瞬間位相と周波数

ナヒンによれば、1922年にジョン・レンショー・カーソンは信号の瞬間周波数を「信号の位相角の時間微分」として定義しました。周波数変調において、瞬間周波数とは、音声トーン周波数において搬送周波数の上下に変化する周波数を表します。^[1]

瞬時位相と周波数は、信号処理において時間変動関数の表現と解析の文脈で重要な概念である。 ^[2]複素数値関数s ( t )の瞬時位相（局所位相または単に位相とも呼ばれる）は、実数値関数である。

\varphi (t)=\arg\{s(t)\},

ここで、argは複素引数関数です。瞬時周波数は瞬時位相の時間的変化率です。

実数値関数s ( t )の場合、関数の解析的表現sa ( t )から次のように決定される。_[ 3 ^]

{\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\arg\{s(t)+j{\hat {s}}(t)\},\end{aligned}}

ここではs ( t )のヒルベルト変換を表します。 ${\hat {s}}(t)$

φ ( t ) がその主値、すなわち区間 $(- π, π]$ または $[0, 2 π)$ に制約されている場合、それはラップ位相と呼ばれます。そうでない場合はアンラップ位相と呼ばれ、これはs _a ( t ) がtの連続関数であると仮定すると、偏角tの連続関数となります。特に断りのない限り、連続形式であると推論されます。

例

例1

s(t)=A\cos(\omega t+\theta ),

ここでω >0である。

{\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j(\omega t+\theta )},\\\varphi (t)&=\omega t+\theta .\end{aligned}}

この単純な正弦波の例では、定数θは一般に位相または位相オフセットとも呼ばれます。φ ( t ) は時間の関数ですが、θはそうではありません。次の例では、実数値正弦波の位相オフセットは、参照（sinまたはcos）が指定されない限り曖昧であることがわかります。φ ( t ) は明確に定義されています。

例2

s(t)=A\sin(\omega t)=A\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right),

ここでω >0である。

{\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},\\\varphi (t)&=\omega t-{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}

どちらの例においても、 s ( t )の極大値は、 Nが整数値の場合、 φ ( t ) = $2πNに対応する。これは$ コンピュータビジョンの分野で応用されている。

処方

瞬間角周波数は次のように定義されます。

\omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}},

瞬間（通常）周波数は次のように定義されます。

f(t)={\frac {1}{2\pi }}\omega (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}

ここで、 φ ( t ) はアンラップされた位相でなければなりません。そうでない場合、φ ( t ) がラップされると、φ ( t ) の不連続性により、 f ( t )にディラックデルタインパルスが発生します。

常に位相をアンラップする逆の操作は次のとおりです。

{\begin{aligned}\varphi (t)&=\int _{-\infty }^{t}\omega (\tau )\,d\tau =2\pi \int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\int _{-\infty }^{0}\omega (\tau )\,d\tau +\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau .\end{aligned}}

この瞬間周波数ω ( t )は、位相アンラッピングを考慮せずに、複素引数の代わりにsa ₍t )の実部と虚部から直接導き出すことができます。

{\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\operatorname {atan2} ({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)],{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])+2m_{1}\pi \\[4pt]&=\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)+m_{2}\pi \end{aligned}}

2 m ₁ $π$ とm ₂ $π は$ 、位相をアンラップするために必要な $π$ の整数倍である。時間tにおいて整数m ₂が変化しない場合、 φ ( t )の微分は

{\begin{aligned}\omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}}{({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}+({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}}}\\[3pt]&={\frac {1}{|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}}}\left({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{(s(t))^{2}+\left({\hat {s}}(t)\right)^{2}}}\left(s(t){\frac {d{\hat {s}}(t)}{dt}}-{\hat {s}}(t){\frac {ds(t)}{dt}}\right)\end{aligned}}

