交差点番号

Generalized notion of counting curve intersections

数学、特に代数幾何学において、交差数は、 2本の曲線が交差する回数を数えるという直感的な概念を、高次元、多重（2本以上）の曲線、そして接線性を適切に考慮する概念へと一般化します。ベズーの定理のような結果を述べるためには、交差数の定義が必要です。

平面におけるx軸とy軸の交点など、特定のケースでは交点は明らかであり、交点は1つであるべきです。複雑なのは、接点における交点や、点ではなく高次元の交点を計算する場合です。例えば、平面が直線に沿って曲面に接している場合、その直線に沿った交点は少なくとも2つである必要があります。これらの問題は、交点理論において体系的に議論されています。

リーマン面の定義

X をリーマン面とする。すると、 X上の2つの閉曲線の交差数は、積分を用いて簡単に定義できる。X上の任意の 閉曲線c（すなわち滑らかな関数）に対して、cのポアンカレ双対であるコンパクト台形の微分形式を、 cに沿った積分がX上の積分によって計算できるという性質と関連付けることができる。 ${\displaystyle c:S^{1}\to X}$ ${\displaystyle \eta _{c}}$

${\displaystyle \int _{c}\alpha =-\iint _{X}\alpha \wedge \eta _{c}=(\alpha ,*\eta _{c})}$、 X上のすべての閉(1-)微分に対して、 ${\displaystyle \alpha }$

ここで、 は微分積のウェッジ積、 はホッジスターである。すると、 X上の2つの閉曲線aとbの交点は次のように定義される 。 ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle *}$

${\displaystyle a\cdot b:=\iint _{X}\eta _{a}\wedge \eta _{b}=(\eta _{a},-*\eta _{b})=-\int _{b}\eta _{a}}$。

は次のように直感的に定義できます。曲線cに沿った一種のディラックデルタであり、 cを横切って 1 から 0 に下がる単位ステップ関数の微分によって実現されます。より正式には、まずX上の単純な閉曲線cに対して、関数f _cを定義します。これは、 cの周りに環状の小さな帯を と置くことによって行われます。 の左辺と右辺を、 と名付けます。次に、 c の周りに小さな帯を 、 と置き、その左辺と右辺を 、 と置きます。そして、f c_をで 定義します。 ${\displaystyle \eta _{c}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega \setminus c}$ ${\displaystyle \Omega ^{+}}$ ${\displaystyle \Omega ^{-}}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle \Omega _{0}^{-}}$ ${\displaystyle \Omega _{0}^{+}}$

${\displaystyle f_{c}(x)={\begin{cases}1,&x\in \Omega _{0}^{-}\\0,&x\in X\setminus \Omega ^{-}\\{\mbox{smooth interpolation}},&x\in \Omega ^{-}\setminus \Omega _{0}^{-}\end{cases}}}$。

この定義は任意の閉曲線に拡張される。X上の任意の閉曲線cは、いくつかの単純閉曲線c _iと相同である。つまり、 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}k_{i}c_{i}}$

${\displaystyle \int _{c}\omega =\int _{\sum _{i}k_{i}c_{i}}\omega =\sum _{i=1}^{N}k_{i}\int _{c_{i}}\omega }$、すべての微分に対して。 ${\displaystyle \omega }$

定義する ${\displaystyle \eta _{c}}$

${\displaystyle \eta _{c}=\sum _{i=1}^{N}k_{i}\eta _{c_{i}}}$。

代数多様体の定義

代数多様体における通常の構成的定義は段階的に進められる。以下に示す定義は、特異でない多様体X上の因子の交差数に対するものである。

1. 定義から直接計算できる唯一の交点は、xにおける一般位置にある超曲面（ Xの余次元1の部分多様体）の交点である。具体的には、特異でない多様体Xと、多項式f _i ( t ₁ , ..., t _n ) に対してx の近傍に局所方程式f ₁ , ..., f _{n を}持つn 個の超曲面Z ₁ , ..., Z _{n が}あるとする。この場合、次式が成立する。

• ${\displaystyle n=\dim _{k}X}$。
• ${\displaystyle f_{i}(x)=0}$すべてのiについて。（つまり、xは超曲面の交差内にあります。）
• ${\displaystyle \dim _{x}\cap _{i=1}^{n}Z_{i}=0}$(つまり、約数は一般的な位置にあります。)
• はxにおいて特異ではない。 ${\displaystyle f_{i}}$

