入力状態安定性

外部入力を伴う非線形制御システムの安定性の概念

入力状態安定性（ISS）^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]は、外部入力を持つ非線形}制御系の安定性を研究するために広く用いられている安定性の概念です。大まかに言えば、外部入力がない場合に大域的に漸近安定であり、かつ十分に大きな時間に対してその軌跡が入力の大きさの関数で制限される場合、制御系はISSです。ISSの重要性は、この概念が制御系コミュニティで広く用いられている 入出力法と状態空間法の間のギャップを埋めてきたという事実によるものです

ISSは、リアプノフ安定性理論と入出力安定性理論を統合し、非線形システムの安定化、ロバスト非線形オブザーバの設計、非線形相互接続制御システムの安定性、非線形検出可能性理論、そして監視適応制御に関する私たちの考え方に革命をもたらしました。これにより、ISSは非線形制御理論における支配的な安定性パラダイムとなり、ロボット工学、メカトロニクス、システム生物学、電気工学、航空宇宙工学など、多岐にわたる分野で応用されています。

ISSの概念は、1989年にエドゥアルド・ソンタグによって常微分方程式で記述されるシステムのために導入されました^。[7]

それ以来、この概念は偏微分方程式に従うシステム、遅延システム、ハイブリッドシステムなどを含む他の多くのクラスの制御システムにうまく適用されました。^[5]

定義

次の形式の時間不変常微分方程式系を考える

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u),\ x(t)\in \mathbb {R} ^{n},}$

1

ここで、はルベーグ可測で本質的に有界な外部入力であり、は第1引数に関してリプシッツ連続関数であり、第2引数に関して一様である。これにより、システム( 1 ) の唯一の絶対連続解が存在することが保証される ${\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$

ISSと関連する性質を定義するために、以下の比較関数のクラスを利用します。 を の連続増加関数の集合 で 、 を の 連続厳密減少関数の集合で表します。すると、 をすべての に対して、のすべての に対して、の関数として表すことができます。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \gamma (0)=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\gamma (r)=0}$ ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \beta (\cdot ,t)\in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \beta (r,\cdot )\in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle r>0}$

システム（１ ）は、対応するシステムがゼロ入力を持つ場合、ゼロで大域漸近安定（０−ＧＡＳ）と呼ばれる。

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,0),\ x(t)\in \mathbb {R} ^{n},}$

入力なし

は大域的に漸近安定であり、すなわち、すべての初期値 とすべての時間に対して、次の推定値が（WithoutInputs） の解に対して有効となるようなものが存在する。 ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t).}$

GAS推定

システム( 1 )は、関数が存在し 、 すべての初期値、すべての許容入力、およびすべての時間に対して、次の不等式が成り立つ 場合、入力状態安定(ISS)と呼ばれます ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\gamma (\|u\|_{\infty }).}$

2

上記の不等式の関数 はゲインと 呼ばれます ${\displaystyle \gamma }$

明らかに、ISSシステムは0-GAS安定かつBIBO安定です（出力をシステムの状態と等しくした場合）。逆の含意は一般には当てはまりません。

の場合には となることも証明できます。 ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }|u(t)|=0}$ ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }|x(t)|=0}$

入力から状態への安定性の特性

ISS を理解するには、他の安定性特性の観点から ISS を再述べることが非常に重要です。

システム（１）は、が存在し 、かつ、 ${\displaystyle \gamma ,\sigma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \forall x_{0}}$ ${\displaystyle \forall u}$ ${\displaystyle \forall t\geq 0}$

${\displaystyle |x(t)|\leq \sigma (|x_{0}|)+\gamma (\|u\|_{\infty }).}$

GS

システム( 1 )は、次が存在する場合 、漸近的ゲイン(AG)特性を満たす ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \forall x_{0}}$ ${\displaystyle \forall u}$

${\displaystyle \limsup _{t\to \infty }|x(t)|\leq \gamma (\|u\|_{\infty }).}$

AG

以下の文は、十分に正則な右辺^{[8]に対して同値である} ${\displaystyle f}$

1. （1）はISS

2. （1）はGSであり、AG特性を持つ

3. （1）は0-GASであり、AG特性を持つ

この結果の証明とISSの他の多くの特徴付けは論文^[8]と^[9]で見ることができます。 右辺の正則性に関する非常に緩い制約の下で有効であり、より一般的な無限次元システムに適用可能なISSの他の特徴付けは^{[10]で示されています。} ${\displaystyle f}$

