逆ガウス分布

逆ガウス分布
確率密度関数
累積分布関数
表記	${\displaystyle \operatorname {IG} \left(\mu ,\lambda \right)}$
パラメータ	${\displaystyle \mu >0}$ ${\displaystyle \lambda >0}$
サポート	${\displaystyle x\in (0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp \left[-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}\right]}$
CDF	${\displaystyle \Phi \left({\sqrt {\frac {\lambda }{x}}}\left({\frac {x}{\mu }}-1\right)\right)}$ ${\displaystyle {}+\exp \left({\frac {2\lambda }{\mu }}\right)\Phi \left(-{\sqrt {\frac {\lambda }{x}}}\left({\frac {x}{\mu }}+1\right)\right)}$ 標準正規分布（標準ガウス分布）の累積分布関数は どこにあるか ${\displaystyle \Phi }$
平均	${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\mu }$ ${\displaystyle \operatorname {E} [{\frac {1}{X}}]={\frac {1}{\mu }}+{\frac {1}{\lambda }}}$
モード	${\displaystyle \mu \left[\left(1+{\frac {9\mu ^{2}}{4\lambda ^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}-{\frac {3\mu }{2\lambda }}\right]}$
分散	${\displaystyle \operatorname {Var} [X]={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [{\frac {1}{X}}]={\frac {1}{\mu \lambda }}+{\frac {2}{\lambda ^{2}}}}$
歪度	${\displaystyle 3\left({\frac {\mu }{\lambda }}\right)^{1/2}}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {15\mu }{\lambda }}}$
MGF	${\displaystyle \exp \left[{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}t}{\lambda }}}}\right)}\right]}$
CF	${\displaystyle \exp \left[{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}\mathrm {i} t}{\lambda }}}}\right)}\right]}$

確率論において、逆ガウス分布（ワルド分布とも呼ばれる）は、（0,∞）を サポートする2パラメータの連続確率分布の族です。

その確率密度関数は次のように与えられる。

${\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}{\biggr )}}$

x > 0の場合、は平均、は形状パラメータである。^{[ 1 ]} ${\displaystyle \mu >0}$ ${\displaystyle \lambda >0}$

逆ガウス分布は、ガウス分布と類似した特性をいくつか持っています。その名称は誤解を招く可能性があります。ガウス分布がブラウン運動の一定時間におけるレベルを表すのに対し、逆ガウス分布は、正のドリフトを持つブラウン運動が一定正のレベルに達するまでの時間の分布を表すという点でのみ、逆ガウス分布なのです。

そのキュムラント生成関数（特性関数の対数）は、ガウス確率変数のキュムラント生成関数の逆です。

ランダム変数Xが平均μと形状パラメータλを持つ逆ガウス分布であることを示すには、と書きます。 ${\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )\,\!}$

プロパティ

単一パラメータ形式

逆ガウス分布の確率密度関数（pdf）は、次式で表される単一のパラメータ形式を持つ。

${\displaystyle f(x;\mu ,\mu ^{2})={\frac {\mu }{\sqrt {2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2x}}{\biggr )}.}$

この形式では分布の平均と分散は等しく、 ${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\text{Var}}(X).}$

また、単一パラメータ逆ガウス分布の累積分布関数（cdf）は、標準正規分布と次の関係がある。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(X<x)&=\Phi (-z_{1})+e^{2\mu }\Phi (-z_{2}),\end{aligned}}}$

ここで、は標準正規分布の累積分布関数である。変数と は恒等式によって互いに関連している。 ${\displaystyle z_{1}={\frac {\mu }{x^{1/2}}}-x^{1/2}}$ ${\displaystyle z_{2}={\frac {\mu }{x^{1/2}}}+x^{1/2},}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle z_{2}^{2}=z_{1}^{2}+4\mu .}$

単一パラメータ形式では、MGFは次のように簡略化される。

${\displaystyle M(t)=\exp[\mu (1-{\sqrt {1-2t}})].}$

二重パラメータ形式の逆ガウス分布は、適切なスケーリングによって単一パラメータ形式に変換することができる。 ${\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )}$ ${\displaystyle f(y;\mu _{0},\mu _{0}^{2})}$ ${\displaystyle y={\frac {\mu ^{2}x}{\lambda }},}$ ${\displaystyle \mu _{0}=\mu ^{3}/\lambda .}$

