線と面の交差

3D空間における線と平面の幾何学的交差

3 次元における平面と直線の関係は 3 つ考えられます。(各ケースでは、無限に広がる平面の一部のみを示しています。)

幾何学において、三次元空間における直線と平面の交点は、空集合、点、あるいは直線そのものとなる。直線が平面に埋め込まれている場合は直線全体となり、直線が平面に平行でありながら平面の外側にある場合は空集合となる。そうでない場合、直線は平面を一点で切断する。

これらのケースを区別し、後者の場合の点と線の方程式を決定することは、コンピューター グラフィックス、動作計画、衝突検出に役立ちます。

代数形式

ベクトル表記では、平面は点の集合として表現され、 ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle (\mathbf {p} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0}$

ここで、は平面の法線ベクトルであり、は平面上の点です。（表記はベクトル と のドット積を表します。） ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {p_{0}} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

直線のベクトル方程式は

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d\quad d\in \mathbb {R} }$

ここで、は直線方向の単位ベクトル、は直線上の点、は 実数領域におけるスカラーである。直線の方程式を平面の方程式に代入すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle \mathbf {l} }$ ${\displaystyle \mathbf {l_{0}} }$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle ((\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d)-\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0.}$

拡大すると

${\displaystyle (\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} )\ d+(\mathbf {l_{0}} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0.}$

そして、を解くと ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d={(\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} \over \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} }.}$

直線と平面は平行です。次の2つのケースが考えられます。直線が平面に含まれる場合、つまり直線の各点で平面と交差する場合です。そうでない場合、直線と平面は交わりません。 ${\displaystyle \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} =0}$ ${\displaystyle (\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0}$

交点が1つだけの場合、 の値は計算でき、交点 は次のように表されます 。 ${\displaystyle \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} \neq 0}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d}$。

パラメトリック形式

線と平面の交差。

直線は、ある点からある方向にあるすべての点によって表されます。点を通る直線上の一般的な点は、次のように表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {l} _{a}=(x_{a},y_{a},z_{a})}$ ${\displaystyle \mathbf {l} _{b}=(x_{b},y_{b},z_{b})}$

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t,\quad t\in \mathbb {R} ,}$

ここで、ベクトルは から を指しています。 ${\displaystyle \mathbf {l} _{ab}=\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {l} _{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {l} _{b}}$

同様に、点 、 、 によって定義される三角形によって決定される平面上の一般的な点は、次のように表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})}$

${\displaystyle \mathbf {p} _{0}+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v,\quad u,v\in \mathbb {R} ,}$

ここで、は からを指すベクトルであり、はから を指すベクトルです。 ${\displaystyle \mathbf {p} _{01}=\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{02}=\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$

したがって、直線が平面と交差する点は、直線上の点を平面上の点と等しく設定することで記述され、媒介変数方程式が得られます。

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t=\mathbf {p} _{0}+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v.}$

これは次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}=-\mathbf {l} _{ab}t+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v,}$

これは行列形式で次のように表すことができます

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}},}$

ここでベクトルは列ベクトルとして表されます。

これにより、、およびについて解くことができる線形方程式の連立方程式が生成されます。解が条件 を満たす場合、交点は と の間の線分上にあり、そうでない場合は線分上の他の場所にあります。同様に、解が を満たす場合、交点は点とベクトルおよびによって形成される平行四辺形内にあります。解がさらに を満たす場合、交点は 、、および の3点によって形成される三角形内にあります。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle t\in [0,1],}$ ${\displaystyle \mathbf {l} _{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {l} _{b}}$ ${\displaystyle u,v\in [0,1],}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{01}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{02}}$ ${\displaystyle (u+v)\leq 1}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$

行列の行列式は次のように計算できる。

${\displaystyle \det({\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}})=-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02}).}$

行列式がゼロの場合、一意の解は存在せず、直線は平面内にあるか、平面に平行になります。

一意の解が存在する場合（行列式が 0 ではない場合）、行列を反転して並べ替えることでその解を見つけることができます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}},}$

これは次のように展開される

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\frac {1}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}^{\mathrm {T} }\\{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\frac {1}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\\{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\\{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\end{bmatrix}},}$

したがって、解決策は次のようになります。

${\displaystyle t={\frac {{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}}$

${\displaystyle u={\frac {{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}}$

${\displaystyle v={\frac {{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}.}$

交点は

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t}$

用途

コンピュータグラフィックスのレイトレーシング法では、表面は複数の平面の集合として表現されます。光線と各平面の交点を用いて、表面の画像を生成します。コンピュータビジョンのサブフィールドであるビジョンベース3D再構成では、深度値は一般的に三角測量法と呼ばれる方法で測定されます。これは、カメラに向かって反射された光線と光平面の交点を求めるものです。

このアルゴリズムは、他の平面図形との交差、特に多面体と直線との交差をカバーするように一般化できます。

参照

• Plücker座標#平面と直線の交点は、直線をPlücker座標で表現した場合に交点を計算します。
• 平面と平面の交差

参考文献

• 直線と平面の交差

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