軸と一致します。剛体がのオーダーの対称軸を持つ場合、つまり、与えられた軸を中心に $360°$ $/$ $m$ の回転に対して対称である場合、その軸は主軸と呼ばれます。のとき、剛体は対称上面と呼ばれます。剛体が互いに平行でも垂直でもない少なくとも2つの対称軸を持つ場合、それは球面上面と呼ばれます。例えば、立方体やその他のプラトン立体などがその例です。 $m$ $m>2$

車両の運動は、ヨー、ピッチ、ロールという3つの軸の周りの回転運動にほぼ相当する、という表現で説明されることが多い。車両が左右対称の場合、主軸の1つは横軸（ピッチ軸）と正確に一致する。

この数学的現象の実際の例としては、自動車の日常的な作業であるタイヤのバランス調整が挙げられます。これは基本的に、車輪がぐらつかないように、慣性主軸が車軸と一直線になるように車輪の質量の分布を調整することを意味します。

回転分子は非対称、対称、球状トップに分類され、回転スペクトルの構造はタイプごとに異なります。

楕円

物体座標系における慣性モーメント行列は、ポアンソ楕円体と呼ばれる物体表面を定義する二次形式である。^{[ 31 ]}主軸に整列した質量中心に対する慣性行列をとれば、表面またはは物体座標系における楕円体を定義する。この式をの形で書き直すと、この楕円体の半主直径は次のように与えられることがわかる。 ${\boldsymbol {\Lambda }}$ $\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =1,$ $I_{1}x^{2}+I_{2}y^{2}+I_{3}z^{2}=1,$ $\left({\frac {x}{1/{\sqrt {I_{1}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{1/{\sqrt {I_{2}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{1/{\sqrt {I_{3}}}}}\right)^{2}=1,$ $a={\frac {1}{\sqrt {I_{1}}}},\quad b={\frac {1}{\sqrt {I_{2}}}},\quad c={\frac {1}{\sqrt {I_{3}}}}.$

この楕円体上の点を、その大きさと方向（単位ベクトル）で定義するとする。すると、慣性行列と方向の軸周りのスカラー慣性モーメントの関係は、次式で表される。 $\mathbf {x}$ $\mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|\mathbf {n}$ $\mathbf {n}$ $I_{\mathbf {n} }$ $\mathbf {n}$ $\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|^{2}\mathbf {n} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {n} =\|\mathbf {x} \|^{2}I_{\mathbf {n} }=1.$

したがって、慣性楕円体上の方向の点の大きさは $\mathbf {x}$ $\mathbf {n}$ $\|\mathbf {x} \|={\frac {1}{\sqrt {I_{\mathbf {n} }}}}.$

参照

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外部リンク

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