上記の段落は、 ならば^{[ 2 ]}と書き直すことができます。このアプローチは、単一パラメータ形式の無次元性を明確に示すという点で優れています（ に注意してください）。この性質は、より一般的な事実、すなわちかつ ならば^{[ 3 ]}から導かれます。 ${\displaystyle Y=\lambda X/\mu ^{2}}$ ${\displaystyle Y\sim \operatorname {IG} (\lambda /\mu ,(\lambda /\mu )^{2})}$ ${\displaystyle \dim \lambda =\dim \mu =\dim x}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle Y=aX}$ ${\displaystyle Y\sim \operatorname {IG} (a\mu ,a\lambda )}$

逆ガウス分布の標準形は

${\displaystyle f(x;1,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(x-1)^{2}}{2x}}{\biggr )}.}$

合計

X _{i が}i  = 1, 2, ...,  nに対して分布を持ち 、すべてのX _iが独立である場合、 ${\displaystyle \operatorname {IG} (\mu _{0}w_{i},\lambda _{0}w_{i}^{2})\,\!}$

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {IG} \left(\mu _{0}\sum w_{i},\lambda _{0}\left(\sum w_{i}\right)^{2}\right).}$

ご了承ください

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Var} (X_{i})}{\operatorname {E} (X_{i})}}={\frac {\mu _{0}^{2}w_{i}^{2}}{\lambda _{0}w_{i}^{2}}}={\frac {\mu _{0}^{2}}{\lambda _{0}}}}$

はすべてのiに対して一定である。これは総和の必要条件である。そうでなければ、 S は逆ガウス分布にならない。

スケーリング

t > 0 の場合には、

${\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,tX\sim \operatorname {IG} (t\mu ,t\lambda ).}$

指数族

逆ガウス分布は、自然パラメータ− λ /(2 μ ² ) と − λ /2、および自然統計Xと 1/ Xを持つ2パラメータ指数族です。

固定の場合、これは単一パラメータの自然指数分布族^{[ 4 ]}でもあり、基本分布の密度は ${\displaystyle \lambda >0}$

${\displaystyle h(x)={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp \left(-{\frac {\lambda }{2x}}\right)\mathbb {1} _{[0,\infty )}(x)\,.}$

実際、 ${\displaystyle \theta \leq 0}$

${\displaystyle p(x;\theta )={\frac {\exp(\theta x)h(x)}{\int \exp(\theta y)h(y)dy}}}$

は実数上の密度である。積分を評価すると、

${\displaystyle p(x;\theta )={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp \left(-{\frac {\lambda }{2x}}+\theta x-{\sqrt {-2\lambda \theta }}\right)\mathbb {1} _{[0,\infty )}(x)\,.}$

を代入すると、上記の式は と等しくなります。 ${\displaystyle \theta =-\lambda /(2\mu ^{2})}$ ${\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )}$

ブラウン運動との関係

停止したランダムウォークの例。上の図は、待ち時間のヒストグラムと、逆ガウス分布による予測値を示しています。下の図は、軌跡を示しています。 ${\displaystyle \alpha =1,\nu =0.1,\sigma =0.2}$

確率過程X _tを次のように表す 。

${\displaystyle X_{0}=0\quad }$

${\displaystyle X_{t}=\nu t+\sigma W_{t}\quad \quad \quad \quad }$

ここで、 W _tは標準ブラウン運動です。つまり、X _tはドリフトを伴うブラウン運動です。 ${\displaystyle \nu >0}$

次に、X _tによる固定レベルの最初の通過時間は逆ガウス分布に従って分布します。 ${\displaystyle \alpha >0}$

${\displaystyle T_{\alpha }=\inf\{t>0\mid X_{t}=\alpha \}\sim \operatorname {IG} \left({\frac {\alpha }{\nu }},\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}\right)={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi x^{3}}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(\alpha -\nu x)^{2}}{2\sigma ^{2}x}}{\biggr )}}$