離散時間関数の場合、これは再帰として記述できます。

{\begin{aligned}\varphi [n]&=\varphi [n-1]+\omega [n]\\&=\varphi [n-1]+\underbrace {\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }[n-1]\}} _{\Delta \varphi [n]}\\&=\varphi [n-1]+\arg \left\{{\frac {s_{\mathrm {a} }[n]}{s_{\mathrm {a} }[n-1]}}\right\}\\\end{aligned}}

Δ φ [ n ] ≤ − $πの場合は2$ $π を$ 加算し、Δ φ [ n ] > $πの場合は2$ $π$ を減算することで、不連続性を除去することができます。これにより、φ [ n ] は無制限に累積し、アンラップされた瞬間位相が生成されます。2 $πを法とする演算を$ 複素乗算に置き換えた同等の定式化は次のとおりです。

\varphi [n]=\varphi [n-1]+\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\},

ここで、アスタリスクは複素共役を表す。離散時間瞬時周波数（単位はサンプルあたりのラジアン）は、単にそのサンプルにおける位相の進み具合を表す。

\omega [n]=\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\}.

複雑な表現

いくつかのアプリケーションでは、例えばいくつかの時点での位相の値を平均化する場合など、各値を複素数またはベクトル表現に変換すると便利な場合があります。^[4]

e^{i\varphi (t)}={\frac {s_{\mathrm {a} }(t)}{|s_{\mathrm {a} }(t)|}}=\cos(\varphi (t))+i\sin(\varphi (t)).

$この表現は、位相において2π$ の倍数を区別しないという点でラップ位相表現に似ていますが、連続である点でアンラップ位相表現に似ています。ベクトル平均位相は、ラップアラウンドを気にすることなく、複素数の和の引数として得ることができます。

参照

参考文献

^ ポール・ナヒン（2024年）『数学的無線：AM、FM、単側波帯の魔法の内側』プリンストン大学出版局、 210～ 213頁。ISBN 9780691235318。
^ Sejdic, E.; Djurovic, I.; Stankovic, L. (2008年8月). 「瞬時周波数推定器としてのスカログラムの定量的性能分析」. IEEE Transactions on Signal Processing . 56 (8): 3837– 3845. Bibcode :2008ITSP...56.3837S. doi :10.1109/TSP.2008.924856. ISSN 1053-587X. S2CID 16396084.
^ ブラックレッジ、ジョナサン・M. (2006).デジタル信号処理：数学的・計算的手法、ソフトウェア開発と応用（第2版）. Woodhead Publishing. p. 134. ISBN 1904275265。
^ Wang, S. (2014). 「改良された品質のガイド付き位相アンラッピング法とMRIへの応用」.電磁気学研究の進歩. 145 : 273–286 . doi : 10.2528/PIER14021005 .

さらに読む

コーエン、レオン（1995）「時間周波数分析」プレンティス・ホール。
Granlund; Knutsson (1995).コンピュータビジョンのための信号処理. Kluwer Academic Publishers.

[pn-1] ポール・ナヒン（2024年）『数学的無線：AM、FM、単側波帯の魔法の内側』プリンストン大学出版局、 210～ 213頁。ISBN 9780691235318。

[2] Sejdic, E.; Djurovic, I.; Stankovic, L. (2008年8月). 「瞬時周波数推定器としてのスカログラムの定量的性能分析」. IEEE Transactions on Signal Processing . 56 (8): 3837– 3845. Bibcode :2008ITSP...56.3837S. doi :10.1109/TSP.2008.924856. ISSN 1053-587X. S2CID 16396084.

[3] ブラックレッジ、ジョナサン・M. (2006).デジタル信号処理：数学的・計算的手法、ソフトウェア開発と応用（第2版）. Woodhead Publishing. p. 134. ISBN 1904275265。

[4] Wang, S. (2014). 「改良された品質のガイド付き位相アンラッピング法とMRIへの応用」.電磁気学研究の進歩. 145 : 273–286 . doi : 10.2528/PIER14021005 .