整数三角形

Triangle with integer side lengths

辺の長さがc、e、b  +  d、高さがaで、すべて整数であるヘロン三角形。

整数三角形または積分三角形とは、すべての辺の長さが整数である三角形です。有理三角形とは、すべての辺の長さが有理数である三角形です。有理三角形は、各辺の最小公分母で縮尺を変更することで、相似の整数三角形が得られるため、整数三角形と有理三角形の間には密接な関係があります。

有理三角形という用語には、他の定義が使われることもあります。カーマイケル (1914) とディクソン (1920) は、この用語をヘロン三角形(辺の長さと面積が整数または有理数である三角形) の意味で使用しています。^[1]コンウェイとガイ (1996) は、有理三角形を、有理数辺と度で測定された有理数角を持つ三角形と定義しています。そのような三角形は、有理数辺を持つ正三角形のみです。^[2]

整数三角形の一般的な性質

与えられた周囲長を持つ整数三角形

正の整数の任意の３つ組は、三角不等式 （最長の辺が他の２辺の合計より短い）を満たす限り、整数三角形の辺の長さとして使用できます。このような各３つ組は、合同 を除いて一意の整数三角形を定義します。したがって、 周囲がpである整数三角形の（合同 を除いて）数は、三角不等式を満たす 3 つの正の部分にpを分割した数です。これは、 pが偶数のときに に最も近い整数で、pが奇数のときに に最も近い整数です。^{[3] [4]}また、これは、偶数の周囲を持つ整数三角形の数が、奇数の周囲を持つ整数三角形の数と同じであることを意味します 。したがって、周囲が 1、2、または 4 の整数三角形はなく、周囲が 3、5、6、または 8 の整数三角形が 1 つ、周囲が 7 または 10 の整数三角形が 2 つ存在します。から始まる、周囲がpである整数三角形の数のシーケンスは次のとおりです。 ${\displaystyle p^{2}/48}$ ${\displaystyle (p+3)^{2}/48}$ ${\displaystyle p=2n}$ ${\displaystyle p=2n-3.}$ ${\displaystyle p=1,}$

0、0、1、0、1、1、2、1、3、2、4、3、5、4、7、5、8、7、10、8 ...（OEISのシーケンスA005044）

これをアルクイン配列といいます。

与えられた最大辺を持つ整数三角形

与えられた最大辺cと整数 3 組を持つ整数三角形の個数 (合同の場合を除く)は、かつとなる整数 3 組の数です。これは整数値^[3]あるいは、cが偶数の場合は 2 倍三角数、cが奇数の場合は2 乗三角数です。 これはまた、最大辺cを持つ整数三角形の個数が、最大辺c − 2を持つ整数三角形の数より c だけ多いことを意味します。 c = 1から始まる、最大辺cを持つ合同でない整数三角形の数の順序は次のとおり です。 ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle a+b>c}$ ${\displaystyle a\leq b\leq c.}$ ${\displaystyle \lceil {\tfrac {1}{2}}(c+1)\rceil \cdot \lfloor {\tfrac {1}{2}}(c+1)\rfloor .}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}c+1{\bigr )}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(c+1).}$

1、2、4、6、9、12、16、20、25、30、36、42、49、56、64、72、81、90 ...（OEISのシーケンスA002620）

直径cの半円上またはその内部にある、最大辺cと整数組 ( a ,  b ,  c )を持つ整数三角形（合同を除く）の数は、a  +  b  >  c  、  a ²  +  b ²  ≤  c ²、a  ≤  b  ≤  cを満たす整数組の数です。これは、最大辺cを持つ整数辺の鈍角三角形または直角三角形（鋭角ではない三角形）の数でもあります。 c = 1から始まる数列は 次のとおりです。

