フーリエ反転定理

Mathematical theorem about functions

数学において、フーリエ逆定理とは、多くの種類の関数について、そのフーリエ変換からある関数を復元できるというものです。直感的には、波の周波数と位相に関するすべての情報が分かれば、元の波を正確に復元できるという主張と捉えることができます。

この定理は、ある条件を満たす関数があり、フーリエ変換の慣例を用いると、 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}$

それから

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .}$

言い換えれば、この定理は

${\displaystyle f(x)=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

この最後の方程式はフーリエ積分定理と呼ばれます。

この定理を別の言い方で述べると、 が反転演算子、すなわち である場合、 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (Rf)(x):=f(-x)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}R=R{\mathcal {F}}.}$

この定理は、 とそのフーリエ変換が（ルベーグの意味で）絶対積分可能であり、かつ点 において連続である場合に成立する。しかし、より一般的な条件下でも、フーリエ逆変換定理の様々なバージョンが成立する。これらの場合、上記の積分は通常の意味で収束しない可能性がある。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

声明

この節では、 が積分可能な連続関数であると仮定する。フーリエ変換の慣例を用いる。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy.}$

さらに、フーリエ変換も積分可能であると仮定します。

逆フーリエ変換を積分として

フーリエ逆定理の最も一般的な記述は、逆変換を積分として述べることである。任意の積分可能な関数とすべての集合 に対して、 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

それで、私たちが持っている ものすべて ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

証拠

および が与えられた場合、証明では次の事実を使用します。 ${\displaystyle f(y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}f(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }f(y)\,dy}$ かつならば、 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle g(\xi )=e^{2\pi \mathrm {i} x\cdot \xi }\psi (\xi )}$ $${\displaystyle ({\mathcal {F}}g)(y)=({\mathcal {F}}\psi )(y-x).}$$ かつならば、 ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \psi (\xi )=\varphi (\varepsilon \xi )}$ $${\displaystyle ({\mathcal {F}}\psi )(y)=({\mathcal {F}}\varphi )(y/\varepsilon )/|\varepsilon |^{n}.}$$ について、フビニの定理は次のことを意味します ${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \textstyle \int g(\xi )\cdot ({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\int ({\mathcal {F}}g)(y)\cdot f(y)\,dy.}$$ 次のように定義する ${\displaystyle \varphi (\xi )=e^{-\pi \vert \xi \vert ^{2}}}$ $${\displaystyle ({\mathcal {F}}\varphi )(y)=\varphi (y).}$$ を定義します。これは恒等式 の近似です。つまり、任意の連続点 および に対して、は点ごとに収束します。 ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }(y)=\varphi (y/\varepsilon )/\varepsilon ^{n}}$ $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}(\varphi _{\varepsilon }\ast f)(x)=f(x),}$$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ 仮定より、 なので、優勢収束定理より、が成り立つ。定義する。事実1、2、4を、必要であれば多重積分に繰り返し適用すると、 が得られる。事実3と を用いると、各 に対して、の畳み込みは近似恒等式となる 。しかし なので、事実5は となる。上記をまとめると、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .}$$ $${\displaystyle g_{x}(\xi )=e^{-\pi \varepsilon ^{2}\vert \xi \vert ^{2}+2\pi \mathrm {i} x\cdot \xi }.}$$ $${\displaystyle ({\mathcal {F}}g_{x})(y)={\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}=\varphi _{\varepsilon }(x-y).}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g_{x}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}f(y)\,dy=(\varphi _{\varepsilon }*f)(x),}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}(\varphi _{\varepsilon }*f)(x)=f(x).}$$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =f(x).\qquad \square }$$

フーリエ積分定理

この定理は次のように言い換えられる。

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

上記の各辺の 実部^{[1]をとると、}

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }\cos(2\pi (x-y)\cdot \xi )\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

反転演算子による逆変換

任意の関数に対して反転演算子^[2]を次のように 定義する。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle Rg(x):=g(-x).}$

代わりに次のように定義できる。

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f:=R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}Rf.}$

フーリエ変換とフリップ演算子の定義から、 と は両方とも の積分定義に一致し、特に は互いに等しく を満たしていることが直ちにわかります。 ${\displaystyle R{\mathcal {F}}f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}Rf}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

私たちは持っているので、 ${\displaystyle Rf=R{\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}f=RR{\mathcal {FF}}f={\mathcal {F}}^{2}f}$ ${\displaystyle R={\mathcal {F}}^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{3}.}$

両側逆数

上で述べたフーリエ反転定理の形は、よくあるように、

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

言い換えれば、はフーリエ変換の左逆変換です。しかし、これはフーリエ変換の右逆変換でもあります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(\xi )=f(\xi ).}$

は と非常に似ているため、これはフーリエの逆定理（変数 を変換）から非常に簡単に導かれます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \zeta :=-\xi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi \\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi ix\cdot \zeta }\,e^{2\pi iy\cdot \zeta }\,f(y)\,dy\,d\zeta \\[6pt]&={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x).\end{aligned}}}$

あるいは、これは、と反転演算子の関係と関数合成の結合性からわかる。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$

${\displaystyle f={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)={\mathcal {F}}R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f).}$

機能の条件

物理学や工学において、フーリエ逆定理は、すべてのものが「適切に振る舞う」という仮定の下で用いられることが多い。数学ではこのような経験的な議論は認められておらず、フーリエ逆定理は、どのような関数のクラスが許容されるかを明示的に規定している。しかしながら、考慮すべき「最良の」関数のクラスは存在しないため、結論は互いに矛盾しないものの、フーリエ逆定理には複数のバリエーションが存在する。