すなわち

${\displaystyle P(T_{\alpha }\in (T,T+dT))={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi T^{3}}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(\alpha -\nu T)^{2}}{2\sigma ^{2}T}}{\biggr )}dT}$

^{（シュレーディンガー[ 5 ]}の式19、スモルホフスキー^{[ 6 ]}の式8、フォークス^{[ 2 ]}の式1を参照）。

初通過時間分布の導出

次のように定義されるドリフトを持つブラウン運動があるとします。 ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X_{t}=\nu t+\sigma W_{t},\quad X(0)=x_{0}}$ そして、プロセスが最初に何らかの障壁にぶつかる時間（初通過時間）の確率密度関数を求めたいとします。確率分布の発展を記述するフォッカー・プランク方程式は次のようになります。 ${\displaystyle \alpha >x_{0}}$ ${\displaystyle p(t,x)}$ ${\displaystyle {\partial p \over {\partial t}}+\nu {\partial p \over {\partial x}}={1 \over {2}}\sigma ^{2}{\partial ^{2}p \over {\partial x^{2}}},\quad {\begin{cases}p(0,x)&=\delta (x-x_{0})\\p(t,\alpha )&=0\end{cases}}}$ ここではディラックのデルタ関数です。これは、単一の吸収境界条件 を持つ境界値問題(BVP) であり、像法 を用いて解くことができます。初期条件に基づくと、で表されるフォッカー・プランク方程式の基本解は、次のようになります。 ${\displaystyle \delta (\cdot )}$ ${\displaystyle p(t,\alpha )=0}$ ${\displaystyle \varphi (t,x)}$ ${\displaystyle \varphi (t,x)={1 \over {\sqrt {2\pi \sigma ^{2}t}}}\exp \left[-{(x-x_{0}-\nu t)^{2} \over {2\sigma ^{2}t}}\right]}$ となる点 を定義する。これにより、各瞬間において、元の解と鏡像解が障壁において正確に打ち消される。これは、初期条件を次のように拡張する必要があることを意味する。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m>\alpha }$ ${\displaystyle p(0,x)=\delta (x-x_{0})-A\delta (x-m)}$ ここでは定数である。境界条件の線形性により、この初期条件におけるフォッカー・プランク方程式の解は次のようになる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p(t,x)={1 \over {\sqrt {2\pi \sigma ^{2}t}}}\left\{\exp \left[-{(x-x_{0}-\nu t)^{2} \over {2\sigma ^{2}t}}\right]-A\exp \left[-{(x-m-\nu t)^{2} \over {2\sigma ^{2}t}}\right]\right\}}$ ここで の値を決定する必要があります。完全吸収境界条件は次を意味します。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\alpha -x_{0}-\nu t)^{2}=-2\sigma ^{2}t\log A+(\alpha -m-\nu t)^{2}}$ では、 となります。これを上の式に代入すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle p(0,\alpha )}$ ${\displaystyle (\alpha -x_{0})^{2}=(\alpha -m)^{2}\implies m=2\alpha -x_{0}}$ ${\displaystyle A=e^{2\nu (\alpha -x_{0})/\sigma ^{2}}}$ したがって、BVP の完全な解は次のようになります。 ${\displaystyle p(t,x)={1 \over {\sqrt {2\pi \sigma ^{2}t}}}\left\{\exp \left[-{(x-x_{0}-\nu t)^{2} \over {2\sigma ^{2}t}}\right]-e^{2\nu (\alpha -x_{0})/\sigma ^{2}}\exp \left[-{(x+x_{0}-2\alpha -\nu t)^{2} \over {2\sigma ^{2}t}}\right]\right\}}$ 完全な確率密度関数が得られたので、最初の通過時間分布を求める準備が整いました。最も簡単な方法は、まず生存関数を計算することです。これは以下のように定義されます。 ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle S(t)}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&=\int _{-\infty }^{\alpha }p(t,x)dx\\&=\Phi \left({\alpha -x_{0}-\nu t \over {\sigma {\sqrt {t}}}}\right)-e^{2\nu (\alpha -x_{0})/\sigma ^{2}}\Phi \left({-\alpha +x_{0}-\nu t \over {\sigma {\sqrt {t}}}}\right)\end{aligned}}}$ ここでは標準正規分布の累積分布関数です。生存関数は、ブラウン運動の過程がいずれかの時刻 において障壁を越えなかった確率を与えます。最後に、最初の通過時間分布は恒等式から得られます。 ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&=-{dS \over {dt}}\\&={(\alpha -x_{0}) \over {\sqrt {2\pi \sigma ^{2}t^{3}}}}e^{-(\alpha -x_{0}-\nu t)^{2}/2\sigma ^{2}t}\end{aligned}}}$ と仮定すると、最初の通過時間は逆ガウス分布に従います。 ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle f(t)={\alpha \over {\sqrt {2\pi \sigma ^{2}t^{3}}}}e^{-(\alpha -\nu t)^{2}/2\sigma ^{2}t}\sim {\text{IG}}\left[{\alpha \over {\nu }},\left({\alpha \over {\sigma }}\right)^{2}\right]}$