ISS-リャプノフ関数

ISSの検証に重要なツールは、ISS-リャプノフ関数です

滑らかな関数は、( 1 )およびのときISS-リャプノフ関数と呼ばれる。 ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \alpha ,\chi \in {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle \psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

そして それは成り立ちます: ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle |x|\geq \chi (|u|)\ \Rightarrow \ \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),}$

この関数はリアプノフゲインと呼ばれます。 ${\displaystyle \chi }$

システム（１）に入力がない場合（すなわち、）最後の含意は条件 ${\displaystyle u\equiv 0}$

${\displaystyle \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),\ \forall x\neq 0,}$

これは、 が「古典的な」リャプノフ関数であることを示しています。 ${\displaystyle V}$

E.ソンタグとY.ワンによる重要な結果は、システム（1）がISSであるためには、それに対する滑らかなISS-リャプノフ関数が存在するということである。^[9]

例

あるシステムを考えてみましょう

${\displaystyle {\dot {x}}=-x^{3}+ux^{2}.}$

候補となるISS-リャプノフ関数を次のように 定義する。 ${\displaystyle V:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}x^{2},\quad \forall x\in \mathbb {R} .}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)=\nabla V\cdot (-x^{3}+ux^{2})=-x^{4}+ux^{3}.}$

リャプノフゲインを選択する ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi (r):={\frac {1}{1-\epsilon }}r}$。

すると、が成り立つことがわかります。 ${\displaystyle x,u:\ |x|\geq \chi (|u|)}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq -|x|^{4}+(1-\epsilon )|x|^{4}=-\epsilon |x|^{4}.}$

これは、 が、リャプノフゲインを持つ対象のシステムのISS-リャプノフ関数であることを示して います ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \chi }$

ISSシステムの相互接続

ISS フレームワークの主な機能の 1 つは、入力から状態までの安定したシステムの相互接続の安定性特性を研究できることです。

次式で表されるシステムを考える。

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}_{i}=f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},u),\\i=1,\ldots ,n.\end{array}}\right.}$

全体システム

ここで、、およびは、番目のサブシステムからの入力に関して一様リプシッツ連続です ${\displaystyle u\in L_{\infty }(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle x_{i}(t)\in \mathbb {R} ^{p_{i}}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$

( WholeSys )の -番目のサブシステムの場合、ISS-Lyapunov関数の定義は次のように記述できます。 ${\displaystyle i}$

滑らかな関数とは、関数、、 、および正定値関数が存在し、次の条件を満たす 場合、 ( WholeSys ) の 番目のサブシステムの ISS-Lyapunov 関数 (ISS-LF) です。 ${\displaystyle V_{i}:\mathbb {R} ^{p_{i}}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \psi _{i1},\psi _{i2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \chi _{ij},\chi _{i}\in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle j\neq i}$ ${\displaystyle \chi _{ii}:=0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle \psi _{i1}(|x_{i}|)\leq V_{i}(x_{i})\leq \psi _{i2}(|x_{i}|),\quad \forall x_{i}\in \mathbb {R} ^{p_{i}}}$

そしてそれは ${\displaystyle \forall x_{i}\in \mathbb {R} ^{p_{i}},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle V_{i}(x_{i})\geq \max\{\max _{j=1}^{n}\chi _{ij}(V_{j}(x_{j})),\chi _{i}(|u|)\}\ \Rightarrow \ \nabla V_{i}(x_{i})\cdot f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},u)\leq -\alpha _{i}(V_{i}(x_{i})).}$

カスケード相互接続

カスケード相互接続は、-番目のサブシステムのダイナミクスがサブシステムの状態に依存しない特殊なタイプの相互接続です。正式には、カスケード相互接続は次のように記述できます ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1,\ldots ,i-1}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}_{i}=f_{i}(x_{i},\ldots ,x_{n},u),\\i=1,\ldots ,n.\end{array}}\right.}$

上記システムのすべてのサブシステムがISSである場合、カスケード相互接続全体もISSである。^{[7] [4]}

ISSシステムのカスケード接続とは対照的に、0-GASシステムのカスケード接続は一般に0-GASではありません。次の例はこの事実を示しています。次に示すシステムを考えてみましょう。

