整数格子

数学において、 $n$ 次元整数格子（または立方格子）は、ユークリッド空間⁠ ⁠ $\mathbb {Z} ^{n}$ 内の格子点が $n$ 組の整数である格子である。2次元整数格子は、正方格子またはグリッド格子とも呼ばれる。⁠ ⁠はルート格子の最も単純な例である。整数格子は奇ユニモジュラー格子である。 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {Z} ^{n}$

自己同型群

整数格子の自己同型群（または合同群）は、座標のすべての順列と符号変換から成り、位数は2 n n !である。行列群^としては、すべてのn × n の符号付き順列行列の集合によって与えられる。この群は、半直積

(\mathbb {Z} _{2})^{n}\rtimes S_{n}

ここで対称群 S _{n は}置換によって( Z ₂ ) ⁿに作用する（これは花輪積の典型的な例である）。

正方格子の場合、これは正方の群、つまり 8 次二面体群です。3 次元の立方格子の場合、これは立方の群、つまり 48 次八面体群です。

ディオファントス幾何学

ディオファントス幾何学の研究では、整数座標を持つ点の正方格子はしばしばディオファントス平面と呼ばれます。数学的には、ディオファントス平面は整数環の直積です。ディオファントス図形の研究は、すべての対距離が整数となるようなディオファントス平面上のノードの選択に焦点を当てています。 $\scriptstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$

粗い形状

粗い幾何学では、整数格子はユークリッド空間とほぼ等価です。

ピックの定理

ピックの定理は、 1899年にゲオルク・アレクサンダー・ピックによって初めて説明され、すべての頂点が2次元整数格子上にある単純な多角形の面積を、その内部とその境界上の整数点の数に基づいて求める公式を提供します。^[1]

多角形の内部にある整数点の数をとし、境界上の整数点の数（頂点と辺に沿った点の両方を含む）をとします。この多角形の面積は^[2]です。図示の例には内部点と境界点があるため、面積は平方単位となります。 $i$ $b$ $A$ $A=i+{\frac {b}{2}}-1.$ $i=7$ $b=8$ $A=7+{\tfrac {8}{2}}-1=10$

参照

規則的なグリッド

参考文献

^ ピック、ゲオルグ(1899)。「幾何学模様」。プラハの Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen 「Lotos」。（ノイエ・フォルゲ）。19 : 311–319。JFM 33.0216.01 。シテバンク:47270
^ Aigner, Martin ; Ziegler, Günter M. (2018). 「オイラーの公式の3つの応用：ピックの定理」. 『THE BOOK』（第6版）からの証明. Springer. pp. 93– 94. doi :10.1007/978-3-662-57265-8. ISBN 978-3-662-57265-8。

さらに読む

オールズ, CD ;ラックス, アネリ;ダビドフ, ジュリアナ(2000). 『数の幾何学』 . 新数学図書館. 第41巻. アメリカ数学協会. ISBN 0-88385-643-3。

[pick-1] ピック、ゲオルグ(1899)。「幾何学模様」。プラハの Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen 「Lotos」。（ノイエ・フォルゲ）。19 : 311–319。JFM 33.0216.01 。シテバンク:47270

[az-2] Aigner, Martin ; Ziegler, Günter M. (2018). 「オイラーの公式の3つの応用：ピックの定理」. 『THE BOOK』（第6版）からの証明. Springer. pp. 93– 94. doi :10.1007/978-3-662-57265-8. ISBN 978-3-662-57265-8。