クラス内相関

Descriptive statistic

統計学において、級内相関係数（ICC）^{[1]は、グループに分けられた単位に対して定量的な測定を行う際に用いられる}記述統計量です。これは、同じグループ内の単位が互いにどれほど強く類似しているかを表します。相関関係の一種とみなされますが、他の多くの相関指標とは異なり、対になった観測値として構造化されたデータではなく、グループとして構造化されたデータに対して作用します。

高い級内相関を示すデータセットを示すドットプロット。同じグループの値は類似する傾向があります。

級内相関が低いデータセットを示すドットプロット。同じグループの値が類似する傾向はほとんどありません。

級内相関は、一定の血縁度（例えば、実の兄弟姉妹）を持つ個体が、量的形質（遺伝率を参照）に関してどの程度類似しているかを定量化するために一般的に用いられます。もう一つの重要な応用は、異なる観察者が同じ量を測定した際の定量的測定の一貫性や再現性を評価することです。

初期のICC定義：偏りはないが複雑な式

クラス内相関に関する最も初期の研究は、対になった測定のケースに焦点を当てており、最初に提案されたクラス内相関 (ICC) 統計はクラス間相関(ピアソン相関) の修正でした。

N個の対になったデータ値（x _{n ,1} ,  x _{n ,2}）（n  = 1, ..., N ）からなるデータセットを考える。ロナルド・フィッシャー^[3]によって最初に提案された級内相関係数rは^[2]である。

${\displaystyle r={\frac {1}{Ns^{2}}}\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}-{\bar {x}})(x_{n,2}-{\bar {x}}),}$

どこ

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{2N}}\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}+x_{n,2}),}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{2N}}\left\{\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}-{\bar {x}})^{2}+\sum _{n=1}^{N}(x_{n,2}-{\bar {x}})^{2}\right\}.}$

この統計量の後のバージョン^[3]では、 s ^2を 計算するための分母に自由度2 N −1を使用し、rを 計算するための分母に自由度N −1を使用したため、s ^2は不偏となり、sが既知 であればrは不偏となる。

このICCと級内（ピアソン）相関の主な違いは、平均値と分散を推定するためにデータがプールされる点です。これは、級内相関が求められる状況では、ペアは順序付けられていないとみなされるためです。例えば、双子の類似性を研究する場合、通常、双子ペア内の2人の値を意味のある順序で並べる方法はありません。級間相関と同様に、ペアデータの級内相関は[-1, +1]の区間に限定されます 。

級内相関は、2つ以上の値を持つグループを含むデータセットにも定義されます。3つの値からなるグループの場合は、^{[3]のように定義されます。}

${\displaystyle r={\frac {1}{3Ns^{2}}}\sum _{n=1}^{N}\left\{(x_{n,1}-{\bar {x}})(x_{n,2}-{\bar {x}})+(x_{n,1}-{\bar {x}})(x_{n,3}-{\bar {x}})+(x_{n,2}-{\bar {x}})(x_{n,3}-{\bar {x}})\right\},}$

どこ

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{3N}}\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}+x_{n,2}+x_{n,3}),}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{3N}}\left\{\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}-{\bar {x}})^{2}+\sum _{n=1}^{N}(x_{n,2}-{\bar {x}})^{2}+\sum _{n=1}^{N}(x_{n,3}-{\bar {x}})^{2}\right\}.}$

グループあたりの項目数が増えると、この式における外積項の数も増えます。次の式は計算が簡単です。

${\displaystyle r={\frac {K}{K-1}}\cdot {\frac {N^{-1}\sum _{n=1}^{N}({\bar {x}}_{n}-{\bar {x}})^{2}}{s^{2}}}-{\frac {1}{K-1}},}$

ここで、Kはグループあたりのデータ値の数であり、n^番目のグループの標本平均である。^[3]この形式は通常、ハリスに帰属する。^[4]左辺は非負である。したがって、クラス内相関は次式を満たす必要がある。 ${\displaystyle {\bar {x}}_{n}}$

${\displaystyle r\geq {\frac {-1}{K-1}}.}$

Kが大きい場合、このICCはほぼ

${\displaystyle {\frac {N^{-1}\sum _{n=1}^{N}({\bar {x}}_{n}-{\bar {x}})^{2}}{s^{2}}},}$

