C0半群

Generalization of the exponential function

数学解析において、C ₀半群（強連続1パラメータ半群とも呼ばれる）は指数関数の一般化である。指数関数がスカラー定数 係数線形 常 微分方程式の解を与えるのと同様に、強連続半群はバナッハ空間における定数係数線形常微分方程式の解を与える。バナッハ空間におけるこのような微分方程式は、例えば遅延微分方程式や偏微分方程式から生じる。

正式には、強連続半群は、強演算子位相で連続するあるバナッハ空間X上の半群( R ₊ , +)の表現です。

正式な定義

バナッハ空間上の強連続半群は、 （は上の有界作用素の空間）写像であっ て、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:\mathbb {R} _{+}\to L(X)}$ ${\displaystyle L(X)}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle T(0)=I}$、（上の恒等演算子） ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle \forall t,s\geq 0:\ T(t+s)=T(t)T(s)}$
3. ${\displaystyle \forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0}$、 として。 ${\displaystyle t\downarrow 0}$

最初の 2 つの公理は代数的であり、半群の表現であると述べています。最後の公理は位相的であり、マップが強演算子位相で連続していると述べています。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {(\mathbb {R} _{+},+)}}$ ${\displaystyle T}$

無限小ジェネレータ

強連続半群Tの無限小生成元 Aは次のように定義される。

${\displaystyle A\,x=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {(T(t)-I)\,x}{t}}}$

極限が存在するときはいつでも、Aの定義域D ( A )は、この極限が存在するようなx∈Xの集合である。D ( A )は線型部分空間であり、Aはこの定義域上で線型である。^[1] 作用素Aは閉じているが、必ずしも有界であるとは限らず、定義域はXに稠密である。^[2]

生成元Aを持つ強連続半群Tは 、しばしば記号（または、同値な）で表記される。この表記は、行列指数関数、および関数解析（例えばスペクトル定理）によって定義された作用素の関数 の表記と互換性がある。 ${\displaystyle e^{At}}$ ${\displaystyle \exp(At)}$

一様連続半群

一様連続半群とは、強連続半群Tであって、

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\|T(t)-I\|=0}$

が成り立つ。この場合、Tの無限小生成元Aは有界であり、

${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)=X}$

そして

${\displaystyle T(t)=e^{At}:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}t^{k}.}$

逆に、任意の有界演算子

${\displaystyle A\colon X\to X}$

は、次のように与えられる一様連続半群の無限小生成元である。

${\displaystyle T(t):=e^{At}}$。

したがって、線型作用素 Aが一様連続半群の無限小生成子となることと、Aが有界線型作用素となることは、同値である。^[3] Xが有限次元バナッハ空間ならば、任意の強連続半群は一様連続半群となる。一様連続半群ではない強連続半群の場合、無限小生成子Aは有界ではない。この場合、は収束する必要はない。 ${\displaystyle e^{At}}$

例

乗法半群

超ノルムが付与されたバナッハ空間を考える。を を満たす連続関数とする。定義域 の作用素は稠密に定義された閉作用素であり、 の乗法半群を生成する。乗法作用素は対角行列の無限次元一般化とみなすことができ、の多くの性質はの性質から導出できる 。例えば、が で有界となる場合、かつ が で有界となる場合に限る。^[4] ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ):=\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} {\text{ continuous}}:\forall \epsilon >0~\exists c>0{\text{ such that }}\vert f(x)\vert \leq \epsilon ~\forall x\in \mathbb {R} \setminus [-c,c]\}}$ ${\displaystyle \Vert f\Vert :={\text{sup}}_{x\in \mathbb {R} }\vert f(x)\vert }$ ${\displaystyle q:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\text{sup}}_{s\in \mathbb {R} }{\text{Re}}(q(s))<\infty }$ ${\displaystyle M_{q}f:=q\cdot f}$ ${\displaystyle D(M_{q}):=\{f\in C_{0}(\mathbb {R} ):q\cdot f\in C_{0}(\mathbb {R} )\}}$ ${\displaystyle (T_{q}(t))_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle T_{q}(t)f:=\mathrm {e} ^{qt}f.}$ ${\displaystyle M_{q}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle M_{q}}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R)} }$ ${\displaystyle q}$

