積分要素

可換代数において、可換環Bの元bがBの部分環A上で整式であるとは、bがA上のある単項多項式の根であることを意味する。^[1]

A、B が体である場合、「上の積分」および「上の積分拡大」の概念は、まさに体論における「上の代数的」および「の代数拡大」です（任意の多項式の根は、単項多項式の根であるため）。

数論において最も興味深いケースは、複素数をZ上で積分するケース（例えば、または）である。この場合、積分元は通常、代数的整数と呼ばれる。有理数体Qの有限拡大体kの代数的整数はkの部分環を形成し、これはkの整数環と呼ばれ、代数的数論における中心的な研究対象である。 ${\sqrt {2}}$ $1+i$

この記事では、環という用語は、乗法単位元を持つ可換環を意味するものと理解されます。

意味

を環とし、をの部分環とする。の元がに対して整式であるとは、あるに対してが存在し、 $B$ $A\subset B$ $B.$ $b$ $B$ $A$ $n\geq 1,$ $a_{0},\ a_{1},\ \dots ,\ a_{n-1}$ $A$ $b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0.$

の元のうち上整であるものの集合はにおけるの整閉包と呼ばれる。の任意の部分環の整閉包はそれ自体がの部分環であり、を含む。のすべての元が上整であればは上整である、あるいははの整拡大であるという。 $B$ $A$ $A$ $B.$ $A$ $B$ $B$ $A.$ $B$ $A,$ $B$ $A$ $B$ $A.$

例

代数的整数論における積分閉包

積分閉包の例は代数体拡大（または）の整数環を定義する上で基本的なものであるため、代数的整数論には数多く存在します。 $K/\mathbb {Q}$ $L/\mathbb {Q} _{p}$

有理数における整数の積分閉包

Qの元のうち、 Z上で整式となるのは整数だけです。言い換えれば、ZはQにおけるZの整閉包です。

二次拡張

ガウス整数はの形の複素数であり、Z上で整列している。はZのにおける整閉包である。通常、この環はと表記される。 $a+b{\sqrt {-1}},\,a,b\in \mathbf {Z}$ $\mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}]$ $\mathbf {Q} ({\sqrt {-1}})$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [i]}$

Zの整閉環は環である $\mathbf {Q} ({\sqrt {5}})$

{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}=\mathbb {Z} \!\left[{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right]

この例と前の例は、二次整数の例です。二次拡大の積分閉包は、任意の元の最小多項式を構成し、その多項式が整数係数を持つための数論的基準を見つけることで見つけることができます。この解析は、二次拡大の記事に記載されています。 $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ $a+b{\sqrt {d}}$

団結の根源

ζを単位根とする。すると、円分体Q (ζ)におけるZの整閉包はZ [ζ]である。^{[2]これは、}最小多項式とアイゼンシュタインの判定法を用いて求めることができる。

代数的整数環

複素数体CにおけるZの整閉包、または代数的閉包は代数的整数の環と呼ばれます。 ${\overline {\mathbb {Q} }}$

他の

任意の環における単位根、冪等元、べき等元はZ上で整式である。

代数幾何学における積分閉包

幾何学において、積分閉包は正規化や正規スキームと密接に関連しています。これは、余次元1の特異点を解決するための手順を与えるため、特異点解決の第一歩となります。

例えば、の整閉包は環である。なぜなら、幾何学的には、最初の環は-平面と-平面の和に対応するからである。それらは -軸に沿って交差し、余次元1の特異点を持つ。 $\mathbb {C} [x,y,z]/(xy)$ $\mathbb {C} [x,z]\times \mathbb {C} [y,z]$ $xz$ $yz$ $z$
有限群 G が 環Aに作用するとする。このとき、AはGによって固定された元の集合A ^G上整である。不変量環を参照。
Rを環とし、uをRを含む環の単位とします。すると^[3]

u ^−1がR 上で積分となるのは、 u ⁻¹ ∈ R [ u ]の場合のみである。
$R[u]\cap R[u^{-1}]$ はR上で積分です。
正規射影多様体Xの同次座標環の整閉包は切断環である^[4]

\bigoplus _{n\geq 0}\operatorname {H} ^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n)).