ドリフトがゼロのとき

上記の一般的な特殊ケースは、ブラウン運動にドリフトがない場合に発生します。その場合、パラメータμは無限大に近づき、固定レベルαの最初の通過時間は確率密度関数で表されます。

${\displaystyle f\left(x;0,\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}\right)={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi x^{3}}}}}\exp \left(-{\frac {\alpha ^{2}}{2\sigma ^{2}x}}\right)}$

（Bachelier ^{[ 7 ] : 74 [ 8 ] : 39} も参照）。これはパラメータがとであるレヴィ分布である。 ${\displaystyle c=\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}}$ ${\displaystyle \mu =0}$

最大尤度

このモデルでは

${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda w_{i}),\,\,\,\,\,\,i=1,2,\ldots ,n}$

すべてのw _{i が}既知で、( μ ,  λ )が未知で、すべてのX _{i が}独立している場合、次の尤度関数を持つ。

${\displaystyle L(\mu ,\lambda )=\left({\frac {\lambda }{2\pi }}\right)^{\frac {n}{2}}\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{X_{i}^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\lambda }{\mu }}\sum _{i=1}^{n}w_{i}-{\frac {\lambda }{2\mu ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}X_{i}-{\frac {\lambda }{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{X_{i}}}\right).}$

尤度方程式を解くと、次の最大尤度推定値が得られる。

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}X_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},\,\,\,\,\,\,\,\,{\frac {1}{\widehat {\lambda }}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {1}{X_{i}}}-{\frac {1}{\widehat {\mu }}}\right).}$

${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$独立しており 、 ${\displaystyle {\widehat {\lambda }}}$

${\displaystyle {\widehat {\mu }}\sim \operatorname {IG} \left(\mu ,\lambda \sum _{i=1}^{n}w_{i}\right),\qquad {\frac {n}{\widehat {\lambda }}}\sim {\frac {1}{\lambda }}\chi _{n-1}^{2}.}$

逆ガウス分布からのサンプリング

以下のアルゴリズムが使用される可能性がある。^{[ 9 ]}

平均0、標準偏差1の正規分布からランダム変数を生成する

${\displaystyle \displaystyle \nu \sim N(0,1).}$

値を二乗する

${\displaystyle \displaystyle y=\nu ^{2}}$

そして関係式を使う

${\displaystyle x=\mu +{\frac {\mu ^{2}y}{2\lambda }}-{\frac {\mu }{2\lambda }}{\sqrt {4\mu \lambda y+\mu ^{2}y^{2}}}.}$

0から1の間の均一分布からサンプリングした別のランダム変数を生成する

${\displaystyle \displaystyle z\sim U(0,1).}$

もし そうなら戻り、 そうでなければ戻り ${\displaystyle z\leq {\frac {\mu }{\mu +x}}}$ ${\displaystyle \displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {\mu ^{2}}{x}}.}$

Javaのサンプルコード:

public double inverseGaussian ( double mu , double lambda ) { Random rand = new Random (); double v = rand . nextGaussian (); // 平均 0、標準偏差 1 の正規分布からサンプリングしますdouble y = v * v ; double x = mu + ( mu * mu * y ) / ( 2 * lambda ) - ( mu / ( 2 * lambda )) * Math . sqrt ( 4 * mu * lambda * y + mu * mu * y * y ); double test = rand . nextDouble (); // 0 から 1 の間の一様分布からサンプリングしますif ( test <= ( mu ) / ( mu + x )) return x ; else return ( mu * mu ) / x ; }

