Concept in multilinear algebra and representation theory
数学 では、 多重線型代数 と 表現論 の分野において 、 第2階 テンソルの 主な不変量は 特性多項式 の係数である [1] A {\displaystyle \mathbf {A} }
p ( λ ) = det ( A − λ I ) {\displaystyle \ p(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )} 、 ここで 、 は恒等演算子で あり、 は多項式の根 と の 固有値 です 。 I {\displaystyle \mathbf {I} } λ i ∈ C {\displaystyle \lambda _{i}\in \mathbb {C} } p {\displaystyle \ p} A {\displaystyle \mathbf {A} }
より広く言えば、任意のスカラー値関数は、 すべての直交 に対して が の不変量となる 場合、かつその場合のみ不変量となる 。これは、 の成分を用いて不変量を表す式は、 すべての直交基底に対して同じ結果を与えることを意味する。例えば、 の個々の対角成分は 基底の変化に応じて変化するが、対角成分の和は変化しない。 f ( A ) {\displaystyle f(\mathbf {A} )} A {\displaystyle \mathbf {A} } f ( Q A Q T ) = f ( A ) {\displaystyle f(\mathbf {Q} \mathbf {A} \mathbf {Q} ^{T})=f(\mathbf {A} )} Q {\displaystyle \mathbf {Q} } A i j {\displaystyle A_{ij}} A {\displaystyle \mathbf {A} }
プロパティ 主不変量は座標系の回転によって変化しません (主不変量は客観的であり、より現代的な用語で言えば、 物質的フレーム無差別原理 を満たします)。また、主不変量の関数も客観的です。
2階テンソルの不変量の計算 工学応用 の大半では 、次元 3 の（階数 2 の）テンソルの主不変量が求められます。例えば、 固有値 、、 および を持つ 右コーシー・グリーン変形テンソルの 主不変量などが求められます。ここで 、 、 、 は 主伸縮、つまり の固有値です 。 C {\displaystyle \mathbf {C} } λ 1 2 {\displaystyle \lambda _{1}^{2}} λ 2 2 {\displaystyle \lambda _{2}^{2}} λ 3 2 {\displaystyle \lambda _{3}^{2}} λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}} λ 3 {\displaystyle \lambda _{3}} U = C {\displaystyle \mathbf {U} ={\sqrt {\mathbf {C} }}}
主要な不変量 このようなテンソルの場合、主な不変量は次のように与えられます。
I 1 = t r ( A ) = A 11 + A 22 + A 33 = λ 1 + λ 2 + λ 3 I 2 = 1 2 ( ( t r ( A ) ) 2 − t r ( A 2 ) ) = A 11 A 22 + A 22 A 33 + A 11 A 33 − A 12 A 21 − A 23 A 32 − A 13 A 31 = λ 1 λ 2 + λ 1 λ 3 + λ 2 λ 3 I 3 = det ( A ) = − A 13 A 22 A 31 + A 12 A 23 A 31 + A 13 A 21 A 32 − A 11 A 23 A 32 − A 12 A 21 A 33 + A 11 A 22 A 33 = λ 1 λ 2 λ 3 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )=A_{11}+A_{22}+A_{33}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\\I_{2}&={\frac {1}{2}}\left((\mathrm {tr} (\mathbf {A} ))^{2}-\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} ^{2}\right)\right)=A_{11}A_{22}+A_{22}A_{33}+A_{11}A_{33}-A_{12}A_{21}-A_{23}A_{32}-A_{13}A_{31}=\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{3}\\I_{3}&=\det(\mathbf {A} )=-A_{13}A_{22}A_{31}+A_{12}A_{23}A_{31}+A_{13}A_{21}A_{32}-A_{11}A_{23}A_{32}-A_{12}A_{21}A_{33}+A_{11}A_{22}A_{33}=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\end{aligned}}} 対称テンソルの場合、これらの定義は簡約される。 [2]