翻訳半群

を sup ノルムを持つ 、 上の有界かつ一様連続な関数の成す空間とする。 （左）並進半群は で与えられる。 ${\displaystyle C_{ub}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (T_{l}(t))_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle T_{l}(t)f(s):=f(s+t),\quad s,t\in \mathbb {R} }$

その生成元は定義域を持つ微分である。^[5] ${\displaystyle Af:=f'}$ ${\displaystyle D(A):=\{f\in C_{ub}(\mathbb {R} ):f{\text{ differentiable with }}f'\in C_{ub}(\mathbb {R} )\}}$

抽象コーシー問題

抽象的なコーシー問題を考えてみましょう。

${\displaystyle u'(t)=Au(t),~~~u(0)=x,}$

ここで、Aはバナッハ空間X上の閉作用素であり、x∈Xである。この問題の解法には2つの概念がある。

• 連続的に微分可能な関数u : [0, ∞) → X がコーシー問題の古典解と呼ばれるのは、すべてのt > 0に対してu ( t  ) ∈ D ( A )が成り立ち、初期値問題を満たすときである。
• 連続関数u : [0, ∞) → Xがコーシー問題の穏やかな解と呼ばれるのは、

${\displaystyle \int _{0}^{t}u(s)\,ds\in D(A){\text{ and }}A\int _{0}^{t}u(s)\,ds=u(t)-x.}$

あらゆる古典的解は穏和な解である。穏和な解が古典的解となるのは、連続的に微分可能である場合のみである。^[6]

次の定理は、抽象的なコーシー問題と強連続半群を結び付けます。

定理: ^[7] Aをバナッハ空間X上の閉作用素とする。以下の主張は同値である。

1. すべてのx∈Xに対して、抽象コーシー問題の唯一の穏やかな解が存在する。
2. 演算子Aは強連続半群を生成する。
3. Aの解決集合は空でなく、すべてのx∈D ( A )に対してコーシー問題の唯一の古典的解が存在する。

これらの主張が成り立つとき、コーシー問題の解はu ( t  ) =  T ( t  ) xで与えられ、 TはAによって生成された強連続半群です。

生成定理

コーシー問題に関連して、通常、線型作用素Aが与えられ、これが強連続半群の生成元であるかどうかが問われます。この問いに答える定理は生成定理と呼ばれます。指数的に有界な強連続半群を生成する作用素の完全な特徴付けは、ヒレ・ヨシダの定理によって与えられます。しかし、より実用的に重要なのは、ルマー・フィリップスの定理によって与えられる、はるかに検証しやすい条件です。

半群の特別なクラス

一様連続半群

強連続半群Tは、写像t  →  T ( t  )が[0,∞)からL ( X )まで連続であるとき、一様連続と呼ばれる。

一様連続半群の生成元は有界演算子です。

解析的半群

縮約半群

C ₀半群 Γ( t ) （t  ≥ 0 ）は、定数ωが存在し、 ||Γ( t )|| ≤ exp( ωt ) がすべてのt ≥ 0 に対して成り立つとき、準縮約半群と呼ばれる 。Γ( t ) は、||Γ( t )|| ≤ 1 がすべてのt  ≥ 0に対して成り立つとき、縮約半群と呼ばれる。^[8]

微分可能半群

強連続半群Tは、 t ₀  > 0が存在してT ( t ₀ ) X ⊂ D ( A ) （等価:すべてのt  ≥  t 0 に対してT ( t  ) X ⊂ D ( A ) ）が存在するとき、最終的に微分可能であると呼ばれ、すべてのt  > 0_に対してT ( t  ) X ⊂ D ( A ) である 場合、 T は即時微分可能であると呼ばれます。

すべての解析半群は直ちに微分可能である。

コーシー問題における同等の特徴付けは次の通りである：Aによって生成される強連続半群が最終的に微分可能であることと、任意のx  ∈  Xに対して抽象コーシー問題の解uが( t ₁ , ∞)上で微分可能であることとは、 t ₁  ≥ 0が存在する場合に限る。t _{1 を}ゼロに選ぶことができる場合、半群は直ちに微分可能である。