これは、グループ間の変動による総分散の割合として解釈できます。ロナルド・フィッシャーは、彼の古典的な著書『研究者のための統計的手法』の中で、級内相関について1章を割いています。^[3]

完全にノイズのみを含む母集団のデータの場合、フィッシャーの式は0を中心に分布するICC値、つまり負の値となる場合があります。これは、フィッシャーが式を偏りのないものとして設計したため、推定値は過大評価になることもあれば、過小評価されることもあります。母集団の潜在値が小さい場合、または0の場合、標本から計算されたICC値は負の値になる可能性があります。

現代のICC定義：よりシンプルな式だがプラスのバイアス

ロナルド・フィッシャーに始まり、級内相関は分散分析（ANOVA）の枠組みの中で考察され、近年ではランダム効果モデルの枠組みでも考察されています。多くのICC推定量が提案されています。推定量のほとんどは、ランダム効果モデルによって定義できます。

${\displaystyle Y_{ij}=\mu +\alpha _{j}+\varepsilon _{ij},}$

ここで、Y _ijはj^番目のグループのi^番目の観測値、μは観測されない全体平均、α _jはグループj内のすべての値に共通する観測されないランダム効果、ε _ijは観測されないノイズ項である。^[5]同定されるモデルでは、α _jとε _ijは期待値がゼロで互いに無相関であると仮定される。また、α _jは同一分布に従うと仮定され、ε _{ijも同一分布に従うと仮定される。α j}の分散は σで表される。²
_αε _ijの分散はσと表される。²
_ε。

この枠組みにおける人口ICCは^[6]

${\displaystyle {\frac {\sigma _{\alpha }^{2}}{\sigma _{\alpha }^{2}+\sigma _{\varepsilon }^{2}}}.}$

このフレームワークでは、ICC は同じグループからの 2 つの観測値の相関関係になります。

[証拠]

一元配置ランダム効果モデルの場合:

${\displaystyle Y_{ij}=\mu +\alpha _{i}+\epsilon _{ij}}$

${\displaystyle \alpha _{i}\sim N(0,\sigma _{\alpha }^{2})}$、、s、sは独立しており、s は s から独立しています。 ${\displaystyle \epsilon _{ij}\sim N(0,\sigma _{\varepsilon }^{2})}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \epsilon _{ij}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \epsilon _{ij}}$

任意の観測値の分散は次の通りである：同じグループからの2つの観測値の共分散（ の場合）は次の通りである：^[7] ${\displaystyle Var(Y_{ij})=\sigma _{\varepsilon }^{2}+\sigma _{\alpha }^{2}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j\neq k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Cov}}(Y_{ij},Y_{ik})&={\text{Cov}}(\mu +\alpha _{i}+\epsilon _{ij},\mu +\alpha _{i}+\epsilon _{ik})\\&={\text{Cov}}(\alpha _{i}+\epsilon _{ij},\alpha _{i}+\epsilon _{ik})\\&={\text{Cov}}(\alpha _{i},\alpha _{i})+2{\text{Cov}}(\alpha _{i},\epsilon _{ik})+{\text{Cov}}(\epsilon _{ij},\epsilon _{ik})\\&={\text{Cov}}(\alpha _{i},\alpha _{i})\\&={\text{Var}}(\alpha _{i})\\&=\sigma _{\alpha }^{2}.\\\end{aligned}}}$

ここでは、共分散の特性を使用しました。

まとめると次のようになります。 ${\displaystyle {\text{Cor}}(Y_{ij},Y_{ik})={\frac {{\text{Cov}}(Y_{ij},Y_{ik})}{\sqrt {Var(Y_{ij})Var(Y_{ik})}}}={\frac {\sigma _{\alpha }^{2}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}+\sigma _{\alpha }^{2}}}}$

この分散分析フレームワークの利点は、異なるグループ間でデータ値の数が異なる可能性があることです。これは、従来のICC統計では扱いにくい問題です。このICCは常に非負値であるため、「グループ間」における総分散の割合として解釈できます。このICCは共変量効果を考慮して一般化することができ、その場合、ICCは共変量調整後のデータ値のクラス内類似性を捉えていると解釈されます。^[8]