テンソルの主不変量と特性多項式との対応は、ケーリー・ハミルトン定理 と相まって、 次のことを明らかにする。
A 3 − I 1 A 2 + I 2 A − I 3 I = 0 {\displaystyle \ \mathbf {A} ^{3}-I_{1}\mathbf {A} ^{2}+I_{2}\mathbf {A} -I_{3}\mathbf {I} =0} ここで 、2 次単位テンソルです。 I {\displaystyle \mathbf {I} }
主な不変量 上記の主要な不変量に加えて、主不変量の概念を導入することもできる [3] [4]
J 1 = λ 1 + λ 2 + λ 3 = I 1 J 2 = λ 1 2 + λ 2 2 + λ 3 2 = I 1 2 − 2 I 2 J 3 = λ 1 3 + λ 2 3 + λ 3 3 = I 1 3 − 3 I 1 I 2 + 3 I 3 {\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}&=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=I_{1}\\J_{2}&=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=I_{1}^{2}-2I_{2}\\J_{3}&=\lambda _{1}^{3}+\lambda _{2}^{3}+\lambda _{3}^{3}=I_{1}^{3}-3I_{1}I_{2}+3I_{3}\end{aligned}}} これらは上記の主不変量の関数です。これらは偏差テンソルの特性多項式の係数で あり、トレースレスです。テンソルを恒等項の倍数である成分とトレースレス成分に分離することは流体力学の標準的な手法であり、前者は等方性と呼ばれ、修正圧力を与えます。後者は偏差テンソルと呼ばれ、せん断効果を与えます。 A − ( t r ( A ) / 3 ) I {\displaystyle \mathbf {A} -(\mathrm {tr} (\mathbf {A} )/3)\mathbf {I} }
混合不変量 さらに、階数2のテンソルのペア間の混合不変量も定義できる。 [4]
高次元2次テンソルの不変量の計算 これらは、たとえば Faddeev-LeVerrier アルゴリズムを使用して 特性多項式を 直接 評価することによって抽出できます。
高階テンソルの不変量の計算 3階、4階、さらに高次のテンソルの不変量も決定できる。 [5]
エンジニアリングアプリケーション テンソルの主不変量に完全に依存する スカラー関数は客観的、すなわち座標系の回転に依存しない。この性質は 、等方対称性を有する非線形材料の ひずみエネルギー密度 、あるいは ヘルムホルツ自由エネルギーの閉形式表現を定式化する際によく用いられる。 [6] f {\displaystyle f}
この手法は1940年にハワード・P・ロバートソン によって等方性 乱流 に初めて導入され、 不変原理から カルマン・ハワース方程式 を導出しました。 [7] ジョージ・バチェラー と スブラマニアン・チャンドラセカールは この手法を活用し、軸対称乱流に対する拡張された手法を開発しました。 [8] [9] [10]
非対称テンソルの不変量 3次元の実テンソル （つまり、3x3の成分行列を持つテンソル）は、最大6つの独立した不変量を持ちます。そのうち3つは対称部分の不変量であり、残りの3つは対称部分の主方向に対する歪対称部分の 軸ベクトル の向きを特徴づけます。例えば、の直交座標成分 が A {\displaystyle \mathbf {A} } A {\displaystyle \mathbf {A} }
[ A ] = [ 931 5480 − 717 − 5120 1650 1090 1533 − 610 1169 ] , {\displaystyle [A]={\begin{bmatrix}931&5480&-717\\-5120&1650&1090\\1533&-610&1169\end{bmatrix}},} 最初のステップは、歪対称部分に関連する 軸ベクトルを評価することである。具体的には、軸ベクトルは次のような成分を持つ。 w {\displaystyle \mathbf {w} }
w 1 = A 32 − A 23 2 = − 850 w 2 = A 13 − A 31 2 = − 1125 w 3 = A 21 − A 12 2 = − 5300 {\displaystyle {\begin{aligned}w_{1}&={\frac {A_{32}-A_{23}}{2}}=-850\\w_{2}&={\frac {A_{13}-A_{31}}{2}}=-1125\\w_{3}&={\frac {A_{21}-A_{12}}{2}}=-5300\end{aligned}}} 次のステップでは、 の対称部分の主値を求めます 。実非対称テンソルの固有値は複素数になる場合もありますが、その 対称部分 の固有値は常に実数であるため、最大値から最小値の順に並べることができます。対応する直交主基底方向には、軸ベクトルが第1八分円内を指すように方向を割り当てることができます 。この特殊基底に関して、 の成分 は A {\displaystyle \mathbf {A} } w {\displaystyle \mathbf {w} } A {\displaystyle \mathbf {A} }