0、0、1、1、3、4、5、7、10、13、15、17、22、25、30、33、38、42、48 ...（OEISのシーケンスA236384）

したがって、上記の2つの数列の差は、与えられた最大辺cを持つ鋭角整数辺三角形の数（合同を除く）を与えます。c  = 1から始まる数列は次のとおりです。

1、2、3、5、6、8、11、13、15、17、21、25、27、31、34、39、43、48、52 ...（OEISの配列A247588）

整数三角形の面積

ヘロンの公式によれば、Tが長さa、b、cの辺を持つ三角形の面積である場合、

${\displaystyle 4T={\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}.}$

式の右側の根号の下の項はすべて整数なので、すべての整数三角形は16T ²が整数でなければならず、T ^{2 は}有理数になります。

整数三角形の角度

余弦定理によれば、整数三角形のすべての角は有理数余弦を持ちます。また、整数直角三角形のすべての角は有理数正弦を持ちます（ピタゴラス数列を参照）。

どの三角形の角度も等差数列を形成する場合、その角度の 1 つは 60° でなければなりません。^[5]整数三角形の場合、残りの角度も有理数数列 を持つ必要があり、そのような三角形を生成する方法は以下で示されます。ただし、正三角形という自明なケースを除けば、角度が等比数列または調和数列のいずれかを形成する整数三角形は存在しません。これは、そのような角度が有理数 の形の有理数角でなければならないためです。ただし、整数三角形のすべての角度は有理数数列 を持つ必要があり、これは^{[6] : p.2}、つまり整数三角形が正三角形である場合にのみ発生します。 ${\displaystyle \pi p/q}$ ${\displaystyle 0<p/q<1.}$ ${\displaystyle p/q=1/3.}$

整数三角形の各内角の二等分線の平方は有理数です。これは、角Aの内角の二等分線の一般的な三角形の公式が、s を半周長としたときの式であるためです(他の角の二等分線についても同様です)。 ${\textstyle 2{\sqrt {bcs(s-a)}}{\big /}(b+c)}$

高度によって分割された側面

頂点から反対側の辺またはその延長線上に下げた高さは、その辺またはその延長線を有理数の長さに分割します。

中央値

整数三角形の任意の中線の2 倍の 2 乗は整数です。これは、辺aの 2 乗中線m _a ²の一般的な公式が となり、(2 m _a ) ²  = 2 b ²  + 2 c ²  −  a ²となるためです(他の辺の中線についても同様です)。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}$

外接半径と内接半径

整数三角形の面積の 2 乗は有理数なので、その外接半径の 2 乗も有理数であり、内接半径の 2 乗も有理数です。

整数三角形の内接円半径と外接円半径の比は有理数であり、半周sと面積Tは等しくなります。 ${\displaystyle 4T^{2}/sabc}$

整数三角形の内接円半径と外接円半径の積は有理数であり、 ${\displaystyle abc{\big /}2(a+b+c).}$

したがって、オイラーの定理により、整数三角形の内心と外心の間の距離の 2 乗は有理数であると与えられます。 ${\displaystyle R^{2}-2Rr}$

ヘロン三角形

ヘロン三角形は、ヘロン三角形またはヒーロー三角形とも呼ばれ、辺の長さと面積が整数の三角形です。

すべてのヘロン三角形は、各頂点が格子点にある格子上に配置できます。 ^[7]さらに、整数三角形が各頂点が格子点にある格子上に配置できる場合、その三角形はヘロン三角形でなければなりません。

一般式

^{すべてのヘロンの三角形の辺の長さは[8]}に比例する。

${\displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=mn(m+n)}$

${\displaystyle {\text{Area}}=mnk(m+n)(mn-k^{2})}$

整数m、n、kに対して、次の制約が適用されます。

${\displaystyle \gcd {(m,n,k)}=1}$

${\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}$

${\displaystyle m\geq n\geq 1.}$

比例係数は一般に有理数で、q = gcd ( a、b、c ) は生成されたヘロン三角形をそのプリミティブに縮小し、このプリミティブを必要なサイズに拡大します。 ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle p}$

ピタゴラスの三角形

ピタゴラス三角形は直角でヘロン三角形である。その3つの整数辺はピタゴラス三辺形、ピタゴラス三重項、ピタゴラス三角錐と呼ばれる。^[9]斜辺を持つ すべてのピタゴラス三辺形は、原始的（共通因数を持たない）であり、次のように生成できる。 ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\,}$

${\displaystyle b=2mn,\,}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2},\,}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=m(m+n)\,}$