代数における整数性

が体kの代数閉包である場合、は ${\overline {k}}$ ${\overline {k}}[x_{1},\dots ,x_{n}]$ $k[x_{1},\dots ,x_{n}].$
C (( x ))の有限拡大におけるC [[ x ]]の整閉包は次の形式をとる（ピュイズー級数を参照）^[^要出典^] $\mathbf {C} [[x^{1/n}]]$

同等の定義

B を環とし、A をBの部分環とする。Bの元bが与えられたとき、以下の条件は同値である。

(i) bはA上で整列している。

(ii) Aとbによって生成されるBの部分環A [ b ]は有限生成 A 加群である。

(iii) A [ b ]を含むBの部分環Cが存在し、これは有限生成A -加群である。

(iv)忠実な A [ b ]-加群Mが存在し、MはA-加群として有限生成される。

この証明は通常、行列式に関するケーリー・ハミルトン定理の次の変形を使用します。

定理u をn個の元によって生成されるA加群Mの準同型とし、I をAのイデアルでとなるものとしよう。このとき、次の関係式が成立する。

u(M)\subset IM

u^{n}+a_{1}u^{n-1}+\cdots +a_{n-1}u+a_{n}=0,\,a_{i}\in I^{i}.

この定理（I = Aかつuをbで乗算）は (iv) ⇒ (i) を与え、残りは容易である。偶然にも、中山の補題もこの定理から直接導かれる。

基本的な性質

整数閉包はリングを形成する

上記4つの同値な記述から、上で整であるの元の集合はを含むの部分環を形成することがわかります。(証明: x、yが上で整であるの元であれば、は上で整です。なぜなら、は上の有限生成加群であり、はゼロによってのみ消滅するからです。) ^[5]この環はにおけるの整閉包と呼ばれます。 $B$ $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $x+y,xy,-x$ $A$ $A[x]A[y]$ $A$ $A$ $B$

整数性の推移性

上記の同値性のもう一つの帰結は、「整数性」が以下の意味で推移的であるということです。をとを含む環とします。が上で整数かつ上で整数であるならば、は上で整数です。特に、自身が上で整数かつが上で整数であるならば、も上で整数です。 $C$ $B$ $c\in C$ $c$ $B$ $B$ $A$ $c$ $A$ $C$ $B$ $B$ $A$ $C$ $A$

分数体で閉じた積分

がにおけるの整閉包である場合、A はにおいて整閉であると言われる。がの分数体環である場合（例えば、が整域であるときの分数体）、「における」という修飾語を省略し、単に「の整閉包でありは整閉である」と言うことがある。^[6]例えば、整数環は体において整閉である。 $A$ $A$ $B$ $B$ $B$ $A$ $A$ $B$ $A$ $A$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$

整閉領域を持つ整閉包の推移性

A を分数体Kを含む整域とし、A' をKの代数体拡大LにおけるAの整閉包とする。このとき、 A'の分数体L はLである。特に、A'は整閉域である。

代数的数論における推移性

この状況は、代数的整数論において整数環と体拡大を関連付ける際に適用可能である。特に、体拡大が与えられた場合、におけるの整閉包は整数環となる。 $L/K$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $L$ ${\mathcal {O}}_{L}$

備考

上記の整数性の推移性は、が上で整数である場合、は有限生成 - 加群である部分環の和集合 (帰納的極限と同等)であることを意味することに注意してください。 $B$ $A$ $B$ $A$

がネーターである場合、整数の推移性は次のように弱められる。 $A$

を含むの有限生成サブモジュールが存在する。

A

B

A[b]