すると、点xにおける交点数（xにおける交点多重度と呼ばれる）は

${\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}:=\dim _{k}{\mathcal {O}}_{X,x}/(f_{1},\dots ,f_{n})}$、

ここで、 はxにおけるXの局所環であり、次元はkベクトル空間としての次元である。これは局所化として計算でき、 はxで消滅する多項式の最大イデアルであり、Uはx を含み、 f _iの特異点を含まない開アフィン集合である。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ ${\displaystyle k[U]_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$

2. 一般位置における超曲面の交差数は、各交差点における交差数の合計として定義されます。

${\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n})=\sum _{x\in \cap _{i}Z_{i}}(Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}}$

3. 定義を線形性によって実効因子に拡張する。すなわち、

${\displaystyle (nZ_{1}\cdots Z_{n})=n(Z_{1}\cdots Z_{n})}$そして。 ${\displaystyle ((Y_{1}+Z_{1})Z_{2}\cdots Z_{n})=(Y_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})+(Z_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})}$

4. 任意の因子が、実効因子PとNに対してD = P – Nという唯一の式を持つことに注目し、一般の配置における任意の因子に定義を拡張する。そこでD _i = P _i – N _iとし、以下の規則を用いる。

${\displaystyle ((P_{1}-N_{1})P_{2}\cdots P_{n})=(P_{1}P_{2}\cdots P_{n})-(N_{1}P_{2}\cdots P_{n})}$

交差点を変形します。

5. 任意の約数の交差数は、「Chow の移動補題」を使用して定義され、一般的な位置にある線形同値な約数を見つけて交差できることを保証します。

交差数の定義は、この数の計算における約数の出現順序に依存しないことに注意してください。

セールのトル式

VとW を、 dim( V ) + dim( W ) = dim( X ) を満たす、特異でない 射影多様体 Xの2つの部分多様体とします。すると、交差V ∩ Wは有限の点の集合になると予想されます。これを数えようとすると、2種類の問題が発生する可能性があります。まず、 V ∩ Wの期待次元が0であっても、実際の交差は大きな次元になる可能性があります。たとえば、射影平面における射影直線の自己交差数です。2つ目の潜在的な問題は、交差が0次元であっても、たとえばVが平面曲線でW がその接線のいずれかである場合、交差が非横断的になる可能性があることです。

最初の問題は、上で詳しく説明した交差理論の仕組みを必要とし、これは移動補題を用いてVとWをより便利な部分多様体に置き換えます。一方、2 番目の問題は、VやWを移動することなく直接解決できます。1965 年に、ジャン=ピエール・セールは可換代数とホモロジー代数の方法によって各交差点の重複度を見つける方法を説明しました。^{[1]交差の幾何学的概念と}導出テンソル積のホモロジー概念間のこの関係は影響力があり、特に可換代数におけるいくつかのホモロジー予想につながりました。

セールのトール公式は次のように述べている。Xを正則多様体とし、VとW を互いに相補的な次元を持つ2つの部分多様体とし、V ∩ Wは零次元とする。任意の点x ∈ V ∩ Wに対し、A をxの局所環 とする。xにおけるVとWの構造層は、イデアルI , J ⊆ A に対応する。このとき、点x におけるV ∩ Wの重複度は ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

${\displaystyle e(X;V,W;x)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\mathrm {length} _{A}(\operatorname {Tor} _{i}^{A}(A/I,A/J))}$

ここで、length は局所環上の加群の長さ、Tor はTor 関数です。V と W を横方向に移動できる場合、このホモロジー式は期待される答えを生成します。例えば、VとW がxで横方向に交わる場合、重複度は1です。Vが、平面上の点xにおける放物線Wの点xにおける接線である場合、 xにおける重複度は2です。

VとW の両方が局所的に正規列によって切り取られる場合、例えばそれらが非特異な場合、上記の式において高次の Tor は消滅するため、重複度は正となる。任意のケースにおける正値は、セールの重複度予想の一つである。

さらなる定義

定義は、例えば点だけではなく部分多様体に沿った交差や任意の完全多様体など、広範囲に一般化することができます。

代数位相幾何学において、交差数はカップ積のポアンカレ双対として現れる。具体的には、2つの多様体XとYが多様体Mにおいて横断的に交差する場合、その交差のホモロジー類はXとYのポアンカレ双対のカップ積のポアンカレ双対である。 ${\displaystyle D_{M}X\smile D_{M}Y}$