${\displaystyle {\text{Area}}=mn(m^{2}-n^{2})\,}$

ここで、mとnは互いに素な整数であり、そのうちの 1 つは偶数で、m  >  nとなります。

2より大きいすべての偶数はピタゴラス三角形の脚になることができます（必ずしも原始的ではありません）。なぜなら、脚が で与えられ、もう一方の脚として を選択した場合、斜辺は となるからです。^[10]これは本質的に、 を1に設定し、の範囲を2から無限大に 設定した上記の生成式です。 ${\displaystyle a=2m}$ ${\displaystyle b=(a/2)^{2}-1=m^{2}-1}$ ${\displaystyle c=m^{2}+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

斜辺からの高度が整数であるピタゴラス三角形

斜辺からの高さが整数である原始ピタゴラス三角形は存在しません。これは、面積の2倍が、任意の底辺と対応する高さの積に等しいためです。したがって、面積の2倍はabとcdの両方に等しくなります。ここで、 dは斜辺cからの高さです。原始三角形の3辺の長さは互いに素であるため、 は完全約分形になります。原始ピタゴラス三角形ではcが1に等しくなることはなく、dは整数にはなり得ません。 ${\displaystyle d=ab/c}$

しかし、任意のピタゴラス三角形（辺x、  y、斜辺z ）は、斜辺zの長さだけ辺を拡大することで、高さが整数のピタゴラス三角形を生成することができる。高さをdとすると、生成される高さが整数のピタゴラス三角形は^[11]で与えられる。

${\displaystyle (a,b,c,d)=(xz,yz,z^{2},xy).\,}$

その結果、a ²  +  b ²  = c ²とを満たす、辺がaとb、斜辺がc 、斜辺からの整数の高さdを持つすべてのピタゴラス三角形は、 ^{[12] [11]}によって生成される。 ${\displaystyle \gcd(a,b,c,d)=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{a^{2}}}+{\tfrac {1}{b^{2}}}={\tfrac {1}{d^{2}}}}$

${\displaystyle a=(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2}),\,}$

${\displaystyle b=2mn(m^{2}+n^{2}),\,}$

${\displaystyle c=(m^{2}+n^{2})^{2},\,}$

${\displaystyle d=2mn(m^{2}-n^{2}),\,}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=m(m+n)(m^{2}+n^{2})\,}$

${\displaystyle {\text{Area}}=mn(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})^{2}\,}$

互いに素な整数m、n（m  >  n ）の場合。

等差数列の辺を持つヘロン三角形

整数辺と整数面積を持つ三角形の辺が等差数列となるのは、 ^[13]辺が ( b - d , b , b + d ) である場合のみであり、

${\displaystyle b=2(m^{2}+3n^{2})/g,}$

${\displaystyle d=(m^{2}-3n^{2})/g,}$

ここで gは最大公約数であり、 ${\displaystyle m^{2}-3n^{2},}$ ${\displaystyle 2mn,}$ ${\displaystyle m^{2}+3n^{2}.}$

一つの角度が他の角度の2倍に等しいヘロン三角形

B = 2 Aのヘロン三角形はすべて[ ^14]によって生成される。

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(s^{2}+r^{2})^{2},\\[5mu]b&={\tfrac {1}{2}}k^{2}(s^{4}-r^{4}),\\[5mu]c&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(3s^{4}-10s^{2}r^{2}+3r^{4}),\\[5mu]{\text{Area}}&={\tfrac {1}{2}}k^{2}csr(s^{2}-r^{2}),\end{aligned}}}$

整数k、s、rで、または ${\displaystyle s^{2}>3r^{2},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{4}}q^{2}(u^{2}+v^{2})^{2},\\[5mu]b&=q^{2}uv(u^{2}+v^{2}),\\[5mu]c&={\tfrac {1}{4}}q^{2}(14u^{2}v^{2}-u^{4}-v^{4}),\\[5mu]{\text{Area}}&={\tfrac {1}{2}}q^{2}cuv(v^{2}-u^{2}),\end{aligned}}}$

整数q、u、vであって、 ${\displaystyle v>u}$ ${\displaystyle v^{2}<(7+4{\sqrt {3}})u^{2}.}$

B = 2 Aのヘロン三角形は、二等辺三角形や直角三角形ではありません。これは、結果として生じるすべての角度の組み合わせで非有理正弦を持つ角度が生成され、面積や辺が非有理になるためです。