有限性条件との関係

最後に、がの部分環であるという仮定は少し修正できる。が環準同型であるならば、が上で整であるならばは整数であると言える。同様に、は有限（有限生成-加群）あるいは有限型（有限生成-代数）であると言える。この観点から、 $A$ $B$ $f:A\to B$ $f$ $B$ $f(A)$ $f$ $B$ $A$ $B$ $A$

f

は、整数かつ有限型である場合に限り有限です。

f

もっと明確に言えば、

B

が有限生成 - 加群である場合、かつその場合のみ、は上を有限個の要素が整列することによって - 代数として生成される。

A

B

A

A

積分拡張

コーエン・ザイデンベルクの定理

整拡大A ⊆ B は、上昇性、覆いかぶさる性質、および比較不可能性（コーエン・ザイデンベルクの定理）を持つ。明示的には、 Aの素イデアルの連鎖が与えられたとき、Bに（上昇かつ覆いかぶさる）を満たすa が存在し、包含関係を持つ2つの異なる素イデアルは同じ素イデアルに縮約できない（比較不可能）。特に、AとBのクルル次元は同じである。さらに、A が整閉領域である場合、下降性（下記参照）が成立する。 ${\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}$ ${\mathfrak {p}}'_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}'_{n}$ ${\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}'_{i}\cap A$

一般的に、「上がる」ということは「横になる」ことを意味します。^[7]そのため、以下では「上がる」と「横になる」の両方の意味で単に「上がる」と言います。

AとBが A上整となるような領域である場合、Aが体となることと、 Bが体となることは同値である。系として、Bの素イデアルが与えられたとき、がBの極大イデアルとなることと、がAの極大イデアルとなることは同値である。別の系として、L / Kが代数的拡大である場合、 Kを含むLの任意の部分環は体となる。 ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {q}}\cap A$

アプリケーション

Bを部分環A上の整環とし、kを代数閉体とする。が準同型ならば、fは準同型B → kに拡張される。^[8]これは上述から導かれる。 $f:A\to k$

上昇の幾何学的解釈

を環の整拡大とする。すると誘導写像 $f:A\to B$

{\begin{cases}f^{\#}:\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A\\p\mapsto f^{-1}(p)\end{cases}}

は閉写像である。実際、任意のイデアルIに対して、fが単射ならばは射影的である。これは上向き写像の幾何学的解釈である。 $f^{\#}(V(I))=V(f^{-1}(I))$ $f^{\#}$

積分拡張の幾何学的解釈

B を環とし、A をノイザン整閉領域（すなわち、正規スキーム）である部分環とする。BがA上整であるならば、は沈み込み可能となる。すなわち、の位相は商位相となる。^{[9]証明には}構成可能集合の概念を用いる。（参照：トルソー（代数幾何学）） $\operatorname {Spec} A$ $\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A$ $\operatorname {Spec} A$

整数性、基底変化、普遍閉性、幾何学

が上整であるとき、任意のA代数Rに対してはR上整である。^[10]特に、は閉じている。すなわち、積分拡大は「普遍的に閉じた」写像を誘導する。これは、積分拡大の幾何学的特徴付けにつながる。すなわち、B を有限個の極小素イデアル（例えば、積分領域またはノイザン環）のみを持つ環とする。すると、B が（部分環）A上整であるための必要十分条件は、が任意のA代数Rに対して閉じている場合である。^[11]特に、すべての適切な写像は普遍的に閉じている。^[12] $B$ $A$ $B\otimes _{A}R$ $\operatorname {Spec} (B\otimes _{A}R)\to \operatorname {Spec} R$ $\operatorname {Spec} (B\otimes _{A}R)\to \operatorname {Spec} R$

整閉領域の整拡大上のガロア作用

命題。Aを分数体Kを持つ整閉領域とし、LをKの有限正規拡大とし、B をLにおけるAの整閉包とする。このとき、群はの各ファイバーに推移的に作用する。

G=\operatorname {Gal} (L/K)

\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A

証明。Gの任意のに対してと仮定する。すると、素数回避により、任意のに対してとなる元xが存在する。Gは元を固定するため、y はK上で純粋に分離不可能となる。すると、 Kには何らかのべき乗が属する。Aは整閉なので、次が成り立つ。したがって、はには属するがには属さないことが分かった。つまり、である。 ${\mathfrak {p}}_{2}\neq \sigma ({\mathfrak {p}}_{1})$ $\sigma$ ${\mathfrak {p}}_{2}$ $\sigma (x)\not \in {\mathfrak {p}}_{1}$ $\sigma$ $y=\prod \nolimits _{\sigma }\sigma (x)$ $y^{e}$ $y^{e}\in A.$ $y^{e}$ ${\mathfrak {p}}_{2}\cap A$ ${\mathfrak {p}}_{1}\cap A$ ${\mathfrak {p}}_{1}\cap A\neq {\mathfrak {p}}_{2}\cap A$

