同次多項式

非零項がすべて同じ次数である多項式

数学において、同次多項式（こうじょうたにょり、英: homogeneous polynomial）とは、古い文献では量子多項式（quantic polynomial ）とも呼ばれ、すべての非零項の次数が等しい多項式である。^[1]例えば、は2変数の5次同次多項式であり、各項の指数の和は常に5である。この多項式は指数の和が各項で一致しないため、同次ではない。同次多項式によって定義される関数は常に同次関数である。 ${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$ ${\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+z^{7}}$

代数形式、または単に形式 は、同次多項式によって定義される関数です。 ^{[注 1]}二元形式は、2変数の形式です。また、形式 はベクトル空間上で定義される関数でもあり、任意の基底上の座標の同次関数として表すことができます。

0次の多項式は常に同次であり、係数の体または環の元に過ぎず、通常は定数またはスカラーと呼ばれます。1次の形式は線形形式です。^{[注 2]} 2次の形式は二次形式です。幾何学において、ユークリッド距離は二次形式の平方根です。

同次多項式は数学や物理学で広く用いられている。^{[注 3]}射影代数多様体は同次多項式の集合の共通零点の集合として定義されるため、同次多項式は代数幾何学において基本的な役割を果たしている。

プロパティ

同次多項式は同次関数を定義する。これは、多変数多項式 Pが次数dの同次である場合、

${\displaystyle P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots ,x_{n})\,,}$

Pの係数を含む任意の体において、任意の に対して成り立ちます。逆に、上記の関係が無限個に対して成り立つ場合、 多項式はd次同次多項式です。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

特に、Pが同次で あれば

${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=0,}$

あらゆる に対してこの性質は射影多様体の定義において基本的なものです。 ${\displaystyle \lambda .}$

任意の非ゼロ多項式は、異なる次数の同次多項式の和​​として一意に分解することができ、これを多項式の 同次成分と呼びます。

体上の多項式環 （または、より一般的には環）Kが与えられると、次数dの同次多項式はベクトル空間（またはモジュール）を形成し、一般に と表記されます。上記の一意の分解は、 が（すべての非負整数上の和）の直和であることを意味します。 ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle R_{d}.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{d}}$

ベクトル空間（または自由加群）の次元は、 n変数d次の単項式の異なる個数（つまり、n変数d次の斉次多項式における非零項の最大個数）である。これは二項係数に等しい。 ${\displaystyle R_{d}}$

${\displaystyle {\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.}$

同次多項式は同次関数に対するオイラーの恒等式を満たす 。つまり、Pが不定元において次数dの同次多項式である場合、係数の可換環が何であれ、 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$

${\displaystyle dP=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},}$

ここでPの形式偏微分を表す。 ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}}$ ${\displaystyle x_{i}.}$

均質化

非同次多項式P ( x ₁ ,..., x _n )は、追加の変数x ₀を導入し、同次多項式^h Pを定義することによって同次化することができる。^[2]

${\displaystyle {^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),}$

ここでdはPの次数である。例えば、

${\displaystyle P(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,}$

それから

${\displaystyle ^{h}\!P(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.}$

同次多項式は、追加変数x ₀ = 1を設定することで非同次化できます。つまり、

${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots ,x_{n}).}$

参照

• 多重同次多項式
• 準同次多項式
• 対角線形式
• 段階的代数
• ヒルベルト級数とヒルベルト多項式
• 多重線形形式
• 多重線形マップ
• 代数形式の分極
• シュール多項式
• 微分演算子の記号

注記

1. ただし、多項式とそれに関連する関数を明確に区別していない著者もいるため、同次多項式と形式という用語は同義語として扱われることがあります。
2. 線型形式は有限次元ベクトル空間に対してのみ定義されるため、あらゆるベクトル空間に対して定義される線型汎関数とは区別する必要がある。「線型汎関数」は有限次元ベクトル空間ではほとんど使用されない。
3. 物理学における同次多項式は、測定された量が現実世界の問題と一致しなければならない次元解析の結果として現れることが多い。

参考文献

1. Cox, David A. ; Little, John; O'Shea, Donal (2005). 代数幾何学の利用. 大学院数学テキスト. 第185巻（第2版）. Springer. p. 2. ISBN 978-0-387-20733-9。
2. コックス、リトル、オシェア 2005、35ページ

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズの同次多項式関連メディア
• ワイスタイン、エリック・W.「同次多項式」。MathWorld。

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