二等辺ヘロン三角形

すべての二等辺ヘロン三角形は分解可能である。二等辺ヘロン三角形は、合同な2つのピタゴラス三角形を、それらの共通辺のいずれかに沿って接合することによって形成される。二等辺三角形の等しい辺はピタゴラス三角形の斜辺となり、二等辺三角形の底辺はもう一方のピタゴラス三角形の2倍となる。したがって、接合はどちらの辺に沿ってもよいため、すべてのピタゴラス三角形は2つの二等辺ヘロン三角形の構成要素となる。すべての二等辺ヘロン三角形のペアは、以下の辺の長さの有理倍で与えられる。^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2(u^{2}-v^{2}),&\quad \quad a&=4uv,\\b&=u^{2}+v^{2},&\quad \quad b&=u^{2}+v^{2},\\c&=u^{2}+v^{2},&\quad \quad c&=u^{2}+v^{2},\\{\text{Area}}&=2uv(u^{2}-v^{2}),\end{aligned}}}$

互いに素な整数で、パリティが反対であるおよびの場合、 となります。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u>v}$

周囲が素数の4倍であるヘロン三角形

ヘロン三角形の周囲長が素数の4倍であるものは、その素数と一意に結びついており、その素数はと合同、または を法として成り立つことが示されている。^{[16] [17]}このような素数は整数と に一意に分割できることはよく知られている（オイラーのイドネール数 を参照）。さらに、このようなヘロン三角形は、三角形の最小の辺がその周囲長の4分の1である素数と等しくなければならないため、原始三角形であることが示されている。 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p=m^{2}+2n^{2}}$

その結果、周囲が素数の4倍であるすべての原始ヘロン三角形は、

${\displaystyle a=m^{2}+2n^{2}}$

${\displaystyle b=m^{2}+4n^{2}}$

${\displaystyle c=2(m^{2}+n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=2a=2(m^{2}+2n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Area}}=2mn(m^{2}+2n^{2})}$

が素数である整数など。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m^{2}+2n^{2}}$

さらに、面積の因数分解は であり、は素数です。しかし、ヘロン三角形の面積は常に で割り切れます。このことから、 と のときを除いて、との他のすべての組み合わせは奇数であり、そのうち で割り切れるのは 1 つだけです。 ${\displaystyle 2mnp}$ ${\displaystyle p=m^{2}+2n^{2}}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle p=3,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 3}$

有理角二等分線を持つヘロン三角形

ヘロン三角形において、角 の二等分線、角 の二等分線、および角 の二等分線が3辺と有理数関係にある場合、 だけでなく、もヘロン角でなければなりません。つまり、角 と が両方ともヘロン角である場合、 の補角である もヘロン角でなければなりません。したがって、3つの角の二等分線はすべて有理数です。これは、次の式を掛け算すれば明らかです。 ${\displaystyle w_{a}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle w_{b}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle w_{c}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\beta }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\beta }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha +{\tfrac {1}{2}}\beta }$

${\displaystyle w_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)}}\cdot {\sqrt {bc}}}{b+c}}\quad w_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-b)}}\cdot {\sqrt {ac}}}{a+c}}\quad w_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-c)}}\cdot {\sqrt {ab}}}{a+b}}}$

一緒に。つまり、これを通じて次のものが得られる。

${\displaystyle w_{a}\cdot w_{b}\cdot w_{c}={\frac {8s\cdot J\cdot a\cdot b\cdot c}{(a+b)(a+c)(b+c)}},}$

ここで、 は半周、 は三角形の面積を表します。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle J}$

有理角二等分線を持つヘロン三角形のすべての相似類は^{[18]によって生成される。}

${\displaystyle a=mn(p^{2}+q^{2})}$

${\displaystyle b=pq(m^{2}+n^{2})}$

${\displaystyle c=(mq+np)(mp-nq)}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=s=(a+b+c)/2=mp(mq+np)}$