代数的数論への応用

ガロア群は、固定された素イデアルの上にあるすべての素イデアルに作用する。^[13]つまり、 $\operatorname {Gal} (L/K)$ ${\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})$ ${\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$

{\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\subset {\mathcal {O}}_{L}

とすると、集合上にガロア作用が存在する。これはガロア拡大における素イデアルの分割と呼ばれる。 $S_{\mathfrak {p}}=\{{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\}$

備考

証明における同じ考え方は、が純粋に分離不可能な拡大（正規である必要はない）である場合、は全単射であることを示しています。 $L/K$ $\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A$

A、Kなどを前と同じように扱いますが、LはKの有限体拡大のみであると仮定します。すると

(i)は有限の繊維を持つ。

\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A

(ii) AとBの間には下降が成立する。が与えられている場合、それに収縮するが存在する。

{\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'_{n}\cap A

{\mathfrak {p}}'_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}'_{n}

実際、どちらの記述においても、L を拡大することにより、 Lが正規拡張であると仮定できます。すると (i) は直ちに成立します。(ii) に関しては、上向きに展開することで、に縮約する連鎖を見つけることができます。推移性により、が存在し、が目的の連鎖です。 ${\mathfrak {p}}''_{i}$ ${\mathfrak {p}}'_{i}$ $\sigma \in G$ $\sigma ({\mathfrak {p}}''_{n})={\mathfrak {p}}'_{n}$ ${\mathfrak {p}}'_{i}=\sigma ({\mathfrak {p}}''_{i})$

積分閉鎖

A ⊂ Bを環とし、A'をBにおけるAの整閉包とする。(定義については上記を参照。)

整閉包は様々な構成の下で良好に振舞う。具体的には、Aの乗法的に閉部分集合 Sに対して、局所化S ⁻¹A'はS ⁻¹BにおけるS ⁻¹Aの整閉包であり、はにおけるの整閉包である。^[14]が環の部分環である場合、におけるの整閉包はであり、はにおけるの整閉包である。^[15] $A'[t]$ $A[t]$ $B[t]$ $A_{i}$ $B_{i},1\leq i\leq n$ $\prod A_{i}$ $\prod B_{i}$ $\prod {A_{i}}'$ ${A_{i}}'$ $A_{i}$ $B_{i}$

たとえば、Bにおける局所環 Aの整閉包は、必ずしも局所的である必要はありません。(局所的である場合、その環は単枝環と呼ばれます。) これは、例えばAがヘンゼル体であり、B がAの分数体の体拡大である場合に当てはまります。

A が体Kの部分環である場合、 KにおけるAの整閉包は、Aを含むKのすべての付値環の交差です。

A を-次数環Bの-次数部分環とする。すると、 AのBにおける整閉包はBの - 次数部分環となる。^[16] $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$

イデアルの整閉包という概念もある。イデアルの整閉包は、通常と表記され、単項多項式が存在するようなすべての元の集合である。 $I\subset R$ ${\overline {I}}$ $r\in R$

x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x^{1}+a_{n}

を根として持つ。 ^[17]^[18]イデアルの根号は整閉である。^[19]^[20] $a_{i}\in I^{i}$ $r$

ネーター環の場合、別の定義も存在します。

$r\in {\overline {I}}$ 任意の最小素数に含まれないが存在し、すべてのに対してが成り立つとします。 $c\in R$ $cr^{n}\in I^{n}$ $n\geq 1$
$r\in {\overline {I}}$ Iの正規化された爆発において、 rの引き戻しがIの逆像に含まれる場合。イデアルの爆発とは、与えられたイデアルを主イデアルに置き換えるスキームの操作である。スキームの正規化とは、単にそのすべての環の整閉包に対応するスキームである。