Python で matplotlib と NumPy を使って Wald 分布を計算する

matplotlibとNumPyを使用してPythonで Wald 分布をプロットするには、次のようにします。

matplotlib.pyplot をpltとしてインポートし、 numpyをnpとしてインポートします。h = plt . hist ( np . random . wald ( 3 , 2 , 100000 )、bins = 200 、density = True )plt . show ()

関連ディストリビューション

• ならば、任意の数^{[ 1 ]に対して} ${\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}$ ${\displaystyle kX\sim \operatorname {IG} (k\mu ,k\lambda )}$ ${\displaystyle k>0.}$
• もしそうなら ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )\,}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {IG} (n\mu ,n^{2}\lambda )\,}$
• もしも​​ ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )\,}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n\,}$ ${\displaystyle {\bar {X}}\sim \operatorname {IG} (\mu ,n\lambda )\,}$
• もしそうなら ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu _{i},2\mu _{i}^{2})\,}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {IG} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},2\left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\right)^{2}\right)\,}$
• もしならば。^{[ 10 ]} ${\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda (X-\mu )^{2}/\mu ^{2}X\sim \chi ^{2}(1)}$

逆ガウス分布（ワルド分布）と指数分布（元ワルド分布）の畳み込みは、心理学における反応時間のモデルとして使われており、^{[ 11 ]}視覚探索がその一例である。^{[ 12 ]}

歴史

この分布は、1900年にルイ・バシュリエ^{[ 7 ] [ 8 ]}によって、株価が初めて特定の価格に達する時間として初めて導出されたようです。1915年には、エルヴィン・シュレーディンガー^{[ 5 ]}とマリアン・v・スモルホフスキー^{[ 6 ]}によって独立に、ブラウン運動が最初に通過するまでの時間として用いられました。再生モデルの分野では、1940年にヒューゴ・ハドヴィガーによって記述されたことにちなんで、ハドヴィガー関数として知られています。 ^{[ 13 ]}アブラハム・ワルドは1944年にこの分布を再導出しました^{[ 14 ]}。これは、逐次確率比検定における標本の極限形として用いられました。逆ガウス分布という名称は、1945年にモーリス・トゥイーディーによって提唱されました。 ^{[ 15 ]トゥイーディーは1956年[ 16 ]}と1957年^{[ 3 ] [ 17 ]}にこの分布を研究し、その統計的性質のいくつかを明らかにしました。この分布は1978年にフォークスとチカラによって広範囲に再検討されました。^{[ 2 ]}

定格逆ガウス分布

ランダム現象の発生間隔が逆ガウス分布に従うと仮定すると、指定された時間枠内でのこの事象の発生回数の確率分布は逆ガウス分布と呼ばれます。^{[ 18 ]}この分布の1次モーメントと2次モーメントは計算されますが、モーメント生成関数の導出は未解決の問題のままです。

数値計算とソフトウェア

確率密度関数の式は単純であるにもかかわらず、逆ガウス分布の数値確率計算では、すべてのパラメータ値に対して浮動小数点演算で完全な機械精度を達成するために特別な注意が必要です。^{[ 19 ]} 逆ガウス分布の関数は、rmutil、 ^{[ 20 ] [ 21 ]} SuppDists、^{[ 22 ]} STAR、^{[ 23 ]} invGauss、^{[ 24 ]} LaplacesDemon、^{[ 25 ]} statmodなどのいくつかのパッケージによってRプログラミング言語に提供されています。^{[ 26 ]}

参照

• 一般化逆ガウス分布
• トゥイーディー分布— 逆ガウス分布はトゥイーディー指数分散モデルの一種である。
• 時間を止める

参考文献

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さらに読む

• Høyland, Arnljot ; Rausand, Marvin (1994).システム信頼性理論. ニューヨーク: Wiley. ISBN 978-0-471-59397-3。
• セシャドリ, V. (1993). 『逆ガウス分布』オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-852243-0。

外部リンク

• Wolfram Web サイトの逆ガウス分布。

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