${\displaystyle s-a=mq(mp-nq)}$

${\displaystyle s-b=np(mp-nq)}$

${\displaystyle s-c=nq(mq+np)}$

${\displaystyle {\text{Area}}=J=mnpq(mq+np)(mp-nq)}$

どこにそのようなものがあるか ${\displaystyle m,n,p,q}$

${\displaystyle m=t^{2}-u^{2}}$

${\displaystyle n=2tu}$

${\displaystyle p=v^{2}-w^{2}}$

${\displaystyle q=2vw}$

ここで、任意の整数は ${\displaystyle t,u,v,w}$

${\displaystyle t}$そして互いに素である、 ${\displaystyle u}$

${\displaystyle v}$そして互いに素です。 ${\displaystyle w}$

整数の内接円と外接円を持つヘロン三角形

内接円と外接円の半径が整数であるような、分解可能な原始ヘロン三角形（非ピタゴラス三角形）は無限個存在し、また、分解不可能な原始ヘロン三角形（非ピタゴラス三角形）も無限個存在する。^{[19] : 定理3と定理4}分解可能な三角形の族は次のように与えられる。

${\displaystyle a=4n^{2}}$

${\displaystyle b=(2n+1)(2n^{2}-2n+1)}$

${\displaystyle c=(2n-1)(2n^{2}+2n+1)}$

${\displaystyle r=2n-1}$

${\displaystyle r_{a}=2n+1}$

${\displaystyle r_{b}=2n^{2}}$

${\displaystyle r_{c}={\text{Area}}=2n^{2}(2n-1)(2n+1);}$

そして、分解不可能なものの族は次のように与えられる。

${\displaystyle a=5(5n^{2}+n-1)}$

${\displaystyle b=(5n+3)(5n^{2}-4n+1)}$

${\displaystyle c=(5n-2)(5n^{2}+6n+2)}$

${\displaystyle r=5n-2}$

${\displaystyle r_{a}=5n+3}$

${\displaystyle r_{b}=5n^{2}+n-1}$

${\displaystyle r_{c}={\text{Area}}=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1).}$

ヘロン三角形を四面体の面として

整数値の体積を持つ四面体や、ヘロン三角形を面とする四面体が存在する。例えば、1辺の長さが896、対辺の長さが190、残りの4辺の長さが1073である。2つの面の面積は436800、残りの2つの面の面積は47120であるが、体積は62092800である。^{[9] : p.107}

2次元格子内のヘロン三角形

2次元格子は、孤立した点の規則的な配列であり、ある一点をデカルト座標の原点(0, 0)とすると、他のすべての点は( x, y )に位置し、 xとyはすべての正負の整数の範囲にある。格子三角形とは、2次元格子内に描かれ、すべての頂点が格子点上に位置する三角形である。ピックの定理によれば、格子三角形の面積は整数または半整数（分母が2）である。格子三角形の辺が整数であれば、面積は整数のヘロン三角形となる。^[20]

さらに、すべてのヘロン三角形は格子三角形として描くことができることが証明されている。^{[21] [22]}したがって、整数三角形がヘロン三角形であるためには、格子三角形として描くことができる必要がある。

すべての頂点、内心、そして3つの外心すべてが格子点となる整数格子上に配置できる原始ヘロン三角形（非ピタゴラス三角形）は無数に存在する。そのような三角形の2つの族は、上記#整数の内径と外径を持つヘロン三角形で示したパラメータ化を持つ三角形である。^{[19] : Thm. 5}

整数自動中位三角形

自動中線三角形とは、中線が辺と同じ比率（逆の順序）になっている三角形のことです。x 、 y 、 zを直角三角形の3辺とし、大きさの昇順に並べ、2 x  <  zとすると、z、x  +  y、y  −  xが自動中線三角形の3辺となります。例えば、辺の長さが5、12、13の直角三角形は、この方法で、辺の長さが13、17、7である最小の非自明な（すなわち、非正三角形である）整数自動中線三角形を形成することができます。^[23]

その結果、原始ピタゴラス三角形を生成するユークリッドの公式を用いて、次のように原始整数自動中位三角形を生成することができる。

${\displaystyle a=|m^{2}-2mn-n^{2}|}$

${\displaystyle b=m^{2}+2mn-n^{2}}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}$

は互いに素かつ奇数であり、 （絶対値符号  内の量が負の場合）または  （その量が正の場合）三角不等式を満たします。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle n<m<n{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle m>(2+{\sqrt {3}})n}$