イデアルの整閉包の概念は、下降定理のいくつかの証明で使用されます。

導体

B を環とし、AをBの部分環として、 BがA上整となるようなものとする。このとき、A加群B / Aの消滅子はBにおけるAの導手と呼ばれる。この概念は代数的整数論に由来するため、導手はと表記される。明示的には、となるAの元aから構成される。（抽象代数のイデアル化を参照。）これは、 BのイデアルでもあるAの最大のイデアルである。^[21]S がAの乗法的に閉部分集合である場合、 ${\mathfrak {f}}={\mathfrak {f}}(B/A)$ ${\mathfrak {f}}$ $aB\subset A$

S^{-1}{\mathfrak {f}}(B/A)={\mathfrak {f}}(S^{-1}B/S^{-1}A)

。

BがAの分数環の部分環である場合、

{\mathfrak {f}}(B/A)=\operatorname {Hom} _{A}(B,A)

。

例: k を体とし、（すなわち、Aをアフィン曲線の座標環とする）とする。BはAのにおける整閉包である。BにおけるAの伝導体はイデアルである。より一般に、、a、bが互いに素であるの伝導体はである。^[22] $A=k[t^{2},t^{3}]\subset B=k[t]$ $x^{2}=y^{3}$ $k(t)$ $(t^{2},t^{3})A$ $A=k[[t^{a},t^{b}]]$ $(t^{c},t^{c+1},\dots )A$ $c=(a-1)(b-1)$

B がAの分数体における整域Aの整閉包であり、 A加群が有限生成であるとする。このとき、 Aの導手はの台を定義するイデアルである。したがって、A はにおけるの補集合においてBと一致する。特に、の補集合である集合は開集合である。 $B/A$ ${\mathfrak {f}}$ $B/A$ $V({\mathfrak {f}})$ $\operatorname {Spec} A$ $\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\mid A_{\mathfrak {p}}{\text{ is integrally closed}}\}$ $V({\mathfrak {f}})$

積分閉包の有限性

有限生成代数の積分閉包の有限性は、重要かつ難しい問題である。いくつかの既知の結果がある。

分数体の有限拡大におけるデデキント領域の整閉包はデデキント領域、特にネーター環である。これはクルル・秋月の定理の帰結である。一般に、高々2次元のネーター領域の整閉包はネーターである。永田は、その整閉包がネーターではない3次元のネーター領域の例を示した。^[23]より適切な表現は、ネーター領域の整閉包はクルル領域である（森・永田の定理）。永田はまた、その領域上では積分閉包が有限ではない1次元のネーター局所領域の例を示した。^[要出典]

A を分数体Kを持つノイザン整閉領域とする。L / K が有限可分拡大ならば、LにおけるA の整閉は有限生成A加群となる。 [ ^24]これは簡単で標準的な方法である（トレースが非退化双線型形式を定義するという事実を利用する）。 $A'$

A を、分数Kの体を持つ整域である体k上の有限生成代数とする。Lが K の有限拡大であれば、LにおけるAの整閉包は有限生成A加群であり、有限生成k代数でもある。^[25]この結果は Noether によるもので、次のようにNoether の正規化補題を使って示すことができる。L / K が分離可能または純粋に分離不可能な場合の主張を示すだけで十分であることは明らかである。分離可能な場合は上で述べたので、 L / K は純粋に分離不可能であると仮定する。正規化補題により、Aは多項式環上で積分である。L / Kは有限の純粋に分離不可能な拡大であるため、Lのすべての要素がKの要素のq乗根となるような素数のq乗が存在する。を、 Lを生成する有限個の有理関数の係数のq乗根すべてを含むkの有限拡大とします。すると、次が成り立ちます。右辺の環はの分数体であり、これはSの整閉包です。したがって、はを含みます。したがって、はS上有限であり、ましてやA上有限です。 k をZに置き換えても、結果は変わりません。 $A'$ $S=k[x_{1},...,x_{d}]$ $k'$ $L\subset k'(x_{1}^{1/q},...,x_{d}^{1/q}).$ $k'[x_{1}^{1/q},...,x_{d}^{1/q}]$ $A'$ $A'$

Aの分数体の有限拡大における完全局所ネーター領域Aの整閉包はA上で有限である。^[26]より正確には、局所ネーター環Rに対して、次の含意の連鎖が成り立つ。^[27]