コンパクト半群

強連続半群Tは、t ₀  > 0が存在してT ( t ₀ )がコンパクト作用素であるとき（^[9]で、T ( t  )がすべてのt  ≥  t ₀に対してコンパクト作用素である場合と同値である）、最終的にコンパクトと呼ばれる。T ( t )がすべてのt  > 0 に対してコンパクト作用素であるとき、半群は直ちにコンパクトと呼ばれる。

ノルム連続半群

強連続半群が漸近的にノルム連続であるとは、 t ₀ ≥ 0が存在し、t  →  T ( t ) の 写像が( t ₀ , ∞)からL ( X ) へ 連続であることを意味する。t _{0 を}0に選ぶことができる場合、その半群は漸近的にノルム連続であるとは、意味が異なる。

直ちにノルム連続な半群の場合、写像t  →  T ( t ) はt = 0 で連続ではない可能性があることに注意してください (その場合、半群は一様連続になります)。

解析的半群、（最終的には）微分可能半群、（最終的には）コンパクト半群はすべて最終的にはノルム連続である。^[10]

安定性

指数安定性

半群Tの成長限界は定数である

${\displaystyle \omega _{0}=\inf _{t>0}{\frac {1}{t}}\log \|T(t)\|.}$

この数は、定数M （≥ 1）が 存在するようなすべての実数ωの最小値でもあるため、このように呼ばれています。

${\displaystyle \|T(t)\|\leq Me^{\omega t}}$

すべてのt≥0に対して。

以下は同等である: ^[11]

1. 任意のt≥0に対してM , ω > 0が存在する : ${\displaystyle \|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},}$
2. 成長限界は負である: ω ₀  < 0,
3. 半群は一様作用素位相においてゼロに収束する：、 ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)\|=0}$
4. t ₀  > 0 が存在し、 ${\displaystyle \|T(t_{0})\|<1}$
5. t ₁  > 0が存在し、 T ( t ₁ )のスペクトル半径は1より小さい。
6. p ∈ [1, ∞)が存在し、任意のx  ∈  X に対して、 ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty }$
7. すべてのp∈  [   1,∞)とすべてのx∈Xに対して: ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .}$

これらの同値な条件を満たす半群は、指数安定または一様安定と呼ばれます（文献によっては、上記の最初の3つの記述のいずれかが定義として採用されています）。L p 条件が指数安定性と同値であることは、ダトコ^・パジの定理と呼ばれます。

Xがヒルベルト空間の場合、生成子のレゾルベント作用素に関して指数安定性と等価な別の条件が存在する： ^[12]正の実部を持つすべてのλはAのレゾルベント集合に属し、レゾルベント作用素は右半平面上で一様有界である、すなわち( λI  −  A ) ^−1はハーディ空間に属する。これはギアハート・プルスの定理と呼ばれる。 ${\displaystyle H^{\infty }(\mathbb {C} _{+};L(X))}$

演算子Aのスペクトル境界は定数である

${\displaystyle s(A):=\sup\{{\rm {Re}}\,\lambda :\lambda \in \sigma (A)\}}$、

Aのスペクトルが空の場合、 s ( A ) = −∞という規則が適用されます。

半群の成長限界とその生成子のスペクトル限界は、^[13] s ( A ) ≤ ω ₀ ( T ) で関連付けられる。 ^[14] s ( A ) <  ω ₀ ( T )となる 例もある。s ( A ) =  ω ₀ ( T ) ならば 、Tはスペクトル決定成長条件を満たすと言われる。最終的に、ノルム連続半群はスペクトル決定成長条件を満たす。^[15]これは、これらの半群の指数安定性の別の同等な特徴付けを与える。

• 最終的にノルム連続な半群は、s ( A )<0の場合にのみ指数的に安定である。

最終的にコンパクトで、最終的に微分可能で、解析的で、一様連続な半群は最終的にノルム連続であるため、スペクトル決定成長条件は特にこれらの半群に対して成り立つことに注意してください。