自動中位三角形の重要な特徴は、その辺の平方が等差数列を形成することである。具体的には、 ${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}-c^{2}}$ ${\displaystyle 2c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$

特定の角度特性を持つ整数三角形

有理角二等分線を持つ整数三角形

整数辺を持ち、角Aの有理二等分線を持つ三角形族は^[24]で与えられる。 ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle a=2(k^{2}-m^{2}),}$

${\displaystyle b=(k-m)^{2},}$

${\displaystyle c=(k+m)^{2},}$

${\displaystyle d={\frac {2km(k^{2}-m^{2})}{k^{2}+m^{2}}},}$

整数で。 ${\displaystyle k>m>0}$

整数三角形と整数n-あらゆる角度のセクター

３辺と３角のそれぞれの二等分線が整数である非相似三角形は無限に存在する。 ^[25]

３辺と３角それぞれの２つの三等分線が整数である非相似三角形は無限に存在する。^[25]

しかし、n > 3の場合には、3辺と3つの角度のそれぞれの( n  -1) n扇形が整数となる三角形は存在しない。 ^[25]

与えられた有理余弦を持つ1つの角度を持つ整数三角形

頂点Aの1つの角が与えられた有理数余弦h / k（h < 0または> 0; k > 0）を持つ整数三角形は^[26]で与えられる。

${\displaystyle a=p^{2}-2pqh+q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle b=p^{2}-q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle c=2qk(p-qh),}$

ここで、 pとqは互いに素な正の整数で、p > qkを満たす。すべての原始解は、 a、b、c をそれらの最大公約数で割ることによって得られる。

60°の角度を持つ整数三角形（等差数列の角度）

60°の角を持つすべての整数三角形の角度は等差数列になっている。このような三角形はすべて、以下の値に比例する。^[5]

${\displaystyle a=4mn,}$

${\displaystyle b=3m^{2}+n^{2},}$

${\displaystyle c=2mn+|3m^{2}-n^{2}|}$

互いに素な整数m、n 、および 1 ≤  n  ≤  mまたは 3 m  ≤  n 。ここから、すべての原始解はa、b、c をそれらの最大公約数で割ることによって得られます。

^{60°の角度を持つ整数三角形は、 [27]}によっても生成できる。

${\displaystyle a=m^{2}-mn+n^{2},}$

${\displaystyle b=2mn-n^{2},}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

互いに素な整数m、n は0 <  n  <  mである（60°の角度は長さaの辺と反対である）。ここから、すべての原始解はa、b、c を最大公約数で割ることで得られる（例えば、正三角形の解はm = 2、n = 1とすることで得られるが、これはa = b = c = 3 となり、原始解ではない）。 ^{[28] [29]}も参照のこと。

より正確には、 ならば、そうでなければ です。2つの異なるペアと は同じトリプルを生成します。残念ながら、2つのペアのGCDがどちらも3になる場合があるため、そのケースを単にスキップするだけでは重複を避けることはできません。代わりに、までだけ進むことで重複を回避できます。GCDが3の場合は、やはり3で割る必要があります。上記の制約下でを解く唯一の方法は、 の場合です。この追加の制約により、すべてのトリプルを一意に生成できます。 ${\displaystyle m\equiv -n\!{\pmod {3}}}$ ${\displaystyle \gcd(a,b,c)=3}$ ${\displaystyle \gcd(a,b,c)=1}$ ${\displaystyle (m,n)}$ ${\displaystyle (m,m-n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m/2}$ ${\displaystyle n=m/2}$ ${\displaystyle (3,3,3)\equiv (1,1,1)}$ ${\displaystyle m=2,n=1}$ ${\displaystyle n\leq m/2}$

アイゼンシュタイン トリプルは、角度の 1 つが 60 度である三角形の辺の長さである整数の集合です。

120°の角度を持つ整数三角形

^{120°の角度を持つ整数三角形は[30]}によって生成できる。

${\displaystyle a=m^{2}+mn+n^{2},}$

${\displaystyle b=2mn+n^{2},}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

互いに素な整数m、  n （ 0 <  n  <  m ）である（120°の角度は長さaの辺と反対である）。ここから、すべての原始解はa、b、c を最大公約数で割ることで得られる。最小の解は、 m = 2 かつn = 1 の場合、辺が (3, 5, 7) の三角形である。^{[28] [29]も参照のこと。}