スナッパー・クライマン交差数の定義

1959 ～ 1960 年に Snapper によって導入され、後に Cartier と Kleiman によって開発された、交差数をオイラー特性として定義する交差数へのアプローチがあります。

X をスキームS上のスキームとし、Pic( X )をXのピカール群、G をSのアルティン部分スキーム上に適切なサポートを持つX上の連接層のカテゴリのグロタンディーク群とします。

Pic( X )の各Lに対して、 Gの準同型c ₁ ( L )（ Lの第一チャーン類と呼ばれる）を次のように 定義する。

${\displaystyle c_{1}(L)F=F-L^{-1}\otimes F.}$

直線束を用いたテンソル化は正確であるため、 G上では加法的である。また、次も成り立つ。

• ${\displaystyle c_{1}(L_{1})c_{1}(L_{2})=c_{1}(L_{1})+c_{1}(L_{2})-c_{1}(L_{1}\otimes L_{2})}$;特に通勤に。 ${\displaystyle c_{1}(L_{1})}$ ${\displaystyle c_{1}(L_{2})}$
• ${\displaystyle c_{1}(L)c_{1}(L^{-1})=c_{1}(L)+c_{1}(L^{-1}).}$
• ${\displaystyle \dim \operatorname {supp} c_{1}(L)F\leq \dim \operatorname {supp} F-1}$(これは自明ではなく、デヴィサージュ論証から導き出されます。)

交差点番号

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}}$

線束L _iは次のように定義されます。

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\chi (c_{1}(L_{1})\cdots c_{1}(L_{r})F)}$

ここでχはオイラー特性を表す。あるいは、帰納法により次式を得る。

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\sum _{0}^{r}(-1)^{i}\chi (\wedge ^{i}(\oplus _{0}^{r}L_{j}^{-1})\otimes F).}$

Fが固定されるたびに、L _iの対称関数になります。 ${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F}$

あるカルティエ因子D _iに対してL _i = O _X ( D _i ) の場合、交差数を と書きます。 ${\displaystyle D_{1}\cdot {\dots }\cdot D_{r}}$

をS -スキーム、X上の直線束、G内のFの射とし、 とする。すると、 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle L_{i},1\leq i\leq m}$ ${\displaystyle m\geq \dim \operatorname {supp} F}$

${\displaystyle f^{*}L_{1}\cdots f^{*}L_{m}\cdot F=L_{1}\cdots L_{m}\cdot f_{*}F}$. ^[2]

平面曲線の交差多重度

射影曲線のペアと、および点の各 3 つ組に、およびにおけるの交差重複度と呼ばれる数を割り当てる一意の関数があり、この数は次の特性を満たします。 ${\displaystyle (P,Q,p)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle K[x,y]}$ ${\displaystyle p\in K^{2}}$ ${\displaystyle I_{p}(P,Q)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle p}$

1. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=I_{p}(Q,P)}$
2. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=\infty }$とが共通因数0を持つ場合のみ、 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle p}$
3. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=0}$ またはのいずれかがゼロでない場合（つまり、点が2つの曲線の交点にない場合） ${\displaystyle P(p)}$ ${\displaystyle Q(p)}$ ${\displaystyle p}$
4. ${\displaystyle I_{p}(x,y)=1}$どこ ${\displaystyle p=(0,0)}$
5. ${\displaystyle I_{p}(P,Q_{1}Q_{2})=I_{p}(P,Q_{1})+I_{p}(P,Q_{2})}$
6. ${\displaystyle I_{p}(P+QR,Q)=I_{p}(P,Q)}$いかなる ${\displaystyle R\in K[x,y]}$

これらの特性は交差多重性を完全に特徴づけるものですが、実際には交差多重性はいくつかの異なる方法で実現されます。

交差多重度の一つの実現方法は、べき級数環の特定の商空間 の次元を通して実現される。必要に応じて変数変換を行うことで、 と仮定することができる。 およびを、関心のある代数曲線を定義する多項式とする。元の方程式が同次形式で与えられている場合、これらは と設定することで得られる。 は、およびによって生成されるのイデアルを表す。交差多重度は、上のベクトル空間としての の次元である。 ${\displaystyle K[[x,y]]}$ ${\displaystyle p=(0,0)}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle I=(P,Q)}$ ${\displaystyle K[[x,y]]}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle K[[x,y]]/I}$ ${\displaystyle K}$