強力な安定性

強連続半群Tは、すべてのx  ∈  Xに対して:が成り立つとき、強安定または漸近安定と呼ばれます。 ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)x\|=0}$

指数安定性は強い安定性を意味しますが、 Xが無限次元の場合、その逆は一般には当てはまりません( X が有限次元の場合は当てはまります)。

強安定性の十分条件は、アレント・バティ・リュビッチ・フォン定理と呼ば れる：^{[16] [17]}

1. Tは有界である： M  ≥ 1が存在し、 ${\displaystyle \|T(t)\|\leq M}$
2. Aは虚軸上に点スペクトルを持たず、
3. 虚軸上に位置するAのスペクトルは可算です。

そうするとTは強く安定します。

Xが反射的である場合、条件は単純化されます。つまり、 Tが有界であり、 A が虚軸上に固有値を持たず、虚軸上に位置するAのスペクトルが可算である場合、 Tは強く安定です。

参照

• ヒレ・吉田定理
• ルーマー・フィリップスの定理
• トロッター・加藤定理
• 解析的半群
• 縮約（作用素理論）
• 行列指数
• 強連続演算子族
• 抽象微分方程式

注記

1. パーティントン（2004）23ページ
2. パーティントン（2004）24ページ
3. Pazy, A. (1983),線型作用素の半群と偏微分方程式への応用、ニューヨーク：Springer-Verlag、p. 2、ISBN 0-387-90845-5
4. Klaus-Jochen Engel (2006), A short course on operator semigroups (in German), New York, NY: Springer, pp. 20ff, ISBN 0-387-36619-9
5. Klaus-Jochen Engel (2006), A short course on operator semigroups (in German), New York, NY: Springer, p. 51, ISBN 0-387-36619-9
6. アーレントら。命題 3.1.2
7. アーレントら。定理 3.1.12
8. レナーディ, マイケル; ロジャース, ロバート C. (2004).偏微分方程式入門. 応用数学テキスト 13 (第2版). ニューヨーク: シュプリンガー出版社. p. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0。 MR  2028503
9. エンゲルとネーゲルの補題 II.4.22
10. エンゲルとナーゲル（図II.4.26）
11. エンゲルとナーゲル セクション V.1.b
12. エンゲルとナーゲルの定理 V.1.11
13. エンゲルとネーゲルの命題IV2.2
14. エンゲルとナーゲル セクション IV.2.7、ルオら 例 3.6
15. エンゲルとネーゲルの系4.3.11
16. アレント、ヴォルフガング; バティ、チャールズ (1988)、「タウバー定理と1パラメータ半群の安定性」、アメリカ数学会誌、306 (2): 837– 852、doi : 10.1090/S0002-9947-1988-0933321-3
17. Lyubich, Yu; Phong, Vu Quoc (1988)、「バナッハ空間における線型微分方程式の漸近安定性」、Studia Mathematica、88 (1): 37– 42、doi : 10.4064/sm-88-1-37-42

参考文献

• Hille, E. ; Phillips, RS (1975), 『関数解析と半群』（改訂版）, アメリカ数学会, OCLC  615131618
• カーテン、R.F .；ズワルト、H.J.（1995）『無限次元線形システム理論入門』シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-1-07-160588-2
• デイヴィス、EB（1980）、ワンパラメータ半群、LMSモノグラフ、アカデミックプレス、ISBN 0-12-206280-9
• エンゲル、クラウス・ヨッヘン；ナーゲル、ライナー（2000）、線形発展方程式の1パラメータ半群、シュプリンガー
• アーレント、ヴォルフガング。バティ、チャールズ。ヒーバー、マティアス。 Neubrander、Frank (2001)、ベクトル値ラプラス変換とコーシー問題、ビルクハウザー
• Staffans, Olof (2005), Well-posed linear systems , Cambridge University Press
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), 「無限次元システムの安定性と安定化とその応用」、Springer
• パーティントン、ジョナサン・R.（2004）「線形演算子と線形システム」、ロンドン数学会学生テキスト、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-54619-2

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