この式は負になることはなく (Fisher の元の式とは異なり)、したがって、ICC が 0 である母集団からのサンプルでは、​​サンプルの ICC は母集団の ICC よりも高くなります。

これまでに様々なICC統計が提案されてきたが、それらはすべて同じ母数パラメータを推定するわけではない。同じデータに対して、ICC統計が著しく異なる結果をもたらす可能性があるため、特定の用途にどのICC統計が適切であるかについては、かなりの議論がなされてきた。^{[9] [10]}

ピアソンの相関係数との関係

代数形式の観点から見ると、フィッシャーのオリジナルのICCはピアソン相関係数に最も類似したICCです。2つの統計量の主な違いは、ICCではデータがプールされた平均値と標準偏差を用いて中心化および尺度化されるのに対し、ピアソン相関では各変数が自身の平均値と標準偏差を用いて中心化および尺度化されることです。ICCのこのプールされた尺度化は、すべての測定値が同じ量（異なるグループのユニットであっても）であるため、理にかなっています。例えば、各「ペア」が2つのユニットそれぞれに対して行われた1回の測定（例：一卵性双生児のそれぞれの体重測定）であり、1つのユニットに対して2つの異なる測定（例：各個人の身長と体重測定）ではない場合、ICCはピアソン相関よりも自然な関連性の尺度となります。

ピアソン相関の重要な特性は、比較対象となる2つの変数に別々の線形変換を適用しても変化しないという点です。例えば、 XとYを相関させている場合、例えばY  = 2 X + 1とすると、 XとY の間のピアソン相関は1、つまり完全相関となります。この特性はICCには当てはまりません。なぜなら、グループ内の各値にどの変換を適用するかを決定する根拠がないからです。しかし、すべてのグループのすべてのデータに同じ線形変換を適用した場合、ICCは変化しません。

観察者間の適合性を評価する際に使用

ICC は、複数の観察者が同じ量を測定した結果の一貫性、つまり適合性を評価するために使用されます。^[11] たとえば、複数の医師に癌の進行の兆候を調べるために CT スキャンの結果を採点するよう依頼した場合、スコアが互いにどの程度一致しているかを尋ねることができます。真実がわかっている場合 (たとえば、CT スキャンがその後探索手術を受けた患者のものであった場合)、焦点は通常、医師のスコアが真実とどの程度一致しているかに置かれます。真実がわからない場合は、スコア間の類似性のみを検討できます。この問題の重要な側面は、観察者間変動と観察者内変動の両方があるということです。観察者間変動とは、観察者間の体系的な違いを指します。たとえば、ある医師は一貫して患者を他の医師よりも高いリスク レベルで採点する場合があります。観察者内変動とは、特定の患者に対する特定の観察者のスコアの、体系的な違いの一部ではない偏差を指します。

ICC は、交換可能な測定値、つまりグループ内の測定値を意味のある順序で並べる方法がないグループ化されたデータに適用するように構築されています。観察者間の適合性を評価する際に、調査対象の各要素を同じ観察者が評価すると、観察者間に系統的な差異が存在する可能性が高くなり、交換可能性の概念と矛盾します。系統的な差異が存在する状況で ICC を使用すると、結果は観察者内変動と観察者間変動の複合的な測定値になります。交換可能性が妥当に成立すると推定される可能性がある状況の 1 つは、採点対象の検体 (血液検体など) が複数のアリコートに分割され、各アリコートが同じ機器で別々に測定される場合です。この場合、サンプルの実行順序による影響が存在しない限り、交換可能性が成立します。

級内相関係数は観察者内変動と観察者間変動の複合的な値を示すため、観察者が交換不可能な場合には、その結果の解釈が困難になることがある。交換不可能な観察者間の一致を測るより適切な指標として、コーエンのカッパ統計量、フライスのカッパ係数、一致相関係数^[12]などが提案されている。