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}=-x+yx^{2},\\{\dot {y}}=-y.\end{array}}\right.}$

Ex_GAS

この系の両方のサブシステムは0-GASですが、十分に大きな初期状態とある有限時間に対しては成り立ちます。 つまり、系（Ex_GAS）は有限の脱出時間を示し、したがって0-GASではありません ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle t^{*}}$ ${\displaystyle x(t)\to \infty }$ ${\displaystyle t\to t^{*}}$

フィードバック相互接続

サブシステムの相互接続構造は、内部リアプノフゲインによって特徴付けられます。相互接続（WholeSys ）がISSであるかどうかは、次のように定義される ゲイン演算子の特性に依存します ${\displaystyle \chi _{ij}}$ ${\displaystyle \Gamma :\mathbb {R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb {R} _{+}^{n}}$

${\displaystyle \Gamma (s):=\left(\max _{j=1}^{n}\chi _{1j}(s_{j}),\ldots ,\max _{j=1}^{n}\chi _{nj}(s_{j})\right),\ s\in \mathbb {R} _{+}^{n}.}$

以下の小ゲイン定理は、ISSシステムの相互接続におけるISSの十分条件を確立する。WholeSysの 番目のサブシステムに対するISS-リャプノフ関数を、対応するゲイン、とする。非線形小ゲイン条件が ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \chi _{ij}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle \Gamma (s)\not \geq s,\ \forall \ s\in \mathbb {R} _{+}^{n}\backslash \left\{0\right\}}$

SGC

が成立する場合、相互接続全体はISSです。^{[11] [12]}

スモールゲイン条件（SGC）は、 の各サイクル に対して のときのみ成立し（つまり、のすべての に対して成立し、 のすべての に対して成立する ）、 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle (k_{1},...,k_{p})\in \{1,...,n\}^{p}}$ ${\displaystyle k_{1}=k_{p}}$ ${\displaystyle s>0}$

${\displaystyle \gamma _{k_{1}k_{2}}\circ \gamma _{k_{2}k_{3}}\circ \ldots \circ \gamma _{k_{p-1}k_{p}}(s)<s.}$

この形式の小ゲイン条件は、巡回小ゲイン条件とも呼ばれます。

関連する安定性の概念

積分ISS (iISS)

システム( 1 )は、関数が存在し、 すべての初期値、すべての許容入力、およびすべての時間に対して、次の不等式が成り立つ場合、積分入力状態安定(ISS)と呼ばれます ${\displaystyle \alpha ,\gamma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle \alpha (|x(t)|)\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}\gamma (|u(s)|)ds.}$

3

ISSシステムとは対照的に、システムが積分ISSである場合、その軌道は有界入力に対しても有界にならない可能性があります。これを確かめるために、すべての場合についてを置き、を取ります。すると、推定値( 3 )は次の形になります ${\displaystyle \alpha (r)=\gamma (r)=r}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle u\equiv c=const}$

${\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}cds=\beta (|x_{0}|,t)+ct,}$

そして、右側の辺は として無限大に増大します 。 ${\displaystyle t\to \infty }$

ISS フレームワークと同様に、リャプノフ法は iISS 理論において中心的な役割を果たします。

滑らかな関数は、( 1 )のiISS-リャプノフ関数と呼ばれ、正定値関数は、次のようになります。 ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \chi \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

そして それは成り立ちます: ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle {\dot {V}}=\nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|)+\gamma (|u|).}$

D. Angeli、E. Sontag、Y. Wangによる重要な結果は、システム( 1 )が積分ISSであるためには、それに対するiISS-Lyapunov関数が存在するということである。

上記の式では、は正定値のみであると仮定されていることに注意してください。が のiISS-リャプノフ関数である場合、 は実際にはシステム( 1 )のISS-リャプノフ関数であることが^[13]で簡単に証明できます。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {K}}_{\infty }}$ ${\displaystyle V}$

これは特に、すべてのISSシステムが積分ISSであることを示しています。逆の含意は真ではありません。次の例が示すように。

${\displaystyle {\dot {x}}=-\arctan {x}+u.}$

このシステムはISSではない。なぜなら、十分に大きな入力に対しては軌道が非有界となるからである。しかし、これは積分ISSであり、iISS-リャプノフ関数は次のように定義される。 ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V(x)=x\arctan {x}.}$

