無限次元球

代数的位相幾何学において、無限次元球面はすべての球面の帰納的極限である。球面は縮約可能ではないが、無限次元球面は縮約可能であり^[1]^[2]、したがって複数の普遍主束の全体空間として現れる。

意味

2-ノルム球面の通常の定義では、標準包含は標準包含に制限される。したがって、球面は帰納的系を形成し、その帰納的極限は^[3]^{[4]となる。} $S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}|\|x\|_{2}=1\}$ $\mathbb {R} ^{n+1}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n+2},x\mapsto (x,0)$ $S^{n}\hookrightarrow S^{n+1}$

S^{\infty }:=\lim _{n\rightarrow \infty }S^{n}

は無限次元球面です。

プロパティ

無限次元球面の最も重要な性質は、それが収縮可能であることである。^[1]^[2]無限次元球面は球面からCW 構造を継承するので、 ^[3]^[5] ホワイトヘッドの定理によれば、それが弱収縮可能であることを示すだけで十分である。直感的には、球面のホモトピー群は 1 つずつ消えていくので、無限次元球面ではすべてが消える。具体的には、任意の写像は、前述の球面のコンパクト性により、一般性を失うことなくを含む標準的な包含上に因数分解される。が自明なので、も自明である。 $S^{k}\rightarrow S^{\infty}$ $S^{n}\hookrightarrow S^{\infty}$ $k<n$ $\pi _{k}(S^{n})$ $\pi _{k}(S^{\infty })$

応用

$S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbb {R} P^{\infty }$ は普遍主- 束なので。主- 束は標準的な包含なので。したがって。 $\operatorname {O} (1)$ $\operatorname {EO} (1)\cong S^{\infty}$ $\operatorname {O} (1)$ $S^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {R} P^{n}$ $i\colon \mathbb {R} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {R} P^{\infty}$ $S^{n}\cong i^{*}S^{\infty}$
$S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbb {C} P^{\infty }$ は普遍主U(1)-束なので、となる。主-束は標準包含なので、となる。 $\operatorname {EU} (1)\cong \operatorname {ESO} (2)\cong S^{\infty}$ $\operatorname {U} (1)$ $S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {C} P^{n}$ $j\colon \mathbb {C} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {C} P^{\infty}$ $S^{2n+1}\cong j^{*}S^{\infty}$
$S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbb {H} P^{\infty }$ は普遍主SU(2)-束なので、となる。主-束は標準包含なので、となる。 $\operatorname {ESU} (2)\cong \operatorname {ESp} (1)\cong S^{\infty}$ $\operatorname {SU} (2)$ $S^{4n+3}\twoheadrightarrow \mathbb {H} P^{n}$ $k\colon \mathbb {H} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {H} P^{\infty}$ $S^{4n+3}\cong k^{*}S^{\infty}$