ソフトウェアパッケージでの計算

観察者間の一致に関する 3 つのシナリオに、異なるクラス内相関係数の定義を適用しました。

ICCはオープンソースソフトウェアパッケージRでサポートされています（psyまたはirrパッケージの関数「icc」、またはpsychパッケージの関数「ICC」を使用）。rptRパッケージ^[13]は、混合モデルフレームワークにおけるガウス分布、二項分布、ポアソン分布データのICCと再現性の推定手法を提供しています。特に、このパッケージは調整済みICC（つまり、他の変数をコントロールする）の推定を可能にし、パラメトリックブートストラッピングに基づく信頼区間と残差の順列に基づく有意性を計算します。StataやSPSS ^{[14]などの商用ソフトウェアもICCをサポートしています}。

ICCの種類 [3] 2009年3月3日アーカイブ - Wayback Machine

シュラウトとフライスの大会	マグロウとウォン条約[15]	SPSSとStataでの名前[16] [17]
ICC(1,1)	一元配置ランダム、単一スコアICC(1)	一元配置ランダム、単一測定
ICC(2,1)	二元配置ランダム、単一スコアICC(A,1)	二元配置ランダム、単一測定、絶対的一致
ICC(3,1)	二元配置混合、単一スコア ICC(C,1)	双方向混合、単一測定、一貫性
未定義	二元配置ランダム、単一スコアICC(C,1)	二元配置ランダム、単一測定、一貫性
未定義	二元配置混合、単一スコア ICC(A,1)	双方向混合、単一測定、絶対的合意
ICC(1,k)	一元配置ランダム、平均スコアICC(k)	一元配置ランダム平均測定
ICC(2,k)	二元配置ランダム、平均スコア ICC(A,k)	二元配置ランダム、平均測定、絶対一致
ICC(3,k)	二元配置混合、平均スコア ICC(C,k)	二元配置混合、平均測定、一貫性
未定義	二元配置ランダム、平均スコア ICC(C,k)	二元配置ランダム、平均測定、一貫性
未定義	二元配置混合、平均スコア ICC(A,k)	二元配置混合、平均的測定値、絶対的一致

3 つのモデルは次のとおりです。

• 一元配置ランダム効果: 各被験者はランダムに選択された k 人の評価者によって測定されます。
• 双方向ランダム: k 人の評価者がランダムに選択され、各被験者は同じ k 人の評価者セットによって測定されます。
• 二元配置混合法：k人の固定評価者が定義されます。各被験者はk人の評価者によって評価されます。

測定回数:

• 単一の測定: 実験では複数の測​​定が行われますが、信頼性は単一の評価者による単一の測定が実行される状況に適用されます。
• 平均測定: 信頼性は、各被験者について k 人の評価者の測定が平均化されるコンテキストに適用されます。

一貫性または絶対的な合意:

• 絶対的一致: 2 人の評価者間の一致が重要であり、両方の評価者の系統的誤差とランダム残差誤差が含まれます。
• 一貫性: 同じ評価者による繰り返し測定の場合、評価者の体系的な誤差はキャンセルされ、ランダム残差誤差のみが保持されます。

一元配置ランダム効果モデルでは、評価者間分散と残差分散を分離する方法がないため、一貫性 ICC を推定することはできません。

単一測定ICCの3つのモデルの概要と再分析、およびそれらの使用のための代替レシピは、Liljequistら（2019）によっても発表されている。^[18]

解釈

Cicchetti（1994）^[19]は、 κまたはICC評価者間合意尺度の解釈について、よく引用される以下のガイドラインを示しています。

• 0.40 未満: 不良。
• 0.40 から 0.59 の間 — 良好。
• 0.60 から 0.74 の間であれば良好です。
• 0.75 から 1.00 の間 — 優秀。

KooとLi（2016）は異なるガイドラインを示している：^[20]

• 0.50未満: 悪い
• 0.50～0.75: 中程度
• 0.75～0.90: 良好
• 0.90以上: 優秀

参照

• 相関比
• デザイン効果
• 効果サイズ#イータ平方 (η2)

参考文献

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その他

• 級内相関係数の2つの指標の比較

外部リンク

• AgreeStat 360: クラウドベースの評価者間信頼性分析、Cohen のカッパ、Gwet の AC1/AC2、Krippendorff のアルファ、Brennan-Prediger、Fleiss の一般化カッパ、クラス内相関係数
• さまざまなタイプのICCを計算できる便利なオンラインツール。2015年7月29日にWayback Machineにアーカイブされました。

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