(i)完全なAは永田環である

\Rightarrow

(ii) Aは永田領域であり、A は解析的に不分岐であり、完備化の整閉包はA上で有限であり、Aの整閉包はA 上で有限である。

\Rightarrow

\Rightarrow

{\widehat {A}}

{\widehat {A}}

\Rightarrow

ネーターの正規化補題

ノイマンの正規化補題は可換代数における定理である。体Kと有限生成K代数Aが与えられたとき、 Aの元y ₁ , y ₂ , ..., y _mがK上で代数的に独立であり、かつAがB = K [ y ₁ ,..., y _m ]上で有限（したがって整）であるようなものを見つけることが可能であることを定理とする。したがって、拡大K ⊂ Aは合成K ⊂ B ⊂ Aと表すことができる。ここでK ⊂ Bは純粋超越的拡大であり、B ⊂ Aは有限である。^[28]

整射

代数幾何学において、スキームの射が整射であるとは、それがアフィンであり、かつYのある（同値な）アフィン開被覆に対して、すべての写像がAが整B -代数であるような形であることを意味する。整射のクラスは有限射のクラスよりも一般である。なぜなら、多くの場合、ある体の体上の代数閉包のように、有限ではない整拡大が存在するからである。 $f:X\to Y$ $U_{i}$ $f^{-1}(U_{i})\to U_{i}$ $\operatorname {Spec} (A)\to \operatorname {Spec} (B)$

絶対積分閉包

A を整域とし、Aの分数体の（ある）代数閉包をLとする。このとき、 LにおけるAの整閉包はAの絶対整閉包と呼ばれる。^[29]これは非標準同型を除いて一意である。代数的整数全体の環はその一例である（したがって、典型的にはノイザンではない）。 $A^{+}$ $A^{+}$

参照

注記

^ 上記の方程式は積分方程式と呼ばれることもあり、b はAに積分的従属であると言われます(代数的従属とは対照的です)。
^ ミルン 2020、定理6.4
^ Kaplansky 1974, 1.2. 演習4.
^ ハーツホーン 1977、第2章、演習5.14
^ この証明はデデキント（ミルン、ANT）によるものです。あるいは、対称多項式を用いて整数元が環を形成することを示すこともできます。（同上）
^ Huneke & Swanson 2006の第2章
^ カプランスキー 1974、定理42
^ Bourbaki 2006、第5章、§2、定理1の系4。
^ 松村 1970、第2章定理7
^ ブルバキ 2006、第 5 章、§1、命題 5
^ アティヤ＆マクドナルド 1994、第5章演習35
^ 「セクション32.14 (05JW): 普遍閉射—スタックスプロジェクト」. stacks.math.columbia.edu . 2020年5月11日閲覧。
^ スタイン. 代数的数論の計算入門(PDF) . p. 101.
^ アティヤとマクドナルドでの演習 1994
^ ブルバキ 2006、第 5 章、§1、命題 9
^ 証明: がn次同次な環準同型であるとする。におけるの整閉包はであり、はBにおけるAの整閉包である。 Bにおけるb がA上で整であるならば、は上で整である。すなわち、はにおいて整である。つまり、の各係数はAに属する。 $\phi :B\to B[t]$ $\phi (b_{n})=b_{n}t^{n}$ $b_{n}$ $A[t]$ $B[t]$ $A'[t]$ $A'$ $\phi (b)$ $A[t]$ $A'[t]$ $b_{n}$ $\phi (b)$
^ アイゼンバッド 1995 の演習 4.14
^ Huneke & Swanson 2006の定義1.1.1
^ アイゼンバッド 1995 の演習 4.15
^ Huneke & Swanson 2006の注釈1.1.3
^ Huneke & Swanson 2006の第12章
^ Huneke & Swanson 2006、例12.2.1
^ Huneke & Swanson 2006、演習4.9
^ アティヤ & マクドナルド 1994、第 5 章。命題 5.17
^ ハーツホーン 1977、第1章定理3.9 A
^ Huneke & Swanson 2006、定理4.3.4
^ 松村 1970、第12章
^ リード第4章。
^ メルビン・ホックスター、数学 711: 2007 年 9 月 7 日の講義