[ A ′ ] = [ 1875 − 2500 3125 2500 1250 − 3750 − 3125 3750 625 ] , {\displaystyle [A']={\begin{bmatrix}1875&-2500&3125\\2500&1250&-3750\\-3125&3750&625\end{bmatrix}},} の最初の3つの不変量は、 この行列の対角成分です：（ テンソルの対称部分の順序付けられた主値に等しい）。残りの3つの不変量は、この基底における軸ベクトルの成分です： 。注：軸ベクトル の大きさは 、 の歪曲部分の唯一の不変量です が、これら3つの異なる不変量は、 の対称部分と歪曲部分の間の「整合」を（ある意味で）特徴づけます。ちなみに、テンソルの固有値が正であればテンソルは 正定値で あるというのは誤りです。そうではなく、 対称部分 の固有値が正である 場合に限り 、テンソルは正定値です 。 A {\displaystyle \mathbf {A} } a 1 = A 11 ′ = 1875 , a 2 = A 22 ′ = 1250 , a 3 = A 33 ′ = 625 {\displaystyle a_{1}=A'_{11}=1875,a_{2}=A'_{22}=1250,a_{3}=A'_{33}=625} w 1 ′ = A 32 ′ = 3750 , w 2 ′ = A 13 ′ = 3125 , w 3 ′ = A 21 ′ = 2500 {\displaystyle w'_{1}=A'_{32}=3750,w'_{2}=A'_{13}=3125,w'_{3}=A'_{21}=2500} w ⋅ w {\displaystyle {\sqrt {\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} }}} A {\displaystyle \mathbf {A} } A {\displaystyle \mathbf {A} }
参照
参考文献 ^ スペンサー、AJM (1980). 連続体力学 . ロングマン. ISBN 0-582-44282-6 。 ^ Kelly, PA. 「講義ノート：固体力学入門」 （PDF） . 2018年 5月27日 閲覧 。 ^ Kindlmann, G. 「テンソル不変量とその勾配」 （PDF） . 2019年 1月24日 閲覧 。 ^ ab シュレーダー、イェルク;ネフ、パトリツィオ (2010)。 応用力学におけるポリ、準、およびランク 1 の凸面 。スプリンガー。 ^ Betten, J. (1987). 「4次テンソルの既約不変量」. 数学モデリング . 8 : 29–33 . doi : 10.1016/0270-0255(87)90535-5 . ^ Ogden, RW (1984). 非線形弾性変形 . ドーバー. ^ Robertson, HP (1940). 「等方性乱流の不変理論」. ケンブリッジ哲学協会数学紀要 . 36 (2). ケンブリッジ大学出版局: 209– 223. Bibcode :1940PCPS...36..209R. doi :10.1017/S0305004100017199. S2CID 122767772. ^ Batchelor, GK (1946). 「軸対称乱流の理論」 Proc. R. Soc. Lond. A . 186 (1007): 480– 502. Bibcode :1946RSPSA.186..480B. doi : 10.1098/rspa.1946.0060 . ^ Chandrasekhar, S. (1950). 「軸対称乱流の理論」. 王立協会哲学論文集A: 数学・物理・工学 . 242 (855): 557– 577. Bibcode :1950RSPTA.242..557C. doi :10.1098/rsta.1950.0010. S2CID 123358727. ^ Chandrasekhar, S. (1950). 「軸対称乱流の減衰」 Proc. R. Soc. A . 203 (1074): 358– 364. Bibcode :1950RSPSA.203..358C. doi :10.1098/rspa.1950.0143. S2CID 121178989. 
![{\displaystyle [A]={\begin{bmatrix}931&5480&-717\\-5120&1650&1090\\1533&-610&1169\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ba9809887a5f4a9ada855c94632428f116aba39)
![{\displaystyle [A']={\begin{bmatrix}1875&-2500&3125\\2500&1250&-3750\\-3125&3750&625\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc7794e0904bdb128175f3d11ec2a82fd003d71)