シュワルツ関数

フーリエ逆定理は、すべてのシュワルツ関数（大まかに言えば、急速に減衰し、かつその導関数もすべて急速に減衰する滑らかな関数）に対して成立する。この条件の利点は、関数に関する基本的な直接的な記述である（フーリエ変換に条件を課すのではなく）、そしてフーリエ変換とその逆関数を定義する積分が絶対積分可能であるという点である。この定理のバージョンは、緩和分布に対するフーリエ逆定理の証明に用いられる（下記参照）。

積分可能なフーリエ変換を持つ積分可能な関数

フーリエ逆定理は、絶対積分可能なフーリエ変換を持つ、絶対積分可能な連続関数（すなわち ）すべてに対して成立します。これはすべてのシュワルツ関数を含むため、前述の定理よりも厳密に強い形となります。この条件は、上記の記述セクションで使用されたものです。 ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

少しだけ異なる方法として、関数が連続であるという条件は削除するが、関数とそのフーリエ変換が絶対積分可能であるという条件はそのままにする。すると、g が連続関数であるほぼすべての場合において、任意の に対して となる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

1次元の積分可能な関数

区分的に滑らか; 1次元

関数が1次元で絶対積分可能（すなわち）かつ区分的に滑らかな場合、フーリエ逆定理の一種が成立する。この場合、次のように定義する。 ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

そして、すべての ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}$

つまり、は におけるの左極限と右極限の平均に等しくなります。 が連続する点では、これは単に に等しくなります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$

この定理の高次元類似体も成り立ちますが、Folland (1992) によれば「かなり繊細で、あまり役に立たない」とのことです。

区分的に連続; 1次元

関数が1次元（すなわち）において絶対積分可能だが、単に区分連続である場合、フーリエ逆変換定理の一種が依然として成立する。この場合、逆フーリエ変換における積分は、鋭いカットオフ関数ではなく滑らかなカットオフ関数を用いて定義される。具体的には、次のように定義される。 ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.}$

定理の結論は、上で説明した区分的に滑らかなケースの場合と同じになります。

連続; 任意の次元数

が連続かつ絶対積分可能である場合、逆変換を滑らかなカットオフ関数で定義する限り、フーリエ反転定理は依然として成立する。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}}.}$

結論は、すべての人にとって ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

正則性条件なし、次元数は任意

の（区分的）連続性に関するすべての仮定を放棄し、単に絶対積分可能と仮定した場合でも、定理の別のバージョンは依然として成立する。逆変換は滑らかな切断によって再び定義されるが、結論は次のようになる。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

ほぼすべての ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

平方積分可能関数

この場合、フーリエ変換は絶対収束しない可能性があるため、積分として直接定義することはできません。そのため、代わりに密度関数によって定義されます（フーリエ変換の記事を参照）。例えば、

${\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb {N} ,}$

ノルムの極限がとられる場所を設定できます。逆変換は、同様に密度で定義するか、フーリエ変換と反転演算子で定義することができます。すると、 ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}f:=\lim _{k\to \infty }g_{k}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$

平均二乗ノルムにおいて収束します。1次元（かつ1次元のみ）においては、ほぼすべての に対して収束することも示せます。これはカールソンの定理ですが、平均二乗ノルムにおける収束を証明するよりもはるかに困難です。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

緩和分布

フーリエ変換は、シュワルツ関数の空間におけるフーリエ変換の双対性によって、緩和超関数 の空間上で定義することができる。具体的には、すべてのテスト関数に対して、およびに対して、 ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle :=\langle f,{\mathcal {F}}\varphi \rangle ,}$

ここで、は積分公式を用いて定義される。^[3]ならば、これは通常の定義と一致する。逆変換は、シュワルツ関数の逆変換から双対性によって同様に定義するか、フリップ演算子（フリップ演算子は双対性によって定義される）を用いて定義することができる。すると、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\varphi }$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\colon {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}$

フーリエ級数との関係

フーリエ反転定理はフーリエ級数の収束に類似している。フーリエ変換の場合は、

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

フーリエ級数の場合には、代わりに

${\displaystyle f\colon [0,1]^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(k):=\int _{[0,1]^{n}}e^{-2\pi iy\cdot k}\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot k}\,{\hat {f}}(k).}$

特に、1 次元では、和は からまでの範囲になります。 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

アプリケーション

特定の微分方程式など、いくつかの問題はフーリエ変換を適用すると解くのが容易になります。その場合、元の問題の解は逆フーリエ変換によって復元されます。

フーリエ変換の応用において、フーリエ逆定理はしばしば重要な役割を果たします。多くの場合、基本的な戦略は、フーリエ変換を適用し、何らかの演算または簡略化を行った後、逆フーリエ変換を適用することです。

より抽象的に言えば、フーリエ逆定理は、フーリエ変換を作用素として捉える定理である（関数空間上のフーリエ変換を参照）。例えば、フーリエ逆定理は、フーリエ変換が上のユニタリ作用素であることを示す。 ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

参照

• リグドヒルベルト空間
• 波束

注記

1. wlog fは実数値です。任意の複素数値関数は実部と虚部に分割でき、ここで出現するすべての演算子はfに関して線形です。
2. 演算子とは、関数を関数に写像する変換です。反転演算子、フーリエ変換、逆フーリエ変換、恒等変換はすべて演算子の例です。
3. フォーランド1992、333ページ。

参考文献

• フォランド、ジェラルド・B. (1992). 『フーリエ解析とその応用』 . パシフィック・グローブ、カリフォルニア州: ワズワース・アンド・ブルックス/コール. ISBN 978-0-534-17094-3。
• フォランド, GB (1995).偏微分方程式入門（第2版）. プリンストン大学出版局, アメリカ合衆国. ISBN 978-0-691-04361-6。

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