交差多重性のもう一つの実現は、2つの多項式と の合成から得られます。 の座標において、曲線は と他の交差を持たず、に関するの次数はの全次数に等しく、はとの合成を割り切るの最大のべき乗として定義できます（ と は上の多項式と見なします）。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle p=(0,0)}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle I_{p}(P,Q)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle K[x]}$

交差多重度は、曲線をわずかに揺らした場合に存在する異なる交差の数としても表すことができます。より具体的には、と が開集合 の閉包において1回だけ交差する曲線を定義する場合、 の稠密集合 に対して、 、、は滑らかであり、内のちょうどいくつかの点で横断的に交差します（つまり、異なる接線を持ちます）。このとき と表すことができます。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (\epsilon ,\delta )\in K^{2}}$ ${\displaystyle P-\epsilon }$ ${\displaystyle Q-\delta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=n}$

例

原点における放物線とx軸の交点を考えます。 ${\displaystyle y=x^{2}}$

書いて 私たちは ${\displaystyle P=y,}$ ${\displaystyle Q=y-x^{2},\ }$ ${\displaystyle p=(0,0)}$

${\displaystyle I_{p}(P,Q)=I_{p}(y,y-x^{2})=I_{p}(y,x^{2})=I_{p}(y,x)+I_{p}(y,x)=1+1=2.\,}$

したがって、交差重複度は2であり、これは通常の接線である。同様に、整数の曲線とが原点で重複度で交差していることも計算できる。 ${\displaystyle y=x^{m}}$ ${\displaystyle y=x^{n}}$ ${\displaystyle m>n\geq 0}$ ${\displaystyle n.}$

自己交差

最も興味深い交差数の一つに、自己交差数があります。これは、ある 約数を、最初の約数に対して一般的な位置にある別の同値な約数に移動し、両者が交差することを意味します。このように、自己交差数は明確に定義され、負の値になることさえあります。

アプリケーション

交差数は、ベズーの定理を満たすように交差を定義したいという願望によって部分的に動機づけられています。

交差数は不動点の研究において登場する。不動点は、対角線を持つ関数グラフの交差として巧みに定義できる。不動点における交差数を計算すると、重複度 を持つ不動点が数えられ、レフシェッツの不動点定理を定量的に導くことができる。

注記

1. ジャン・ピエール・セール(1965)。代数ロケール、乗数。数学の講義ノート。 Vol. 11.シュプリンガー・フェルラーク。 pp.x+160。
2. コラール 1996、第 6 章。命題 2.11

参考文献

• ウィリアム・フルトン(1974).代数曲線. 数学講義ノートシリーズ. WA ベンジャミン. pp.  74– 83. ISBN 0-8053-3082-8。
• ロビン・ハーツホーン(1977).代数幾何学.大学院数学テキスト. 第52巻. ISBN 0-387-90244-9。付録A
• ウィリアム・フルトン（1998年）『交差理論』（第2版）シュプリンガー社、ISBN 9780387985497。
• 代数曲線：代数幾何学入門、ウィリアム・フルトン、リチャード・ワイス共著。ニューヨーク：ベンジャミン社、1969年。再版：レッドウッドシティ、カリフォルニア州、米国：アディソン・ウェスレー社、アドバンスト・ブック・クラシックス、1989年。ISBN 0-201-51010-3全文はオンラインでご覧いただけます。
• ハーシェル・M・ファーカス、アーウィン・クラ（1980年）『リーマン面』『数学大学院テキスト』第71巻、  pp.40–41 , 55–56 . ISBN 0-387-90465-4。
• Kleiman, Steven L. (2005)、「ピカール法：付録B」、Fundamental algebraic geometry、Math. Surveys Monogr.、vol. 123、Providence, RI: American Mathematical Society、arXiv : math/0504020、Bibcode :2005math......4020K、MR  2223410
• Kollár、János (1996)、Rational Curves on Algebraic Varieties、ベルリン、ハイデルベルク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-662-03276-3、ISBN 978-3-642-08219-1、MR  1440180

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