より正確には、 ならば、そうでなければ です。最大辺a は単一のペアでしか生成できないため、各プリミティブトリプルは正確に2つの方法で生成できます。1つは最大公約数が1の直接的な方法、もう1つは最大公約数が3の間接的な方法です。したがって、すべてのプリミティブトリプルを一意に生成するには、追加の条件を追加するだけで済みます。^[要出典] ${\displaystyle m\equiv n\!{\pmod {3}}}$ ${\displaystyle \gcd(a,b,c)=3}$ ${\displaystyle \gcd(a,b,c)=1}$ ${\displaystyle (m,n)}$ ${\displaystyle m\not \equiv n\!{\pmod {3}}}$

1つの角度が任意の有理数と別の角度の積に等しい整数三角形

互いに素な正の整数hとkに対して、次の辺を持つ三角形は角、、 を持ち、したがって2つの角の比はh  : kとなり、その辺は整数である: ^[31] ${\displaystyle h\alpha }$ ${\displaystyle k\alpha }$ ${\displaystyle \pi -(h+k)\alpha }$

${\displaystyle a=q^{h+k-1}{\frac {\sin h\alpha }{\sin \alpha }}=q^{k}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {h-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h}{2i+1}}p^{h-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle b=q^{h+k-1}{\frac {\sin k\alpha }{\sin \alpha }}=q^{h}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {k}{2i+1}}p^{k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle c=q^{h+k-1}{\frac {\sin(h+k)\alpha }{\sin \alpha }}=\sum _{0\leq i\leq {\frac {h+k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h+k}{2i+1}}p^{h+k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

ここで、pとqは互いに素な整数です。 ${\displaystyle \alpha =\cos ^{-1}\!{\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{h+k}}<{\frac {p}{q}}<1}$

一つの角度が他の角度の2倍に等しい整数三角形

対辺が角A、対辺が角Bの三角形は、B  = 2 Aとなる三角形がいくつか生成される。^[32] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a=n^{2},}$

${\displaystyle b=mn,}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

整数m、nは 0 <  n  <  m  < 2 nとなる。

B  = 2 A（整数かどうかに関わらず）となるすべての三角形は^{[33]を満たす。} ${\displaystyle a(a+c)=b^{2}.}$

一つの角度が他の角度の3/2倍に等しい整数三角形

相似三角形の同値類は^[32]によって生成される。 ${\displaystyle B={\tfrac {3}{2}}A}$

${\displaystyle a=mn^{3},}$

${\displaystyle b=n^{2}(m^{2}-n^{2}),}$

${\displaystyle c=(m^{2}-n^{2})^{2}-m^{2}n^{2},}$

となる整数で、は黄金比です。 ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle 0<\varphi n<m<2n}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}\approx 1.61803}$

（辺の長さが整数かどうかに関わらず）すべての三角形は ${\displaystyle B={\tfrac {3}{2}}A}$ ${\displaystyle (b^{2}-a^{2})(b^{2}-a^{2}+bc)=a^{2}c^{2}.}$

一つの角度を別の角度の3倍した整数三角形

B  = 3 Aを満たす相似三角形の同値類は、 式^[34]を使って生成できる。

${\displaystyle a=n^{3},\,}$

${\displaystyle b=n(m^{2}-n^{2}),\,}$

${\displaystyle c=m(m^{2}-2n^{2}),\,}$

ここで、および は となる整数です。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}n<m<2n}$

B = 3 Aとなるすべての三角形（辺が整数かどうかに関係なく）は、 ${\displaystyle ac^{2}=(b-a)^{2}(b+a).}$

3つの有理角を持つ整数三角形

3 つの有理角（有理数度、またはそれと同等の 1 回転の有理分数）を持つ唯一の整数三角形は、正三角形です。^[2]これは、余弦定理により整数の辺は 3 つの有理余弦を意味し、ニーヴンの定理により、有理余弦が有理角と一致するのは、余弦が 0、±1/2、または ±1 に等しい場合のみです。これらのうち、角度が厳密に 0° から 180° の間になるのは、角度 60° で余弦値 1/2、角度 120° で余弦値 –1/2、および角度 90° で余弦値 0 のみです。これらのうちの 3 つを複数使用して合計が 180° になる唯一の組み合わせは、角度 60° が 3 つある場合です。