局所ISS（LISS）

ISS特性の局所バージョンも重要な役割を果たします。定数と関数 が存在する場合、システム（1 ）は局所ISS（LISS）と呼ばれます ${\displaystyle \rho >0}$

${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$そして 、すべての、すべての許容入力とすべての時間に対して、 ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}:\;|x_{0}|\leq \rho }$ ${\displaystyle u:\|u\|_{\infty }\leq \rho }$ ${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\gamma (\|u\|_{\infty }).}$

4

興味深い観察結果は、0-GASがLISSを意味することです。^[14]

その他の安定性の概念

ISSに関連する安定性の概念は他にも多く導入されています。増分ISS、入力状態動的安定性（ISDS）^[15]、入力状態実用安定性（ISpS）、入力出力安定性（IOS）^[16]などです

時間遅延システムのISS

時間不変の時間遅延システムを考える

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(x^{t},u(t)),\quad t>0.}$

TDS

ここでは、時刻 におけるシステム ( TDS ) の状態が示されており、システム ( TDS ) の解の存在と一意性を保証するために特定の仮定を満たしています。 ${\displaystyle x^{t}\in C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x^{t}(\tau )=x(t+\tau ),\ \tau \in [-\theta ,0]}$ ${\displaystyle f:C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})\times \mathbb {R} ^{m}}$

システム（TDS）がISSである場合、関数とが存在し、すべての、すべての許容入力、すべてのに対して、次の式が成り立つ 場合のみ、 ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {KL}}}$ ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \xi \in C(\left[-\theta ,0\right],\mathbb {R} ^{N})}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle \left|x(t)\right|\leq \beta (\left\|\xi \right\|_{\left[-\theta ,0\right]},t)+\gamma (\left\|u\right\|_{\infty }).}$

ISS-TDS

時間遅れシステムのISS理論では、2つの異なるリアプノフ型十分条件が提案されています。ISSリアプノフ・ラズミキン関数^[17]とISSリアプノフ・クラソフスキー関数^[18]です。時間遅れシステムに関する逆リアプノフ定理については、^{[19]を参照してください}

他のクラスのシステムのISS

時間不変常微分方程式に基づくシステムの入力から状態への安定性は、かなり発展した理論であり、最近のモノグラフを参照のこと。^[6]しかし、他のクラスのシステムのISS理論も、時間変動ODEシステム^[20]やハイブリッドシステム^[21]に対して研究されている。^[22 ]最近、ISS概念の無限次元システムへの一般化も提案されている。^{[23] [24] [3] [25]}

外部リンク

ISSに関するセミナーとオンラインリソース

• オンラインセミナー：入力から状態への安定性とその応用
• ISSのYouTubeチャンネル

参考文献

1. エドゥアルド・D・ソンタグ著『数理制御理論：有限次元システム』シュプリンガー・フェアラーク、ロンドン、1998年
2. ハッサン・K・カリル「非線形システム」プレンティス・ホール、2002年。
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5. A. Mironchenko, Ch. Prieur. 無限次元システムの入力から状態への安定性：最近の成果と未解決の問題. SIAM Review, 62(3):529–614, 2020.
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8. Eduardo D. SontagとYuan Wang . 入力-状態安定性の新しい特徴づけ. IEEE Trans. Autom. Control, 41(9):1283–1294, 1996.
9. Eduardo D. SontagとYuan Wang . 入力状態安定性特性の特徴づけについて Archived 2013-07-03 at the Wayback Machine . Systems Control Lett., 24(5):351–359, 1995.
10. Andrii MironchenkoとFabian Wirth. 無限次元システムの入力-状態安定性の特性評価. IEEE Trans. Autom. Control, 63(6): 1602-1617, 2018.
11. Zhong-Ping Jiang, Iven MY Mareels, Yuan Wang . 相互接続されたISSシステムにおける非線形小ゲイン定理のLyapunov定式化. Automatica J. IFAC, 32(8):1211–1215, 1996.
12. Sergey Dashkovskiy, Björn S. Rüffer, Fabian R. Wirth. ISSシステムのネットワークに対するISSリアプノフ関数. 第17回国際ネットワークシステム数理理論シンポジウム(MTNS)論文集, 京都, 2006年7月24日～28日, 77～82ページ
13. Yuan Wang著「入力状態安定性特性の特徴づけについて」Systems Control Lett., 24(5):351–359, 1995の注釈2.4を参照
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