参考文献

アティヤ、マイケル・フランシス、マクドナルド、イアン・G. (1994) [1969].可換代数入門. アディソン・ウェズレー. ISBN 0-201-40751-5。
ブルバキ、ニコラス(2006)。代数可換。ベルリン：シュプリンガー。ISBN 978-3-540-33937-3。
アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）、代数幾何学に向けた可換代数、Graduate Texts in Mathematics、第150巻、Springer-Verlag、ISBN 0-387-94268-8
カプランスキー、アーヴィング（1974年9月）『可換環』『数学講義』シカゴ大学出版局、ISBN 0-226-42454-5。
ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR 0463157
松村浩 (1970)可換代数
松村秀夫著「可換環論」。M .リード訳。第2版。ケンブリッジ高等数学研究、8。
ミルン, JS (2020年7月19日). 「代数的数論」
Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Integral closure of ideals, rings, and modules, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 336, Cambridge, UK: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-68860-4, MR 2266432, 2019年11月15日にオリジナルからアーカイブ, 2011年3月1日取得
M. Reid、「学部生向け可換代数」、ロンドン数学会、29、ケンブリッジ大学出版局、1995年。

さらに読む

イレーナ・スワンソン「イデアルと環の整閉包」 2011年11月5日アーカイブ、Wayback Machine
DG 代数には積分閉包の合理的な概念がありますか?
k [ x 1 , … , x n {\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}} は常に正規列の整拡張となるか？] $k[f_{1},\ldots ,f_{n}]$ $(f_{1},\ldots ,f_{n})$

[1] 上記の方程式は積分方程式と呼ばれることもあり、b はAに積分的従属であると言われます(代数的従属とは対照的です)。

[2] ミルン 2020、定理6.4

[3] Kaplansky 1974, 1.2. 演習4.

[4] ハーツホーン 1977、第2章、演習5.14

[5] この証明はデデキント（ミルン、ANT）によるものです。あるいは、対称多項式を用いて整数元が環を形成することを示すこともできます。（同上）

[6] Huneke & Swanson 2006の第2章

[7] カプランスキー 1974、定理42

[8] Bourbaki 2006、第5章、§2、定理1の系4。

[9] 松村 1970、第2章定理7

[10] ブルバキ 2006、第 5 章、§1、命題 5

[11] アティヤ＆マクドナルド 1994、第5章演習35

[12] 「セクション32.14 (05JW): 普遍閉射—スタックスプロジェクト」. stacks.math.columbia.edu . 2020年5月11日閲覧。

[13] スタイン. 代数的数論の計算入門(PDF) . p. 101.

[14] アティヤとマクドナルドでの演習 1994

[15] ブルバキ 2006、第 5 章、§1、命題 9

[16] 証明: がn次同次な環準同型であるとする。におけるの整閉包はであり、はBにおけるAの整閉包である。 Bにおけるb がA上で整であるならば、は上で整である。すなわち、はにおいて整である。つまり、の各係数はAに属する。 $\phi :B\to B[t]$ $\phi (b_{n})=b_{n}t^{n}$ $b_{n}$ $A[t]$ $B[t]$ $A'[t]$ $A'$ $\phi (b)$ $A[t]$ $A'[t]$ $b_{n}$ $\phi (b)$

[17] アイゼンバッド 1995 の演習 4.14

[18] Huneke & Swanson 2006の定義1.1.1

[19] アイゼンバッド 1995 の演習 4.15

[20] Huneke & Swanson 2006の注釈1.1.3

[21] Huneke & Swanson 2006の第12章

[22] Huneke & Swanson 2006、例12.2.1

[23] Huneke & Swanson 2006、演習4.9

[24] アティヤ & マクドナルド 1994、第 5 章。命題 5.17

[25] ハーツホーン 1977、第1章定理3.9 A

[26] Huneke & Swanson 2006、定理4.3.4

[27] 松村 1970、第12章

[28] リード第4章。

[29] メルビン・ホックスター、数学 711: 2007 年 9 月 7 日の講義