内接円半径と外接円半径の比が整数である整数三角形

楕円曲線の観点から見ると、整数三角形の外接円と内接円の比が整数Nとなる条件は既知である。^{[35] [36]}最小のケースである正三角形ではN = 2である。既知のすべてのケースにおいて、つまりは8で割り切れる。 ${\displaystyle N\equiv 2\!{\pmod {8}}}$ ${\displaystyle N-2}$

5コン三角形ペア

5-Con三角形のペアは、相似だが合同ではなく、3つの角度と2つの辺の長さを共有する三角形のペアです。4つの異なる整数辺（両方の三角形にそれぞれ2辺、各三角形にもう1辺）が素因数を共有しない原始整数5-Con三角形は、辺の3つを持ちます。

${\displaystyle (x^{3},x^{2}y,xy^{2})}$そして ${\displaystyle (x^{2}y,xy^{2},y^{3})}$

互いに素な正の整数xとyについて。最小の例は、 x = 2、y = 3のときに生成される (8, 12, 18)、(12, 18, 27) のペアです。

特定の整数三角形

• 辺と面積が連続する整数を持つ三角形は、辺が (3, 4, 5) で面積が 6 の三角形のみです。
• 高さと辺が連続する整数である三角形は、辺が (13, 14, 15) で、辺 14 からの高さが 12 になる三角形のみです。
• (2, 3, 4)三角形とその倍数は、等差数列の整数辺を持ち、補外角の性質を持つ唯一の三角形である。^{[37] [38] [39]} この性質は、角Cが鈍角で、角Bから線分を落とし、それをPで延長してACと垂直に交わらせると、∠CAB=2∠CBPとなることを意味している。
• （3, 4, 5）三角形とその倍数は、等差数列の辺を持つ唯一の整数直角三角形である。^[39]
• (4, 5, 6)三角形とその倍数は、ある角度が他の角度の2倍であり、等差数列で辺が整数である唯一の三角形です。^[39]
• （3, 5, 7）三角形とその倍数は、120°の角度を持ち、等差数列で整数の辺を持つ唯一の三角形である。^[39]
• 面積=半周長である唯一の整数三角形^[40]は辺が(3, 4, 5)です。
• 面積 = 周長となる整数三角形は、辺の長さが^{[40] [41]} (5, 12, 13)、(6, 8, 10)、(6, 25, 29)、(7, 15, 20)、(9, 10, 17) の4辺のみです。これらの三角形のうち、最初の2辺は直角三角形ですが、最後の3辺は直角三角形ではありません。
• 3つの有理中線を持つ整数三角形が存在する。^{[9] : p. 64} 最小の三角形の辺の長さは(68, 85, 87)である。他には(127, 131, 158)、(113, 243, 290)、(145, 207, 328)、(327, 386, 409)などがある。
• ピタゴラス三角形には二等辺三角形は存在しない。^[15]
• 周囲の二乗が面積の整数倍となる原始ピタゴラス三角形は、周囲が12で面積が6で周囲の二乗と面積の比が24である三角形（3, 4, 5）、周囲が30で面積が30で周囲の二乗と面積の比が30である三角形（5, 12, 13）、そして周囲が90で面積が180で周囲の二乗と面積の比が45である三角形（9, 40, 41）のみである。^[42]
• 同じ周長と面積を持つ有理直角三角形と有理二等辺三角形のペアは、（相似性を除いて）唯一つしか存在しない。この唯一のペアは、（377, 135, 352）三角形と（366, 366, 132）三角形である。^[43] 三角形が原始整三角形でなければならないとすれば、そのような三角形のペアは存在しない。^[43]著者らは、2番目の主張は初等的な議論によって証明できる（付録Aで証明している）のに対し、1番目の主張には現代の高度に非自明な数学が必要であるという驚くべき事実を強調している。

参照

• ブラフマグプタ三角形、辺の長さが連続する整数であるヘロン三角形
• ロビンスの五角形、整数の辺と整数の面積を持つ循環五角形
• オイラーブリック、整数辺と整数面対角線を持つ直方体
• 四面体 § 整数四面体

参考文献

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