逆像関数

代数的位相幾何学における構成

数学、特に代数位相幾何学と代数幾何学において、逆像関数（だんぞうかん）とは層の反変構成である。ここで「反変」とは写像が与えられた場合の意味で、逆像関数はY上の層の圏からX上の層の圏への関数である。正像関数は層に対する基本的な演算であり、定義は最も単純である。逆像には比較的微妙な特徴がいくつかある。 ${\displaystyle f:X\to Y}$

意味

上の束が与えられ、それを連続マップを使用して に移動するとします。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

この結果を逆像または引き戻し 層 と 呼ぶ。 ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$

${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U))}$

の各開集合 に対して、すぐに問題に直面する。は必ずしも開集合ではない。最善の策は開集合で近似することだが、それでも得られるのは前層であって層ではない。したがって、を前層 に付随する層として定義する。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$

${\displaystyle U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).}$

(ここでは の開部分集合であり、 の余極限はを含むのすべての開部分集合にわたって実行されます。) ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(U)}$

たとえば、 が の点の包含だけである場合、はこの点における の茎だけになります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

制限写像と逆像の関数性は、直接極限の普遍的性質から生じます。

代数幾何学におけるスキームのような局所環空間の射 を扱う場合、しばしば-加群の層を扱う。ここで はの構造層である。この場合、 の関数は不適切である。なぜなら、一般には -加群の層さえも与えないからである。これを改善するために、このような状況では-加群の層に対してその逆像を次のように 定義する。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle f^{*}{\mathcal {G}}:=f^{-1}{\mathcal {G}}\otimes _{f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}}$。

プロパティ

• は よりも定義が複雑ですが、の茎の計算は簡単です。点 が与えられると、 が得られます。 ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f_{\ast }}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}}_{f(x)}}$
• ${\displaystyle f^{-1}}$は正確な関数であり、これは上記の茎の計算からわかる。
• ${\displaystyle f^{*}}$は（一般に）右完全のみです。が完全である場合、fは平坦と呼ばれます。 ${\displaystyle f^{*}}$
• ${\displaystyle f^{-1}}$は直接像関数の左随伴である。これは、自然な単位射と余単位射、およびが存在することを意味する。これらの射は自然な随伴対応を与える。 ${\displaystyle f_{\ast }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})}$。

しかし、射とが同型となることはほとんどない。例えば、 が閉部分集合の包含を表す場合、 が に含まれ、それ以外の場合、の点における の茎はと標準同型となる。同様の随伴関係は、を に置き換えることで、加群の層の場合にも成り立つ。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle i\colon Z\to Y}$ ${\displaystyle i_{*}i^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle i^{-1}}$ ${\displaystyle i^{*}}$

参考文献

• Iversen、Birger (1986)、層のコホモロジー、Universitext、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-16389-3、MR  0842190セクションII.4を参照してください。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157

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